Egzamin czerwiec 2015, pytania i odpowiedzi PDF

Preview

Summary

Download Egzamin czerwiec 2015, pytania i odpowiedzi PDF

Description

I 1. Definicja ruchu - co to jest ruch? Z ruchem mamy do czynienia wtedy gdy odległość (wektorowo) ciała od obranego układu odniesienia zmienia się z upływem czasu. Ruch jest zatem zjawiskiem względnym. W fizyce należy zawsze określać względem jakich ciał (jakiego układu odniesienia) ruch badamy. Ruch nawet bardzo dużych obiektów zastępujemy w fizyce ruchem punktu materialnego (np. Ziemi względem Słońca, samochodu względem obserwatora odległego o kilometry, itp.). Aby opis uczynić dokładnym wiążemy z układem odniesienia układ współrzędnych. Najczęściej używamy układu prostokątnego Kartezjusza, układu kulistego lub układu cylindrycznego (walcowego). W obranym układzie współrzędnych opis ruchu może mieć postać zależności położenia od czasu. Wprowadzamy w tym celu wektor położenia zaczynający się w początku układu i z końcem w punkcie reprezentującym poruszające się ciało mówimy o ruchu punktu materialnego. Wtedy symbolicznie zapisana zależność:

r=r (t) będzie oznaczała równanie ruchu. Jest ona równoważna trzem równaniom skalarnym:

x=x (t) ,

y= y (t ) , z=z (t)

2. Określić w trzech układach współrzędnych wektor położenia punktu materialnego (podać składowe wektora). Układ kartezjański: Punkt materialny P ma w tym układzie współrzędne (x, y, z). Układ jest prawoskrętny, tzn. że iloczyn i× j = k , j ×k =i , k ×i = j

Układ kulisty (sferyczny): W tym układzie współrzędnymi punktu P są współrzędna radialna r, azymutalna j i współrzędna biegunowa q. Związek tych współrzędnych z kartezjańskimi opisany jest równaniami:

x=r sin θ cos φ y=r sin θ sin φ z=r cos θ

Układ cylindryczny: W układzie cylindrycznym współrzędnymi punktu P są odległość od osi r, współrzędna osiowa z i kąt azymutalny φ względem wybranej płaszczyzny. Związki ich ze współrzędnymi kartezjańskimi są następujące:

x=ρ cos φ y=ρ sin φ z=z

3. Definicja wektora prędkości. Prędkość jest pierwszą pochodną położenia po czasie:

v =

d r dt

( dxdt , dydt , dtdz )

W układzie kartezjańskim: v =( v x , v y , v z ) = Wartość:

|v|= √ v x2+ v y2+ v z2

4. Matematyczna definicja pochodnej funkcji. Pochodne funkcji elementarnych. W analizie matematycznej definiuje się pochodną funkcji y= y ( x ) jako granicę, do której dąży iloraz różnicowy

Δy Δx

gdy ∆ x → 0 .

∆ y (x ) dy (x) y ( x +∆ x ) − y (x) = lim = lim ∆x dx ∆x ∆ x →0 ∆ x →0 Pochodne funkcji elementarnych: n 1) y ' =nx n−1 y= x ' 2) y=sinx y =cosx x ' x 3) y= e y =e x ' x 4) y=a y =a lna 5)

y=lnx

6)

y=cosx

7)

y=tgx

8)

y=g ( x ) h(x) g(x ) y= h (x)

9)

y'=

1 x y ' =−sinx

1 cos2 x ' ' y =g h+ g h' g ' h−g h' y'= h2 y'=

10)

y=g(h ( x ) )

y'=

dg d h ∙ d h dx

II 1. Definicja wektora przyspieszenia, przyspieszenie styczne i normalne. Przyspieszenie: Ogólną definicją przyspieszenia, słuszną we wszystkich przypadkach jest określenie, że przyspieszenie jest pochodną prędkości ruchu po czasie:

∆ v (t) d v (t ) d 2 r (t) ≡ = ∆t dt ∆t→0 d t2

a = lim

Przyspieszenie styczne: Wynika z przyrostu modułu prędkości (długości wektora v):

a s=

dv dt Przyspieszenie normalne: Przyrost wersora Δr prostopadły do toru i skierowany do środka krzywizny toru:

an =

v2 ρ ρ - promień krzywizny

2. Różniczki funkcji elementarnych. n

1)

y=x

2) 3)

y=sinx y= ex

4)

y=ax

5)

y=lnx

6)

y=cosx

7)

y=tgx

8)

y=g ( x ) h(x)

9)

y=

10)

y=g(h ( x ) )

g(x ) h (x)

nx (¿¿ n−1)dx d y=¿ dy=cosx dx dy =e x dx a (¿¿ x lna )dx dy=¿ 1 dy= dx x dy=−sinx dx 1 dy= 2 dx cos x g (¿ ¿ ' h+ g h' )dx dy=¿ g' h−g h ' dy= dx h2 dg d h dy= ∙ dx d h dx

(

)

3. Zasada superpozycji, kiedy obowiązuje? Zasada superpozycji mówi, że pole (siła) pochodzące od kilku źródeł jest wektorową sumą pól (sił), jakie wytwarza każde z tych źródeł. Spełniają ją pole elektromagnetyczne i pole grawitacyjne, a w konsekwencji siły pochodzące od nich Dowolny ruch składowy jest sumą złożenia wszystkich ruchów składowych w różnych kierunkach.

Obowiązuje kiedy, równanie różniczkowe ruchu jest równaniem liniowym. Przykłady: rzut poziomy (ruch jednostajny w kierunku poziomym, spadek swobodny w kierunku pionowym) i rzut ukośny. Ruch jednostajny po okręgu jest superpozycją dwóch ruchów harmonicznych o tej samej częstości przesuniętych w fazie

φ=

π 2

4. Zasięgi rzutów ukośnego i poziomego. W rzucie ukośnym zasięg maksymalny wyrażony jest wzorem: 2

x m=

v0 sin 2 ∝ g a maksymalna wysokość rzutu:

y m=

v 02 2 sin ∝ 2g Zasięg rzutu poziomego:

x m= v 0

√

2h g

5. Układ inercjalny i nieinercjalny, siły bezwładności, transformacja Galileusza i zasada względności Galileusza Układ inercjalny – to taki układ, w którym spełnione są zasady dynamiki Newtona i nie ma sił bezwładności. Każdy układ, który porusza się względem inercjalnego, prostoliniowo i jednostajnie także jest inercjalny. Układ nieinercjalny – to układ nie spełniający choćby jednego warunku istnienia układu inercjalnego. Siły bezwładności Występują w układach nieinercjalnych. Są to siły pozorne odpowiadające za istnienie przyspieszenia. Obserwator w przyspieszającym prostoliniowo pojeździe widzi działanie siły bezwładności  Fb =−m a wynikającej z przekształcenia II zasady dynamiki. Natomiast obserwator nieruchomy względem otoczenia pojazdu widzie, że siły bezwładności nie ma – to obiekty ruchome w pojeździe bronią się bezwładnie przeciw rozpędzaniu usiłując pozostać w poprzednim stanie bezruchu względem drogi. Inny przykład siły bezwładności to siła odśrodkowa działająca na człowieka na karuzeli lub na krople cieczy na kręcącym się talerzu. Gdyby siła odśrodkowa była siłą rzeczywistą to krople cieczy spadałyby w kierunku jej działania czyli radialnie a jednak łatwo wykryć, że po oderwaniu się od brzegu talerza lecą stycznie do obwodu talerza w miejscu oderwania się. Transformacja Galileusza Mamy dwa układy inercjalne poruszające się wzdłuż osi x (x’) jednostajnie prostoliniowo z prędkością względną u. Transformacje współrzędnych i czasu opisane są równaniami: '

x = x +ut ' y= y ' z=z ' t=t '

Zasada względności Galileusza: Nie ma żadnego zjawiska mechanicznego, które mogłoby wyróżnić którykolwiek inercjalny układ odniesienia, a w szczególności mogłoby wykryć układ „absolutnie nieruchomy”. 6. Definicja całki nieoznaczonej, sens geometryczny całki. Całka nieoznaczona F(x) jest taką funkcją zmiennej niezależnej x, której pochodna jest równa funkcji podcałkowej f(x).

F' ( x )=f (x) F ( x ) =∫ f ( x ) dx Sens geometryczny całki: Pole powierzchni pod wykresem pewnej krzywej. 7. Definicja pracy Pracę definiujemy jako iloczyn skalarny wektorów siły

F ° ∆ r =F ∙ ∆ r ∙ cos (  F , ∆ r ) W =

 F i przemieszczenia dla  F =const

∆ r :

b

F=F(x ) , to W =∫ F ( x ) dx

Jeżeli

a

8. (Pole sił zachowawczych) W wielu przypadkach działają na obiekt fizyczny siły zależne od położenia obiektu. Mówimy wtedy, że istnieją pola sił, co oznacza, że każdemu punktowi przestrzeni przypisany jest wektor siły – pole jest wektorowe. Występują także pola skalarne, np. pole temperatury. Pole danej wielkości fizycznej opisujemy podając funkcję określającą jak ta wielkość zależy od współrzędnych. Jeśli mamy pole sił, to przy przesunięciu obiektu, na który siły działają musimy wykonywać pracę. Istnieją takie pola, w których praca wykonana na przesunięcie obiektu jest magazynowana i może być z powrotem odebrana. Takie pola sił nazywamy zachowawczymi. Przykładem takiego pola sił jest pole grawitacyjne. Kryterium zachowawczości pola sił jest to, że jeśli przesunięcie ciała z punktu A do punktu B nie zależy od drogi, prędkości ruchu ani czasu to pole jest zachowawcze. Praca na drodze zamkniętej jest równa zero.

∮ F ∙ dr=0 III 1. Transformacja Galileusza, zasada względności Galileusza Transformacja Galileusza Mamy dwa układy inercjalne poruszające się wzdłuż osi x (x’) jednostajnie prostoliniowo z prędkością względną u. Transformacje współrzędnych i czasu opisane są równaniami: '

x = x +ut ' y= y ' z=z ' t=t ' Zasada względności Galileusza: Nie ma żadnego zjawiska mechanicznego, które mogłoby wyróżnić którykolwiek inercjalny układ odniesienia, a w szczególności mogłoby wykryć układ „absolutnie nieruchomy”.

2. Definicja pracy (wzorem i słowami)

Pracę definiujemy jako iloczyn skalarny wektorów siły

W = F ° ∆ r =F ∙ ∆ r ∙ cos (  F , ∆ r )

 F i przemieszczenia dla  F =const

∆ r :

b

Jeżeli

F=F(x ) , to W =∫ F ( x ) dx a

3. Warunki zachowawczości pola sił. Siła jest zachowawcza, jeśli praca przez nią wykonana w ruchu na drodze o początku A i końcu w B zależy tylko od położenia punktów A i B, a nie zależy od przebiegu drogi, prędkości ruchu ani czasu. Siła zachowawcza na dowolnej drodze zamkniętej wykonuje pracę zerową.

∮ F ∙ dr=0 4. Związek pola sił z polem energii potencjalnej Pole grawitacyjne scharakteryzowane jest pewną wielkością wektorową zwaną natężeniem pola grawitacyjnego. Natężeniem pola grawitacyjnego w danym punkcie nazywamy stosunek siły grawitacyjnej F działającej na masę m znajdującą się w tym polu do wielkości tej masy. 5. Zasada zachowania energii mechanicznej

E=E p + Ek =const Suma energii potencjalnej i energii kinetycznej danego ciała jest wielkością stałą i równą energii mechanicznej. 6. Prawo powszechnego ciążenia Dwa ciała o masach m 1 i m2 oddalone od siebie na odległość r oddziałują ze sobą tak, że siła wiążąca układ jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych ciał i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości pomiędzy nimi. Siła ta jest siłą przyciągającą, skierowaną wzdłuż prostej łączącej te ciała.

F=G

 F=

m1 m2 r2

−G m1 m2 r

3

r

G – stała grawitacji 7. Energia oddziaływania dwóch mas punktowych Energię dwóch mas punktowych w odległości r od siebie można obliczyć zakładając, że jest ona równa pracy sił zewnętrznych na przeniesienie jednej z mas do nieskończoności względem drugiej masy, bo wtedy siła ich wzajemnego oddziaływania zmniejszy się do zera. ∞

(

U=∫ −G r

)

Mm Mm 2 dr =−G r r

Minus w tym wzorze pojawił się ponieważ siła zewnętrzna musi mieć zwrot przeciwny do siły przyciągania obu mas. 8. Prawa Keplera ruchu planet Kepler sformułował trzy prawa rządzące ruchem planet w układzie słonecznym: 1) Planety krążą po elipsach wokół Słońca znajdującego się w jednym z ognisk elipsy. 2) Prędkości polowe planet są w ruchu wokół Słońca stałe.

3) Kwadrat okresu obiegu planety jest proporcjonalny do sześcianu wielkiej półosi elipsy.

T2 =const a3 9. Moment bezwładności bryły sztywnej, wzór na obliczanie momentu, prawo Steinera Moment bezwładności – to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Wzór na obliczanie momentu: M

N

I ≡ lim ∑ ∆ m r =∫ r 2 dm ∆m i → 0 i=1

2 i i

0

Prawo Steinera – mówi, że moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami, co wyrazić można wzorem:

I =I 0+ md

2

gdzie: I0 – moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy I – moment bezwładności względem osi równoległej do pierwszej osi m – masa bryły d – odległość między osiami 10. Położenie i własności środka masy Położenie środka mas:

∑ mi r i

rs =

i

∑ mi i

r – odległość mas m względem obranego punktu Własności środka masy: - gdy nie ma sił zewnętrznych (układ jest izolowany) to ruch środka masy nie zmienia się, czyli jest jednostajny prostoliniowy lub jest w spoczynku - jeśli działają siły zewnętrzne to środek masy porusza się tak, jakby w nim była cała masa układu i przyłożona była wypadkowa sił zewnętrznych - pęd środka masy układu odosobnionego jest stały (zasada zachowania pędu) - spełniona jest zasada zachowania momentu pędu izolowanego układu ciał 11. Zasada zachowania pędu Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działająca na układ N punktów materialnych wynosi 0 to pęd układu pozostaje stały:

F wyp =

dp =0=¿ p=const dt

N

N

i=1

i=1

∑ pi=∑ mi vi =const 12. Jakie prawa spełnione są w zderzeniach sprężystych, a jakie w niesprężystych

Zderzenia sprężyste: - prawo zachowania pędu:

m 1 v 1+ m2 v 2=m1 v 1 ' +m 2 v 2 ' - prawo zachowania całkowitej energii kinetycznej: 2 1

2 m1 v m v m v ' 2 m v '2 + 2 2= 1 1 + 2 2 2 2 2 2

Zderzenia niesprężyste: - prawo zachowania pędu:

m 1 v 1+m2 v 2=Mv 13. Wzór Mieszczerskiego na prędkość rakiety v

mu

v0

ms

∫ dv =c ∫ dm m ∆ v=c ln

( )

( )

m mu =−c ln 1+ p mu ms

IV 1. Prawa gazowe, równanie Clapeyrona. a) prawo Gay-Lussaca – opisuje przemianę izobaryczną (przy stałym ciśnieniu):

V V0 = =const T T0 b) prawo Charles’a – opisuje zmianę ciśnienia przy stałej objętości:

p= p0 (1+∝ t) lub:

p p0 = =const T T0 c) prawo Boyle’a-Mariotte’a – opisuje przemianę izotermiczną:

pV =const

Równanie Clapeyrona – równanie stanu opisujące związek pomiędzy temperaturą, ciśnieniem i objętością gazu doskonałego, a w sposób przybliżony opisujący gazy rzeczywiste

pV =nRT p – ciśnienie V – objętość n- liczba moli gazu

(n= Mμ )

(M – masa gazu, µ - masa molowa)

T – temperatura R – uniwersalna stała gazowa (R=8,31 J/(mol K)) 2. Postulaty teorii atomistycznej Daltona. 1. Jest tyle rodzajów atomów ile pierwiastków chemicznych 2. Atomy pierwiastków mają tę samą masę 3. Łącząc się w cząsteczki atomy wchodzą do nich w całości 4. Atomy są niepodzielne, niezmienne i niezniszczalne 5. Struktura cząsteczki zależy od liczby i rodzaju składników atomowych 3. Definicja funkcji rozkładu statystycznego prędkości cząsteczek gazu. Wprowadzamy funkcję rozkładu zmiennej losowej v zdefiniowaną wzorem:

f ( v) =

dn(v) ndv

Przy czym dn(v) oznacza koncentrację cząsteczek o prędkości od

dn(v) v

stosunek

v

do

v + dv , więc

określa prawdopodobieństwo posiadania takiej prędkości, a wzór

stanowi gęstość prawdopodobieństwa, czyli prawdopodobieństwo przypadające na jednostkowy zakres prędkości. Krócej mówiąc, iloczyn:

f ( v ) dv =

dn(v ) n

jest prawdopodobieństwem posiadania prędkości w zakresie od Zatem: ∞

∞

∫

v do v + dv .

f ( v ) dv=

v →0

1 ∫ dn(v )=1 n v →0

co oznacza, że prawdopodobieństwo posiadania przez cząsteczkę dowolnej prędkości w zakresie od 0 do ∞ jest pewnością. 4. Założenia teorii kinet.-molekularnej 1. Gaz składa się z cząstek, które można traktować, jak punkty materialne 2. Cząstki poruszają się chaotycznie i podlegają zasadom dynamiki Newtona 3. Całkowita liczba cząstek jest bardzo duża 4. Objętość cząstek jest pomijalnie mała w stosunku do objętości przestrzeni zajmowanej przez te cząstki 5. Poza momentami zderzeń na cząstki nie działają żadne siły 6. Zderzenia są sprężyste, a ich czas trwania można pominąć 7. Cząstki posiadają jedynie energię kinetyczną, a energia potencjalna jest równa zero 5. Teorii kinet.-molekularnej wzór na ciśnienie. Wzór na ciśnienie:

p=

1 mN v 2 3 V p – ciśnienie m – masa N – liczba cząstek

V – objętość v 2 - średni kwadrat prędkości cząsteczek gazu Interpretacja kinetyczno-molekularna ciśnienia:

1 p= ρ v 2 3 ρ - gęstość gazu 6. Zasada ekwipartycji energii dla różnych gazów. Na każdy stopień swobody przypada jednakowa energia

1 kT 2

energii. Zatem średnia

energia cząsteczki o i stopniach swobody:

E=

i kT 2

7. Rozkład barometryczny, doświadczenie Perrina Rozkład barometryczny – zależność ciśnienia powietrza od wysokości nad poziomem odniesienia.

ph= p0 exp

( −mgh RT )

Doświadczenie Perrina – miało na celu pomiar liczby Avogadra

n1= n0 exp

h ( −mg kT ) 1

h ( −mg kT )

n2= n0 exp

[

2

n1 mg =exp ( h −h ) n2 kT 1 2 ln

]

n1 mg ( h −h ) = n2 kT 1 2 Wszystkie wielkości w tym wzorze można było zmierzyć doświadczalnie za wyjątkiem stałej Boltzmanna k , która podlegała obliczeniu. Podzielenie stałej gazowej R przez otrzymaną wartość stałej Boltzmanna k , pozwoliło określić wartość stałej Avogadra. W ten sposób Perrin policzył ile cząsteczek gazu znajduje się w jednym molu gazu.

R =N A=6,02 ∙ 1023 mol−1 k 8. Rakieta, wzór Mieszczerskiego. Ruch rakiety jest przykładem ruchu ciała o zmiennej masie. Zasada zachowania pędu rakiety wyraża się zatem wzorem: dp=Fdt +( v+ w ) dm , gdzie dm jest ubytkiem masy, natomiast wektor (v +w) jest prędkością masy dm względem układu inercjalnego (prędkość względna rakiety i spalin o masie dm ). Równanie ruchu ciała o zmiennej masie wyraża się wzorem Mieszczerskiego:

m

d2 r dm =F+ w dt dt F – wypadkowa sił zewnętrznych

dm W dt

- siła ciągu rakiety

V 1. Dane jest równanie ruchu x = x0 + c1t + c2t2 + c3t3 gdzie ci jest stałe, napisz równanie prędkości i równanie przyspieszenia. 2. Postulaty mechaniki statystycznej, makro- i mikrostany. Postulaty mechaniki statystycznej: 1. Prawdopodobieństwo każdego mikrostanu jest takie samo – mikrostany równoprawdopodobne 2. Liczba cząsteczek w układzie jest stała 3. Całkowita energia układu jest stała

są

Makrostan – stan fizyczny określany przez parametry makroskopowe, jak temperatura, ciśnienie, energia wewnętrzna, itd. Mikrostan – stan układu wyznaczony przez określenie stanów wszystkich cząsteczek wchodzących w jego skład. 3. Prawdopodobieństwo stanu makroskopowego. Prawdopodobieństwo stanu makroskopowego (prawdopodobieństwo termodynamiczne stanu fizycznego) – liczba mikrostanów odpowiadających danemu makrostanowi

W=

N! n1 !n2 ! n3 ! … ns ! N – całkowita liczba cząsteczek n – liczba cząsteczek w wybranej komórce

4. Jakie makrostany są stanami równowagi? 5. Funkcja Boltzmanna rozkładu energii cząsteczek gazu. −3

f ( E )≡

dn ( E ) 2 ( kT ) 2 = ndE √π

( −E )

√ E exp kT

6. Wzór Stirlinga.

ln x! ≅ x ln x−x 7. Waga statystyczna stanów o energii E, E + dE.. Waga statystyczna stanów – liczba komórek 2

gE =

4 π p dp r

gE =

4 √2 π 2 m √ E dE r 3

g o danej energii

8. Funkcja Maxwella rozkładu prędkości cząsteczek gazu.

( )

dn ( v ) 4 m = ndv √ π 2 kT

f ( v) ≡

3 2

(

2 v 2 exp −m v 2 kT

)

n – liczba cząsteczek w jednost...