Ecuaciones diferenciales Edwards y Penney. Capítulo 3 PDF

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Ecuaciones diferenciales Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA CÓMPUTO Y MODELADO CUARTA EDICIÓN

EDWARDS y PENNEY

Solución de los problemas (En video

o imagen

)

por Juan Carlos Beltrán B.

Colombia 2017

Capítulo 3

Ecuaciones lineales de orden superior Capítulo 3.1

Introducción: Ecuaciones lineales de segundo orden En los problemas del 1 al 16 se proporciona una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea, dos funciones y1 y y2 y un par de condiciones iniciales. Verifique primero que y1 y y2 son soluciones de la ecuación diferencial. Posteriormente, encuentre una particular de la forma y  c1 y1  c2 y2 que satisfaga las condiciones iniciales dadas. Las primas significan derivadas con respecto a x. 1. y   y  0; y1  e x , y 2  e  x ; y 0   0, y 0   5 2. y   9 y  0; y1  e 3 x, y 2  e 3 x; y 0    1, y  0   15 3. y   4 y  0; y1  cos 2 x, y 2  sen 2 x; y 0   3, y  0   8 4. y  25 y  0; y1  cos5 x, y 2  sen 5 x; y 0   10, y 0    10 5. y   3 y   2 y  0; y1  e x , y 2  e 2 x ; y 0   1, y 0   0 6. y   y   6 y  0; y1  e 2 x , y 2  e  3 x; y 0   7, y 0    1 7. y   y   0; y1  1, y 2  e x ; y 0    2, y 0   8 8. y   3 y   0; y1  1, y 2  e3 x; y  0   4, y  0    2 9. y   2 y   y  0; y1  e  x , y2  xe  x; y 0   2, y 0    1 10. y   10 y   25 y  0; y1  e 5x , y2  xe 5x; y 0   3, y 0   13 11. y   2 y   2 y  0; y1  e x cos x, y 2  e x sen x; y 0   0, y 0   5 12. y   6 y   13 y  0; y1  e 3 x cos 2 x, y 2  e 3 x sen 2 x; y 0   2, y  0   0

13. x 2 y  2xy  2 y  0; y1  x, y2  x2 ; y 1  3, y 1  1 14. x 2 y  2 xy  6 y  0; y1  x 2 , y2  x 3 ; y  2   10, y  2   15 15. x 2 y  xy  y  0; y1  x, y 2  x ln x; y 1  7, y 1  2 16. x 2 y  xy  y  0; y1  cos ln x , y 2  sen ln x ; y 1   2, y 1   3

En los tres problemas siguientes ilustre el hecho de que el principio de superposición generalmente no se cumple para ecuaciones no lineales. 17. Muestre que y  1/ x es una solución de y  y 2  0, pero que si c  0 y c  1, entonces y  c / x no es una solución. 18. Compruebe que y  x 3 es una solución de yy   6x 4 , pero que si c 2  1, entonces y  cx 3 no es solución.

pero que su suma y  y1  y2

2

x son soluciones de yy   y   0, no es solución.

19. Demuestre que y1  1 y y2 

Determine cuál de los pares de funciones en los problemas 20 al 26 son linealmente independientes o dependientes en toda la recta real. 20. f ( x)   y g( x)  cos 2 x  sen 2 x 21. f ( x)  x 3 y g( x)  x 2 x 22. f ( x)  1  x y g( x)  1  x 23. f ( x)  xe x y g ( x)  x e x 24. f ( x)  sen 2 x y g( x)  1  cos 2 x 25. f ( x)  e x sen x y g ( x)  e x cos x

26. f ( x)  2cos x 3sen x y g( x)  3cos x  2sen x

27. Sea y p una solución particular de la ecuac ión no homogénea

y  py  qy  f  x , y sea yc una solución de su ecuación homogénea asociada. Muestre que y  y c  y p es una solución d e la ecuación no homogénea d ada. 28. Sea y p  1 una solución particular de la ecuación no homogénea y  y  1, y sea yc  c1 cos x  c2 sen x una solución de la ED homogénea asociada y   y  0, encuentre una solución de la no homogénea que satisfaga las condiciones iniciales y  0  y  0  1.

29. Muestre que y1  x 2 y y 2  x 3 son dos soluciones diferentes de

x 2 y   4 xy   6 y  0, y que ambas satisfacen las condiciones iniciales y  0   y   0   0. 30. ( a) Demuestre que y1  x 3 y y 2  x 3 son soluciones linealmente

independientes en toda la recta real de la ecuación x 2 y   3xy  3y  0. ( b) Verifique que W  y1 , y 2  es idénticamnte cero. ¿Por qué esta evi dencia no contradice el Teorema 3? 31. Encuentre que y 1  sen x 2 y y 2  cos x 2 son funciones linealmente independientes, pero que su wronskiano s e anula en x  0. ¿Por qué esto implica que no existe ecuación diferencial de la forma y  p( x) y  q( x ) y  0 con p y q continuas en todo el interva lo, teniendo a y1 y y 2 como soluciones?

Aplique los teoremas 5 y 6 para encontrar las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales dadas en los problemas 33 al 42. Las primas significan derivadas con respecto a x. 33. Encuentre la solución general de la ED y  3 y  2 y  0. 34. Encuentre la solución general de la ED y   2 y  15 y  0 35. Encuentre la solución general de la ED y  5 y   0

36. Encuentre la solución general de la ED 2 y  3 y  0 37. Encuentre la solución general de la ED 2 y   y   y  0

38. Encuentre la solución general de la ED 4 y  8 y  3 y  0 39. Encuentre la solución general de la ED 4 y  4 y  y  0 40. Encuentre la solución general de la ED 9 y  12 y   4 y  0 41. Encuentre la solución general de la ED 6 y   7 y   20 y  0

42. Encuentre la solución general de la ED 35 y  y  12 y  0

En cada uno de los problemas 43 al 48 se proporciona una solución general y(x) de una ecuación diferencial de segundo orden homogénea ay   by   c  0 con coeficientes constantes. Encuentre la ecuación. 43. y( x)  c1  c 2e 10x es la solución general de una ED de segundo orden homogénea con coeficientes constantes ay   by   c  0. Halle la ecuación. 44. y( x)  c1e 10x  c 2e  10x es la solución general de una ED de s egundo orden homogénea con coeficientes constantes ay   by   c  0. Halle la ecuación. 45. y( x)  c1e  10x  c 2 xe  10x es la solución general de una ED de segundo orden homogénea con coeficientes constantes ay   by   c  0. Hallar la ecuación. 46. y( x)  c1e 10 x  c 2e 100 x es la solución general de una ED de segundo

orden homogénea con coeficientes constantes ay   by   c  0. Hallar la ecuación. 47. y( x)  c1  c 2 x es la solución general de una ED de segundo orden homogénea con coeficientes constantes ay   by   c  0. Hallar la ecuación. 48. y( x)  e x  c1e 2x  c2 e  2x  es la solución general de una ED de segund orden homogénea con coeficientes constantes ay   by   c  0. Hallar la ecuación. Los problemas 49 y 50 abordan las curvas solución de y  3 y  2 y  0 mostradas en las figuras 3.1.6 y 3.1.7. 49 . Encuentre el punto más alto de la curva solución, de la ED y  3y  2y  0, que pasa por el punto P (0, 1) y donde la pendiente de la recta tangente a la curva en P es de 6. 50 . Encuentre el punto más alto de la curva solución, de la ED y  3y  2y  0, que pasa por el punto P (0, 1) y donde la pendiente de la recta tangente a la curva en P es de 6.

51 . La ecuación de Eu ler de segundo orden es de la forma ax 2 y   bxy   cy  0 ( 1 ) donde a , b y c son constantes. (a ) Verifique que si x  0, entonces la sustitución v  lnx transforma la ecuacion de Euler en la ecuación lineal de coficientes constantes d 2y dy a 2  b  a   cy  0 ( 2 ) dv dv con variable independiente v. ( b ) Si las raíces r1 y r2 de la ecuación car acterística en ( 2 ) son reales y distintas, concluya que la solución general d e la ecuación de Euler en ( 1 ) es y (x )  c 1x r1  c 2x r2 .

Lleve a cabo la sustitución v = ln x del problema 51 para encontrar las soluciones generales (para x > 0) de las ecuaciones de Euler en los problemas 52 al 56. 52. Resuelva la ecuación de Euler x 2 y  xy  y  0 haciendo la sustitución v  ln x. 53. Resuelva la ecuación de Euler x 2 y  2 xy  12 y  0 haciendo la sustitución v  ln x. 54. Resuelva la ecuación de Euler 4 x 2 y   8 xy   3 y  0 haciendo la sustitución v  ln x. 55. Resuelva la ecuación de Euler x 2 y  xy  0 haciendo la sustitución v  ln x. 56. Resuelva la ecuación de Euler x 2 y  3 xy  4 y  0 haciendo la sustitución v  ln x....