Ecuaciones Diferenciales Dennis Zill[7a edicion] PDF

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SÉPTIMA EDICIÓN

ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas con valores en la frontera

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SÉPTIMA EDICIÓN

ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas con valores en la frontera

DENNIS G. ZILL Loyola Marymount University

MICHAEL R. CULLEN Late of Loyola Marymount University

TRADUCCIÓN Dra. Ana Elizabeth García Hernández Universidad La Salle Morelia

REVISIÓN TÉCNICA Dr. Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas Instituto Politécnico Nacional

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

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Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera Séptima edición Dennis G. Zill y Michael R. Cullen Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Javier Arellano Gutiérrez Director general México y Centroamérica: Pedro Turbay Garrido Director editorial Latinoamérica: José Tomás Pérez Bonilla Director de producción: Raúl D. Zendejas Espejel Cordinadora editorial: María Rosas López Editor: Sergio R. Cervantes González Editora de producción: Abril Vega Orozco Ilustrador: Jade Myers, Matrix Diseño de portada: Grupo Insigne OTA, S.A de C.V. Imagen de portada: Photos.com Composición tipográfica: EDITEC S.A. de C.V.

© D.R. 2009 por Cengage Learning Editores, S. A. de C. V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Differential Equations with Boundary-Value Problems, Seventh Edition. Zill, Dennis G. and Michael R. Cullen Publicado en inglés por Brooks & Cole /Cengage Learning ©2009 ISBN-13: 978-0-495-10836-8 ISBN-10: 0-495-10836-7 Datos para catalogación bibliográfica: Zill, Dennis G. y Michael R. Cullen Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera Séptima edición ISBN-13: 978-607-481-314-2 ISBN-10: 607-481-314-0

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CONTENIDO Prefacio

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INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1 Definiciones y terminología

1

2

1.2 Problemas con valores iniciales

13

1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos REPASO DEL CAPÍTULO 1

2

32

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 2.1 Curvas solución sin una solución

34

35

2.1.1

Campos direccionales

2.1.2

ED de primer orden autónomas

2.2 Variables separables

35 37

44

2.3 Ecuaciones lineales

53

2.4 Ecuaciones exactas

62

2.5 Soluciones por sustitución 2.6 Un método numérico

70

75

REPASO DEL CAPÍTULO 2

3

19

80

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 3.1 Modelos lineales

82

83

3.2 Modelos no lineales

94

3.3 Modelado con sistemas de ED de primer orden REPASO DEL CAPÍTULO 3

105

113

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CONTENIDO

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 4.1 Teoría preliminar: Ecuaciones lineales

117

118

4.1.1

Problemas con valores iniciales y con valores en la frontera

4.1.2

Ecuaciones homogéneas

4.1.3

Ecuaciones no homogéneas

4.2 Reducción de orden

120 125

130

4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.4 Coeficientes indeterminados: Método de superposición 4.5 Coeficientes indeterminados: Método del anulador 4.6 Variación de parámetros

162

4.9 Ecuaciones diferenciales no lineales

169

174

178

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 181 5.1 Modelos lineales: Problemas con valores iniciales

182

5.1.1

Sistemas resorte/masa: Movimiento libre no amortiguado

5.1.2

Sistemas resorte/masa: Movimiento libre amortiguado

5.1.3

Sistemas resorte/masa: Movimiento forzado

5.1.4

Circuito en serie análogo

5.3 Modelos no lineales REPASO DEL CAPÍTULO 5

189 199

216

6.1 Soluciones respecto a puntos ordinarios 6.1.1

Repaso de series de potencias

6.1.2

Soluciones en series de potencias

6.2 Soluciones en torno a puntos singulares

219 220

220 223 231

241

6.3.1

Ecuación de Bessel

6.3.2

Ecuación de Legendre

REPASO DEL CAPÍTULO 6

186

207

SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

6.3 Funciones especiales

182

192

5.2 Modelos lineales: Problema con valores en la frontera

6

140

150

4.8 Solución de sistemas de ED lineales por eliminación

5

133

157

4.7 Ecuación de Cauchy-Euler

REPASO DEL CAPÍTULO 4

118

241 248

253

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CONTENIDO

7

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 256

7.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 7.2.1

Transformadas inversas

7.2.2

Transformadas de derivadas

7.3 Propiedades operacionales I

265

270

Traslación en el eje s

271

7.3.2

Traslación en el eje t

274

7.4 Propiedades operacionales II

282

7.4.1

Derivadas de una transformada

7.4.2

Transformadas de integrales

7.4.3

Transformada de una función periódica

282 283 287

292

7.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales REPASO DEL CAPÍTULO 7

262

262

7.3.1

7.5 La función delta de Dirac

295

300

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 8.1 Teoría preliminar: Sistemas lineales 8.2 Sistemas lineales homógeneos

311

8.2.1

Eigenvalores reales distintos

8.2.2

Eigenvalores repetidos

8.2.3

Eigenvalores complejos

312

315 320 326

8.3.1

Coeficientes indeterminados

8.3.2

Variación de parámetros

8.4 Matriz exponencial

303

304

8.3 Sistemas lineales no homógeneos

326

329

334

REPASO DEL CAPÍTULO 8

9

vii

255

7.1 Definición de la transformada de Laplace

8

O

337

SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 339 9.1 Métodos de Euler y análisis de errores 9.2 Métodos de Runge-Kutta 9.3 Métodos multipasos

340

345

350

9.4 Ecuaciones y sistemas de orden superior

353

9.5 Problemas con valores en la frontera de segundo orden REPASO DEL CAPÍTULO 9

358

362

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10

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CONTENIDO

SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS

363

10.1 Sistemas autónomos

364

10.2 Estabilidad de sistemas lineales

370

10.3 Linearización y estabilidad local

378

10.4 Sistemas autónomos como modelos matemáticos REPASO DEL CAPÍTULO 10

11

395

FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER 11.1 Funciones ortogonales 11.2 Series de Fourier

397

398

403

11.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 11.4 Problema de Sturm-Liouville 11.5 Series de Bessel y Legendre

423

11.5.2 Serie de Fourier-Legendre REPASO DEL CAPÍTULO 11

408

416

11.5.1 Serie de Fourier-Bessel

12

388

424 427

430

PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES 432 12.1 Ecuaciones diferenciales parciales separables

433

12.2 EDP clásicas y problemas con valores en la frontera 12.3 Ecuación de calor

443

12.4 Ecuación de onda

445

12.5 Ecuación de Laplace

437

450

12.6 Problemas no homogéneos con valores en la frontera 12.7 Desarrollos en series ortogonales

461

12.8 Problemas dimensionales de orden superior REPASO DEL CAPÍTULO 12

455

466

469

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CONTENIDO

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13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS 471 13.1 Coordenadas polares

472

13.2 Coordenadas polares y cilíndricas 13.3 Coordenadas esféricas

483

REPASO DEL CAPÍTULO 13

14

486

TRANSFORMADA INTEGRAL

488 14.1 Función error

489

14.2 Transformada de Laplace 14.3 Integral de Fourier

490

498

14.4 Transformadas de Fourier REPASO DEL CAPÍTULO 14

15

477

504 510

SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 15.1 Ecuación de Laplace

511

512

15.2 Ecuación de calor

517

15.3 Ecuación de onda

522

REPASO DEL CAPÍTULO 15

526

APÉNDICES I

Función gamma

II

Matrices

III

Transformadas de Laplace

APE-1

APE-3 APE-21

Respuestas a los problemas seleccionados con numeración impar Índice

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PREFACIO AL ESTUDIANTE Los autores de los libros viven con la esperanza de que alguien en realidad los lea. Contrariamente a lo que usted podría creer, casi todo texto de matemáticas de nivel universitario está escrito para usted y no para el profesor. Cierto es que los temas cubiertos en el texto se escogieron consultando a los profesores, ya que ellos toman la decisión acerca de si hay que usarlos en sus clases; pero todo lo escrito en él está dirigido directamente al estudiante. Entonces quiero invitarle, no, en realidad quiero decirle que ¡lea este libro de texto! Pero no lo haga como leería una novela; no debe leerlo rápido y no debe saltarse nada. Piense en este como un cuaderno de ejercicios. Por eso pienso que las matemáticas siempre deberían ser leídas con lápiz y papel a la mano porque muy probablemente, tendrá que trabajar a su manera los ejemplos y hacer el análisis. Lea —más bien, trabaje— todos los ejemplos de una sección antes de intentar cualquiera de los ejercicios; los ejemplos se han construido para mostrar lo que considero son los aspectos más importantes de la sección y por tanto, muestran los procedimientos necesarios para trabajar la mayoría de los problemas de los conjuntos de ejercicios. Yo les digo a mis estudiantes que cuando lean un ejemplo, cubran su solución y que intenten trabajar primero en ella, comparar su respuesta con la solución dada y luego resolver cualquier diferencia. He tratado de incluir lo más importante de cada ejemplo, pero si algo no es claro usted podría siempre intentarlo —y aquí es donde el papel y el lápiz entran otra vez— complete los detalles o pasos que faltan. Puede no ser fácil, pero es parte del proceso de aprendizaje. La acumulación de hechos seguidos por la lenta asimilación del entendimiento simplemente no se puede alcanzar sin luchar. En conclusión, le deseo buena suerte y éxito. Espero disfrute el libro y el curso que está por iniciar. Cuando era estudiante de la licenciatura en matemáticas, este curso fue uno de mis favoritos porque me gustan las matemáticas que están conectadas con el mundo físico. Si tiene algún comentario o si encuentra algún error cuando lo lea o trabaje con él o si me quiere hacer llegar una buena idea para mejorar el libro, por favor póngase en contacto conmigo o con mi editor en la Compañía editorial Brooks/Cole: [email protected]

AL PROFESOR ¿QUÉ ES LO NUEVO EN ESTA EDICIÓN? Primero, déjeme decirle que no ha cambiado. El orden del capítulo por temas, el número y el orden de las secciones dentro de un capítulo, se conservan igual que en las ediciones anteriores.

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PREFACIO

En caso de que examine este texto por primera vez, Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, 7a. edición, se puede utilizar ya sea para un curso de un semestre de ecuaciones diferenciales ordinarias o para cubrir un curso de dos semestres de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. La versión corta del libro, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, 9a. edición, termina en el capítulo 9. Para un curso de un semestre, supongo que los estudiantes han concluido con éxito al menos un curso de dos semestres de cálculo. Puesto que está leyendo esto, sin duda ya ha examinado la tabla de contenidos para los temas que cubrirá. En este prefacio no encontrará “un programa sugerido”. No pretenderé ser tan sabio como para decir lo que otros profesores enseñen en sus clases. Siento que hay mucho material aquí para escoger y formar un curso a su gusto. El texto tiene un equilibrio razonable entre los métodos analíticos, cualitativos y cuantitativos en el estudio de las ecuaciones diferenciales. Por lo que mi “filosofía subyacente” es “Un libro para estudiantes de licenciatura debería estar escrito considerando siempre el entendimiento del estudiante, lo que significa que el material debería estar presentado en una forma directa, legible y útil, considerando el nivel teórico compatible con la idea ‘de un primer curso’ ”. A las personas familiarizadas con las ediciones anteriores me gustaría mencionarles algunas de las mejoras hechas en esta edición. • Problemas aportados Los conjuntos de ejercicios seleccionados concluyen con uno o dos problemas aportados. Estos problemas se han probado en clase y los han enviado profesores de cursos de ecuaciones diferenciales y muestran cómo los profesores han complementado sus presentaciones de clase con proyectos adicionales. • Ejercicios Un gran número de ejercicios se ha actualizado agregando nuevos problemas para evaluar mejor y presentarles retos a los estudiantes. De igual forma, se han mejorado algunos conjuntos de ejercicios quitando algunos problemas. • Diseño Esta edición se ha mejorado con un diseño a cuatro colores, lo que le da profundidad de significado a todas las gráficas y énfasis a frases importantes, supervisé la creación de cada parte de arte para asegurarme de que esté matemáticamente correcta conforme al texto. • Nueva numeración de figuras Me tomó muchas ediciones hacer esto, pero finalmente me convencí de que la vieja numeración de figuras, teoremas y definiciones tenía que cambiarse. En esta revisión he utilizado un sistema de numeración de doble-decimal. Por ejemplo, en la última edición la figura 7.52 sólo indica que es la 52a. del capítulo 7. En esta edición, la misma figura se numeró como la figura 7.6.5 donde Capítulo Sección

TT 7.6.5d Quinta figura en la sección Siento que este sistema proporciona una indicación clara de dónde están las cosas, sin necesidad de agregar el molesto número de página. • Proyectos de ediciones anteriores Problemas y ensayos seleccionados de ediciones pasadas del libro se pueden encontrar en el sitio web de la compañía en academic.cengage.com/math/zill RECURSOS PARA LOS ESTUDIANTES • Student Resource and Solutions Manual, de Warren S. Wright, Dennis G. Zill, y Carol D. Wright (ISBN 0495385662) que acompaña a Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la Frontera 7a. edición, presenta repasos del material más importante de Álgebra y Cálculo, las soluciones de cada tercer problema de cada conjunto de ejercicios excepto la dis-

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cusión de problemas y laboratorio de conjuntación) los comandos y su sintaxis más importantes de Mathematica y Maple, listas de conceptos importantes, así como útiles sugerencias de cómo empezar ciertos problemas. • Las herramientas de ED (DE tools) son conjuntos de simulaciones que aportan una exploración visual interactiva de los conceptos presentados en este texto. Visite academic.cengage.com/math/zill para encontrar más recursos, o contacte a los representantes de ventas de su localidad y pregunte acerca de más opciones disponibles para el aprovechamiento DE tools con este libro. MATERIAL DE APOYO PARA EL PROFESOR Este libro cuenta con una serie de recursos para el profesor, los cuales están disponibles en inglés, y sólo se proporciona a los docentes que lo adopten como texto en sus cursos. Para direcciones de correo electrónico: Cengage Learning México y Centroamérica Cengage Learning Caribe Cengage Learning Cono Sur Colombia

[email protected] [email protected] [email protected] [email protected]

• El Text Bank, de Gilbert Lewis (ISBN0495386065) contiene múltiples opciones y respuestas cortas a las cuestiones de las pruebas que se plantean en el texto.

RECONOCIMIENTOS Compilar un libro de texto de matemáticas como éste y asegurarse de que sus miles de símbolos y cientos de ecuaciones estén (en su mayoría) correctos es una enorme tarea, pero puesto que yo me llamo “el autor” este es mi trabajo y responsabilidad. Pero muchas personas además de mí, invirtieron enormes ...