Ejemplos de la unidad 1 PDF

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SEMANA 1 EJEMPLOS DE LA UNIDAD I: CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. EJEMPLO: CLASIFIQUE LAS E.D, SEGÚN EL TIPO, ORDEN, GRADO Y LINEALIDAD.

1.

dy dz + =; E . D .O dx dx

2.

dy dz + =0 ; E . D dx dr

3.

∂2 y 2∂ y ; E. D .P =−c 2 ∂x ∂ x ´´

2

´

2x

4. y + x y −3 xy=e ; E . D . O , ORDEN 2 , GRADO 1, E . D . L 4 ( ) 3 2 ( ) 5. y −4 x y + 5 x y ´ + 2 x y =x + 2 ; E . D . O ,ORDEN 3 ,GRADO 1, E . D . NL 3

2

( )

2

6.

3 dy d4 y 3 2 d y ( ) −x 2 + 6 xy=2 cos 3 x ; E . D .O , ORDEN 4 ,GRADO 1, E . D . NL x − p + 3 4 dx d x d x

2 yV −3 x 2 y IV − 4 xy=¿lnx , se eleva ambos lados al cuadrado para eliminar laraiz , y asi clasificar 7.√ ¿ 2

( √ 2 y V −3 x 2 y IV −4 xy ) = (lnx )2 , entonces:2 y V −3 x 2 y IV −4 xy =¿

( lnx )2 ;

E . D . O ,ORDEN 5 ,GRADO 1, E . D . L

SOLUCION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

EJEMPLO: VERIFIQUE SI LA FUNCION ES UNA SOLUCION GENERAL DE LA E.D. HALLE LA SOLUCION PARTICULAR DE LA E.D 3x 3x ´´ ´ y =C 1 e + C 2 x e ; y −6 y +9 y =0 ; CONDICIONES INICIALES:

SOLUCION: Se deriva 2 veces la función explicita y se sustituye en la E.D. 3x

3x

y=C 1 e + C 2 x e → funcion explicita

y ´ =3 C1 e 3 x + C2 e 3 x +3 C2 xe 3 x ´´

3x

3x

3x

y =9 C1 e +3 C 2 e + 3C 2 e + 9C 2 x e Sustituimos´´ y´´ y sus derivadas en la E.D

3x

y (0 )=1 : y ´ ( 0 )=−3

´´

´

y −6 y + 9 y=0

9 C1 e 3 x + 3 C2 e3 x + 3C 2 e3 x + 9C 2 x e3 x −6 ( 3 C 1 e3 x +C 2 e3 x + 3 C 2 x e3 x) +9 ( C 1 e 3 x + C 2 x e3 x) =0 3x

3x

3x

3x

3x

3x

3x

3x

3x

9 C1 e + 3 C2 e + 3C 2 e + 9C 2 x e −18 C1 e −6 C 2 e −18C 2 x e + 9 C 1 e + 9 C 2 x e =0 Simplificando, nos queda: ⟨ 0=0 ⟩ , la reduce a una identidad, por lo tanto la función es una solución general de la E.D. Hallamos la solución particular dada las condiciones iniciales:

y=1 ; y´ =−3, cuando x=0, entonces , sustituyendoen y , y ´

{

y =C1 e3 x + C2 xe 3 x ; e 0=1 3x 3x 3x y ´ =3 C1 e +C2 e +3C 2 x e

{

1=C 1 C2 =−6, −3=3 C 1+C 2 →

sustituimos las constantes C 1 Y C 2 en la solucion general , para hallar la solucion particular : 3x

y=e −6 xe

3x

NOTA: Cuando la función es explicita se sustituye en la E.D ´´y´´ y sus derivadas

EJEMPLO: VERIFIQUE SI LA FUNCION ES UNA SOLUCION GENERAL DE LA E.D.

lny=C 1 e x +C2 e−x ; yy´ ´ − ( y ´ ) 2= y 2 lny Solución: se deriva la función implícitamente

( y n ) ´=n y n−1

lny=C 1 e x +C2 e−x y´ =C 1 e x −C2 e− x y x −x y´ = y (C 1 e −C2 e ) → u . v

C (C 1 e −C2 e )+ y (¿¿1 e x +C 2 e−x ) y ´ ´= y ´ ¿ x

−x

Sustituir y´ y y´´ en la E.D: yy´ ´ − ( y ´ )2= y 2 lny

y´, ya que la E.D de orden 2

(C 1 e −C2 e

−x

x

C + ) y (¿¿ 1 e x +C 2 e−x ) y´ ¿ ¿ y¿

[ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )

2

y y´

y´ 2 y´ = y 2 lny + ylny − y y y

yy ´

y´ y´ 2 2 + y 2 lny − y 2 = y lny y y

[( )

] ( )

y ´2 y ´2 + y 2 lny − y 2 2 = y 2 lny y y

y

2

2

2

2

y´ + y lny − y ´ = y lny

y 2 lny= y 2 lny ; la reduce a una identidad , por lo tanto la funcion es una solucion general dela E . D NOTA: cuando la función es implícita se sustituyen en la E.D, las derivadas .

DETERMINACION DE LA ECUACION DIFERENCIAL DADA LA FUNCION O LA SOLUCION GENERAL. EJEMPLO 1. DETERMINE LA ECUACION DIFERENCIAL DADA LA FUNCION. 2x

2x

y=C 1 e + C 2 x e

, es una función explicita, “y” esta despejada

Solución: se deriva la función según la cantidad de constantes arbitrarias, en este ejercicio tenemos dos constantes, es decir, se deriva dos veces la función:

y=C 1 e2 x + C 2 x e2 x ( 1 ) ' 2x 2x 2x y =2 C1 e +C 2 e +2 C 2 x e ( 2)

'' 2x 2x 2x 2x y =4 C 1 e +2 C2 e +2C 2 e + 4 C2 xe ( 3 )

Al derivar dos veces no se eliminan las constantes entonces, se forma un sistema de ecuaciones con ”y” y sus derivadas, para hallar el valor de las constantes o eliminarlas, ya que las Ecuaciones Diferenciales no contienen constantes arbitrarias. Usamos el método de reducion:

a . ( 2 ) × (−2) +( 3 )

2x ' 2x 2x y =2 C1 e +C 2 e +2 C 2 x e ( 2)

'' 2x 2x 2x 2x y =4 C 1 e +2 C2 e + 2C 2 e + 4 C2 xe ( 3 )

Entonces:

y '' −2 y ' =2 C 2 e 2 x ( 4 )

b . ( 1) × (−2) +( 2 ) Entonces: y ' −2 y =C 2 e 2 x ( 5 )

c . ( 5) × (−2) +( 4 ) Entonces:

y '' −4 y ' +4 y=0 ,

es una e.d.o, de 2º orden, de grado 1, e.d.l. con coeficientes constantes.

EJEMPLO 2. DETERMINE LA ECUACION DIFERENCIAL DADA LA FUNCION Y CLASIFIQUE LA E.D....