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EJERCICIOS DE BIOMETRÍATAREA #8: Teorema del límite centralEJERCICIO 1. Población pequeña Una población está formada por N=5 números: 1,3, 5, 6 y 7. Se puede demostrar que la media y desviación estándar para esta población sonμ = 4 σ = 2, respectivamente.a. Construya un histograma de probabilidad pa...

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EJERCICIOS DE BIOMETRÍA

TAREA #8: Teorema del límite central EJERCICIO 1. Población pequeña Una población está formada por N=5 números: 1,3, 5, 6 y 7. Se puede demostrar que la media y desviación estándar para esta población son μ = 4.4 σ = 2.15 , respectivamente. a. Construya un histograma de probabilidad para esta población. b. Para simular la distribución muestral de x , se han seleccionado 50 muestras de tamaño n= 10 con restitución y se han calculado las correspondientes medias muestrales. Construya un histograma de frecuencia relativa para estos 50 valores de x. ¿Cuál es la forma de esta distribución? 4.8 4.2 4.2 4.5 4.3 4.3 5.0 4.0 3.3 4.7 3.0 5.9 5.7 4.2 4.4 4.8 5.0 5.1 4.8 4.2 4.6 4.1 3.4 4.9 4.1 4.0 3.7 4.3 4.3 4.5 5.0 4.6 4.1 5.1 3.4 5.9 5.0 4.3 4.5 3.9 4.4 4.2 4.2 5.2 5.4 4.8 3.6 5.0 4.5 4.9

EJERCICIO 2. Bailarines Suponga que los bailarines de una compañía de teatro, con el rango de bailarín profesional ganan un promedio $64 571 pesos por trimestre con una desviación estándar de $4 000 pesos. En un intento por verificar este nivel de salario, se seleccionó una muestra de 60 bailarines de entre una base de datos del personal de la compañía. a. Describa la distribución muestral de la media muestral x . μ = 64 571 σ = 4 000 n = 60 4000

=N N (64 571, ) (64 571, 516.4 ) √60 ➢ El error estándar de x es:

4000 σ

=

Se = 516.4 √n=√60 b. ¿Dentro de qué límites se esperaría que esté el promedio muestral, con probabilidad 0.95?

c. Calcule la probabilidad de que la media muestral x  sea mayor a $66 000 pesos. x−μ 

El valor x= 66 000 expresado en: z =

σ/√n 66 000+64 571

=

P(x ≥ 66 000) = P(z ≥ ) 252.8 516.4 d. Si su muestra aleatoria en realidad produjo una media muestral de $66 000, ¿consideraría usted que esto es poco común? Concluya.

EJERCICIO 3 El requerimiento normal diario de potasio en seres humanos está en el intervalo de 2 000 a 6 000 miligramos (mg), con cantidades grandes necesarias durante los meses calurosos de verano. La cantidad de potasio en alimentos varía, dependiendo de éstos. Por ejemplo, hay alrededor de 7 mg en un refresco de cola, 46 mg en una cerveza, 630 mg en un plátano (banano), 300 mg en una zanahoria y 440 mg en un vaso de jugo de naranja. Suponga que la distribución de potasio en un plátano está distribuida normalmente, con media igual a 630 mg y desviación estándar de 40 mg por plátano. Usted toma n=3 plátanos al día y T es el número total de miligramos de potasio que recibe de ellos. a. Encuentre la media y desviación estándar de T. Se toman x + 3 => 7 + 3 = 10 plátanos 630 mg de potasio en un plátano 630 x 10 = 6300 mg T = total de potasio en mg T = N x μ = 10 x 630 = 6300 Desviación = N veces V arianza = n Plátano

Potasio

x1

633

x2

630

x3

632

x4

621

T = 633 + 630 + 632 + 61 T = 2516

μ = 6300/40 = 157.5 σ= b. Encuentre la probabilidad de que su ingesta diaria de potasio de los tres plátanos exceda de 2000 mg. (sugerencia: Observe que T es la suma de tres variables aleatorias, x1, x2, y x3, donde x1 es la cantidad de potasio en el plátano 1, etc.) > 2000

P( x 1 + x 2 + x 3

)

1 − P(x 000) 1 + x2 + x3 ≤ 2 T = 633 + 630 + 632 = 1895 2000 − 1895 = 105 EJERCICIO 4. n=25 Suponga que se selecciona una muestra aleatoria de n=25 observaciones de entre una población que está distribuida normalmente, con media igual a 106 y desviación estándar igual a 12. μ = 106 σ = 12 n = 25 a. Dé la media y desviación estándar de la distribución muestral de la media muestral x. ➢ Se utiliza la fórmula:

x =σ√n

12

x = = 2.4 √25

b. Encuentre la probabilidad de que x exceda de 110. ➢ Se utiliza la fórmula: Z 110−106

=x−μ σ/√n

=

Z = 1.67

12/√25

Se ubica el valor de Z en la tabla de área bajo la curva: P(z > 110) = 1 − 0.9525 = 0.0475 c. Encuentre la probabilidad de que la media muestral se desvíe de la media poblacional ��=106 en no más de 4. (102−106)

P = 2.4

< z < 2.4

(110−106)

P =− 1.67 < z < 1.67 0.0475 + 0.0475 = 0.095

TAREA #9: Estimación puntual EJERCICIO 5. Calcule el margen de error al estimar una media poblacional μ para estos valores: a. n=50, s² = 4 b. n=500, s² = 4 c. 5000, s² = 4

1.96SE = 1.96σ√n

√ = b) n = 500, s² = 4, 1.96 0.175 √ = c) n = 5000,s² = 4, 1.96 0.055 √

a) n = 50,s² = 4, 1.96 0.554

4

50

4

500

4

5000 =

EJERCICIO 6. Calcule el margen de error al estimar una proporción binomial p usando muestras de tamaño n=100 y los siguientes valores para p: a. p= .1 b. p= .3 c. p= .5 d. p= .7 e. p= .9 ➢ Error típico dado por: √ npq ➢q=1−p a) Se =

√ 0.03 0.1(0.9)

b) Se =

100

=

√ 0.046 0.3(0.7)

100

=

c) Se =

√ 0.05 0.5(0.5)

=

√ 0.046

d) Se =

0.7(0.3)

e) Se =

100

√ 0.03 0.9(0.1)

100

=

100

=

f. ¿Cuál de los valores de p produce el máximo margen de error? 0.5

EJERCICIO 7.

Unos geólogos están interesados en los corrimientos y movimientos de la superficie terrestre indicados por fracturas (grietas) de la corteza de nuestro planeta. Una de las fracturas grandes más famosas es la falla de San Andrés, en California. Una geóloga que trata de estudiar el movimiento de los cambios relativos en la corteza terrestre, en un lugar en particular, encontró numerosas fracturas en la estructura local de rocas. En un intento por determinar el ángulo medio de las roturas, ella muestreó n= 50 fracturas y encontró que la media muestral y desviación estándar eran de 39.8° y 17.2°, respectivamente. Estime la dirección angular media de las fracturas y encuentre el margen de error para su estimación. ➢ Se usa la fórmula:

SE =S√n ➢ Datos:

x = 39.8

n=50 ➢ Sustituir:

S=17.2

17.2

=2 SE = .432 √50

➢ Calcular el margen de error IC= 95% α = 0.05 Z 0.05=

1.96

1.96(SE)= 1.96(2.432)= 4.7667 ➢ Calcular la dirección angular media x × SE x × SE ) P( , × × P(39.8-1.96 2.432 ,39.8+1.96 2.432)=P(35.03328 ,44.56672) EJERCICIO 8. Las estimaciones de la biomasa de la Tierra, es decir, la cantidad total de vegetación que hay en los bosques del planeta, son importantes para determinar la cantidad de dióxido de carbono no absorbido que se espera permanezca en la atmósfera terrestre. Suponga que una muestra de 75 terrenos de un metro cuadrado, escogidos al azar en bosques boreales de América del Norte, produjo una biomasa media de 4.2 kilogramos por metro cuadrado (kg/m²), con una desviación estándar de 1,5 kg/m². Estime el promedio de biomasa para los bosques boreales de América del Norte y encuentre el margen de error para su estimación. ➢ Se usa la fórmula

SE =S√n ➢ Datos n=75 ➢ Sustituir

x = 4.2

S=1.5

1.5

SE = .173 √75= 0 ➢ Calcular el margen de error IC=95% α = 0.05 Z 0.05=

1.96 1.96(SE)= 1.96(0.173)= 0.339 ➢ Calcular el promedio de biomasa x × SE x × SE ) P( , × × P(4.2-1.96 0.173 ,4.2+1.96 0.173)=P(3.860 ,4.539)

TAREA #10: Estimación por intervalos EJERCICIO 9. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para una media poblacional para estos valores: x a. n= 125, = .84, s²= .086 x b. n=50, = 21.9, s² = 3.44 c. Interprete los intervalos hallados en los incisos a) y b).

➢ Resolución a) Con IC= 90% = 0.9 α = 1 − 0.9 = 0.1

.05 2α = 0 Z .645 ← Tablas de distribución normal 2α = 1 x ± Z .84 .645 .84 .645 0.026 0.84 .381 2α ×S√n= 0 ± 1 ×√125 0.293 =0±1×=±1 ➔ 0.84 + 1.381 =2.221(Límite superior)

➔ 0.84 − 1.381 =-0.541(Limite inferior) ➔ 2.221 < μ < 0.541 Podemos decir que con un intervalo de confianza del 90%, la media está entre -0.541 y 2.221 b) Con IC= 90% = 0.9 α = 1 − 0.9 = 0.1

.05 2α = 0 Z .645 ← Tablas de distribución normal 2α = 1 x ± Z 1.9 .645 1.9 .645 0.262 1.9 .430 2α ×S√n= 2 ± 1 ×√50 1.854 =2±1×=2±0 ➔ 21.9 + 0.430 =22.33 (Límite superior)

➔ 21.9 − 0.430 =21.47 (Limite inferior) ➔ 21.47 < μ < 22.33 Podemos decir que con un intervalo de confianza del 90%, la media está entre 22.33 y 21.47 EJERCICIO 10. Debido a una variación en técnicas de laboratorio, impurezas en materiales y otros factores desconocidos, los resultados de un experimento en un laboratorio de química no siempre darán la misma respuesta numérica. En un experimento de electrólisis , un grupo de estudiantes midió la cantidad de cobre precipitado de una solución saturada de sulfato de cobre en un periodo de 30 minutos. Los n= 30 estudiantes calcularon una media muestral y desviación estándar igual a .145 y .0051 moles, respectivamente. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la cantidad media de cobre precipitado de la solución en un periodo de 30 minutos. ➢ Datos n=30 s=.0051 x = .145 IC= 90%=0.9 α = 1 − 0.9 = 0.1

.05 2α = 0 Z .645 ← Tablas de distribución normal 2α = 1

➢ Fórmula

x ± Z 2α ×S√n

➢ Sustituir

x ± Z 1.45 .65 .45 .645 .0009 .45 .0014 2α ×S√n= ± 1 ×√30 0.0051 =1±1×0=1±0

➢ Intervalo de confianza → 1.45+0.0014= 1.451 (Limite superior) → 1.45-0.0014= 1.448 (Limite inferior) → 1.448 < μ < 1.451 EJERCICIO 11. La lluvia ácida, causada por la reacción de ciertos contaminantes del aire con el agua de lluvia, parece ser un problema creciente en la región noreste de Estados Unidos. (La lluvia ácida afecta al suelo y causa corrosión en superficies metálicas expuestas.) La lluvia pura que cae en aire limpio registra un valor de pH de 5.7 (el pH es una medida de la acidez: 0 es ácido; 14 es alcalino). Suponga que muestras de agua de 40 lluvias se analizan para el x contenido del pH y y s son iguales a 3.7 y .5, respectivamente. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para el pH medio en agua de lluvia e interprete el intervalo. ¿Qué suposición debe hacerse para que el intervalo de confianza sea válido? ➢ Datos x = 3.7 s=.5 IC= 99% = 0.99 n=40 α = 1 − 0.99 = 0.01

Z .257 2α = 2 ➢ Sustituir en la fórmula

x ± Z 3.7 .257 .7 .257 .079 .7 .178 2α ×S√n= ± 2 ×0.5 √40= 3 ± 2 × 0 = 3 ± 0 →3.7+0.178= 3.878(Limite superior)

→ 3.7.-0.178= 3.522 (Limite inferior) → 3.522 < μ < 3.878 ➢ Esto significa que con un intervalo de confianza del 99%, la media del pH en agua de lluvia oscila entre 3.5 y 3.8

EJERCICIO 12. El departamento de carnes de una cadena local de supermercados empaca carne molida usando charolas de dos tamaños: una diseñada para contener alrededor de 1 libra de carne y otra que contiene aproximadamente 3 libras. Una muestra aleatoria de 35 paquetes en las charolas más pequeñas para carne produjo mediciones de peso con un promedio de 1.01 libras y una desviación estándar de .18 libras. a. Construya un intervalo de confianza de 99% para el peso promedio de todos los paquetes vendidos por esta cadena de supermercados en las charolas de carne más pequeñas. b. ¿Qué significa la frase “99% de confianza”?

c. Suponga que el departamento de control de calidad de esta cadena de supermercados tiene la intención de que la cantidad de carne molida en las charolas más pequeñas debe ser 1 libra en promedio. ¿El intervalo de confianza del inciso a debe ser del interés del departamento de control de calidad? Explique. ➢ Datos a) n=35 x = 1.01 s= .18 IC= 99% = 0.99 α = 1 − 0.99 = 0.01

Z .257 2α = 2 ➢ Sustituir en la fórmula x ± Z 1.01 .257 .01 .257 .030 .01 .068 2α ×S√n= ± 2 ×√35 0.18 =1±2×0=1±0 →1.01+0.068= 1.078(Limite superior) → 1.01.-0.068= 0.942 (Limite inferior) → 0.942 < μ < 1.078 b) Podemos decir que con un intervalo de confianza del 99%, la media de libras de carne está entre el 0.942 y 1.078

➢ En el caso de 1 libra.. c) x ± Z 1 .257 .257 .030 .068 2α ×S√n= ± 2 ×√35 0.18 =1±2×0=1±0 →1+0.068= 1.068(Limite superior) → 1.-0.068= 0.932 (Limite inferior) → 0.932 < μ < 1.068...