Ejercicios de Gestión de Riesgos Financieros PDF

Preview

Summary

Ejercicios gestión de riesgos financieros...

Description

EJERCICIOS: TEMA 1  Ej. Duración de un bono Tenemos un bono con vencimiento a 3 años y valor nominal de 100 euros. Los cupones anuales son del 8% y hay un reembolso a la par. Siendo el rendimiento exigió de 10%, ¿cuál es la duración del bono? Sabemos que la duración tiene que ser muy próxima a 3, pero nos va a tener que dar un valor por debajo. t=0 1 2 3 C1=8 C2=8 C3=8 y VREEMBOLSO=100 n=3; VNOMINAL=VREEMBOLSO=100; Ct=VNOMINAL·8%=100·8%=8; r=10%; D=? Primero tenemos que ver el valor P, para una vez que se haya obtenido poder calcular la duración del bono. Por ello, se procede a valorar el bono. 3

𝑉𝑅𝐸𝐸𝑀𝐵𝑂𝐿𝑆𝑂 𝐶𝑡 + 𝑡 (1 + 𝑟) (1 + 𝑟)3 𝑡=1 8 8 8 100 = 95,03€ 𝑃= + + + (1 + 0,1)1 (1 + 0,1)2 (1 + 0,1)3 (1 + 0,1)3 3 𝐶𝐹𝑡 1 𝐷 = ∑𝑡 · · 𝑡 (1 + 𝑟) 𝑃 𝑡=1 8 8 8 + 100 1 = 2,777 𝑎ñ𝑜𝑠 𝐷 = (1 · +2· +3· )· (1 + 0,1)1 (1 + 0,1)2 (1 + 0,1)3 95,03 𝑃=∑

 Ej. Duración Calcular la duración de los siguientes bonos.  Bona A: bono cupón cero a 2 años con un precio de 850€ y un valor nominal de 1.000€. t=0 1 2 P=850 0,00€ VREMBOLSO=1.000€ Al estar en un activo con cupón cero y/o emitido al descuento. La duración del activo coincide con el tiempo que transcurre hasta el vencimiento (rembolso) del activo (bono). Esto se debe a que al haber un único pago, la duración media de los pagos es el vencimiento. Si quisiéramos calcular tendríamos que: 2

𝑃=∑ 2

𝑡=1

𝐶𝑡 1.000 𝑉𝑅𝐸𝐸𝑀𝐵𝑂𝐿𝑆𝑂 = 0+0+ + 𝑡 2 (1 + 𝑟 ) (1 + 𝑟) (1 + 𝑟)2

0 1 1 1000 𝐶𝐹𝑡 · · =1· +2· =2 2 𝑡 1.000 1.000 𝑃 (1 + 𝑟) (1 + 𝑟) 𝑡=1 2 2 (1 + 𝑟) (1 + 𝑟) Bono B: bono a 2 años, cupón del 5% anual. Cotiza a la par y valor nominal de 1000€ 𝐷 = ∑𝑡 ·



Al ser a la par VE=P=VN=VR  i=r=5%; cupón será: Ct=5%·1.000€=50€ t=0 1 2 C1=50€ C2=50€ VREMBOLSO=1.000€ 2

𝑃=∑ 𝑡=1

𝐶𝑡 50 50 1.000 𝑉𝑅𝐸𝐸𝑀𝐵𝑂𝐿𝑆𝑂 = 1.000 = + + + 𝑡 2 2 (1 + 𝑟 ) (1 + 𝑟) 1 + 0,05 (1 + 05) (1 + 05)2

2

𝐷 = ∑𝑡 · 𝑡=1

𝐶𝐹𝑡 1 = 1.952 𝑎ñ𝑜𝑠 50 + 1000 50 ) · 1000 +2· (1 + 𝑟)𝑡 · 1 = (1 · 2 1.05 1.05 𝑃

 Ejemplo: Tenemos dos bonos tal que:  Bono A: duración 8 años y P=950 euros  Bono B: duración 4 años y P=1050 euros. ¿Cómo invertiría 10.000 euros entre estos dos bonos si tiene un periodo deseado de inversión de 7 años y desea además minimizar el riesgo de tipo de interés? Para minimizar el riesgo de tipo de interés, debemos lograr que el riesgo sea nulo, o sea, sea inmune la cartera ante los cambios del tipo de interés. Dicho riesgo se hace nulo en el caso de que el efecto precio es igual al efecto de reinversión. Esto ocurre cuando el horizonte deseado es igual a la duración ya que se elimina, no existe, el riesgo de interés porque se tratan de riesgos de signos contrarios y se anulan al ser iguales. Por tanto, si tenemos horizonte deseado=7, la duración de la cartera=7 3 𝐷 = 8 · 𝑥 + 4 · (1 − 𝑥) = 8𝑥 + 4 − 4𝑥 = 7 → 4𝑥 = 3 → 𝑥 = = 0.75 = 75% 4 Para que la cartera tenga un riesgo de interés nulo, tendrá que invertir el 75% de la cartera en el bono “A” y el resto 25% de la cartera en bonos “B”.  Ej. Duración ¿Qué bono es más sensible a los cambios de tipo de interés?  Bono A: anualidad constante de 263,8 durante 5 años  Bono B: nominal de 1.000 con un cupón al 10% y mismo vencimiento en 5 años siendo el reembolso a la par VN=VR  i=r Sabemos que la duración es directamente proporcional al tipo de interés. Este tipo de interés es el rendimiento exigido por los inversores. Por ello, el que tenga una mayor duración, será más sensible ante los cambios de tipo y tendrá un riesgo mayor. Bono A Vamos a suponer que el tipo de interés es el mismo, o sea, 0,10 0 1 2 3 4 5 C1=263,8 C2=263,8 C3=263,8 C4=263,8 C5=263,8 5

𝑃=∑ 𝑡=1

𝑃=

𝑉𝑅𝐸𝑀𝐵𝑂𝐿𝑆𝑂 𝐶𝑡 + (1 + 𝑟 )5 (1 + 𝑟 )𝑡

263,8 263,8 263,8 263,8 263,8 + +0 + + + 2 3 4 1 + 0,1 (1 + 0,1) (1 + 0,1) (1 + 0,1) (1 + 0,1)5 𝑃 = 263,8 · 𝑎5|0.1 = 1.000 2

𝐷 = ∑𝑡 · 𝑡=1

𝐷 = (1 ·

𝐶𝐹𝑡 1 · 𝑡 (1 + 𝑟 ) 𝑃

263,8 263,8 263,8 263,8 263,8 1 +2· +3· +4· +5· )· (1 + 0,1) (1 + 0,1)2 (1 + 0,1)3 (1 + 0,1)4 (1 + 0,1)5 1.000 𝐷 = 2,81

Bono B El cupón anual será VN·i=1.000·10%=100 0 1 2 3 4 C1=100 C2=100 C3=100 C4=100 5

5 C5=100 y VREMBOLSO=1.000

𝐶𝑡 𝑉𝑅𝐸𝑀𝐵𝑂𝐿𝑆𝑂 + 𝑡 (1 + 𝑟 )5 (1 + 𝑟 ) 𝑡=1 100 100 100 100 1000 100 𝑃= + + + + + 1 + 0,1 (1 + 0,1)2 (1 + 0,1)3 (1 + 0,1)4 (1 + 0,1)5 (1 + 0,1)5 1000 𝑃 = 100 · 𝑎5|0.1 + = 1.000 (1 + 0,1)5 𝑃=∑

5

𝐶𝐹𝑡 1 · (1 + 𝑟 )𝑡 𝑃 𝑡=1 100 100 100 1100 1 100 +2· +3· +4· +5· )· 𝐷 = (1 · 2 3 4 5 (1 + 0,1) (1 + 0,1) (1 + 0,1) (1 + 0,1) (1 + 0,1) 1.000 𝐷 = 4,12 Por la estructura de flujos, vemos que en el bono A tenemos las anualidades homogéneas y, por tanto, las ponderaciones son homogéneas, constantes. Sin embargo, en el bono B el mayor peso de la ponderación en el último flujo de caja hace que su duración sea mayor. En conclusión, el bono más sensible al tipo de interés es el que tiene mayor duración y en este caso es el bono B. 𝐷 = ∑𝑡 ·

 Ej. Inmunización Tenemos un bono con horizonte de 5 años, nominal de 1.000 euros cupón del 8% y un vencimiento a 6 años. El cupón es: Ct=8%·1.000=80€; el horizonte temporal es a los 5 años cuando vendemos 0 1 2 3 4 5  H vendemos 6 C1=80 C2=80 C3=80 C4=80 C5=80 y PVENTA C6=80 y VREMBOLSO=1.000 Primero valoramos el título; 6

6

𝑡=1

𝑡=1

80 1.000 𝑉𝑅𝐸𝑀𝐵𝑂𝐿𝑆𝑂 𝐶𝑡 =∑ + + = 1.000 𝑃=∑ (1 + 𝑟 )6 (1 + 0,08)𝑡 (1 + 0,08)6 (1 + 𝑟 )𝑡

Después realizamos el cálculo de la duración; 6

6

𝑡=1

𝑡=1

𝐶𝐹𝑡 𝐶𝐹𝑡 1 1 = 4,992 ≈ 𝐻 𝐷 = ∑𝑡 · · · = ∑𝑡 · (1 + 0,08)𝑡 1.000 (1 + 𝑟 )𝑡 𝑃

En teoría al ser la duración de nuestra inversión aproximadamente igual al horizonte esperado, la inversión no es sensible al tipo de interés. Al cabo de 5 años tenemos: Cupones + reinversión: 80 · 1,084 + 80 · 1,083 + 80 · 1,082 + 80 · 1,081 + 80 = 80 · 𝑎6 |0.08 = 469,33 El precio el día de la venta: 1.000 + 80 𝑃5 = = 1.000 1 + 0,08 La rentabilidad será: (1.000 + 469,33) 𝑖= · 100 = 46,933% 1000 La rentabilidad por año: 𝑘 5 1 + 𝑖 = (1 + 𝑖𝑘 )𝑘 → 𝑖𝑘 = √1 + 𝑖 − 1 → 𝑖5 = √1 + 0,46933 − 1 = 0,08 → 8,00%

Si compramos el bono a 1000 con un tipo de interés en mercado del 8%, pero al día siguiente el tipo de interés baja al 7%. Al cupón no le afecta porque en el momento que lo habíamos comprado el interés estaba al 8%, pero la reinversión si se verá afectada. Cupones + reinversión: 80 · 1,074 + 80 · 1,073 + 80 · 1,072 + 80 · 1,071 + 80 = 80 · 𝑎6 |0.07 = 460,06 El precio el día de la venta: 1.000 + 80 = 1.009,35 𝑃5 = 1 + 0,07 La rentabilidad será: (1.009,35 + 460,06) − 1.000 𝑖= · 100 = 46,940% 1000 La rentabilidad por año: 𝑘 5 1 + 𝑖 = (1 + 𝑖𝑘 )𝑘 → 𝑖𝑘 = √1 + 𝑖 − 1 → 𝑖5 = √1 + 0,46940 − 1 = 0,08 → 8,00% Ahora bien, que ocurre si los tipos de interés al día siguiente suben al 9% Cupones + reinversión: 80 · 1,094 + 80 · 1,093 + 80 · 1,092 + 80 · 1,091 + 80 = 80 · 𝑎6 |0.09 = 478,78 El precio el día de la venta: 1.000 + 80 = 990,83 𝑃5 = 1 + 0,09 La rentabilidad será: (990,83 + 460,06) − 1.000 · 100 = 46,960% 𝑖= 1000 La rentabilidad por año: 𝑘 5 1 + 𝑖 = (1 + 𝑖𝑘 )𝑘 → 𝑖𝑘 = √1 + 𝑖 − 1 → 𝑖5 = √1 + 0,46960 − 1 = 0,08 → 8,00% Como podemos ver en los tres casos, la rentabilidad no cambia aunque varíe el tipo de interés.  Ejercicio 1 test 1 ¿Cuál sería la cotización de un bono un año con un nominal de 1.000 euros que paga un único cupón del 8% y devuelve la totalidad del principal al final del año 1 si el rendimiento exigido por el inversor es del 8%? El valor del cupón es de 1.000€·8%=80€. Entones, tenemos el pago del cupón más el pago de la devolución del principal, por lo que: 𝑛 𝐶𝑡 80 1.000 𝑉𝑟𝑒𝑒𝑚𝑏𝑜𝑙𝑠𝑜 𝑃=∑ = + + = 1.000 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑛 𝑡 (1 + 𝑟) (1 + 0,08) (1 + 0,08) (1 + 𝑟) 𝑡=1 El bono cotiza a la par por 1.000 euros.  Ejercicio 4 test 1 Tenemos dos bonos a 5 años con un nominal de 1.000 euros y una misma TIR del 4,55%. El bono A se emite al descuento por un precio de 800 euros y se reembolsa en un único cobreo al final del 5º año por su valor nominal. El bono B se emite por el nominal de 1.000 euros y se devuelve en 5 cantidades iguales a 228 euros cobradas al final de cada año entre el 1 y el 5. ¿Cuál estará más expuesto al riesgo de tipo de interés? Para saber cual está más expuesto al riesgo debe de conocerse la duración de bono. Sabemos los precios de emisión que serán los de cotización, esto es, el valor “P” para el bono A será de P=800, pero para el bono B será “P”=1.000. Por ello, las duraciones serán: 𝑡

1 𝐶𝐹𝑡 1.000 1 ) = 5,03 𝑎ñ𝑜𝑠 𝐷𝐴 = · ∑ 𝑡 · · (5 · = 𝑡 ( 1 + 0.0455)5 (1 + 𝑟) 800 𝑃 𝑛

𝐷𝐵 =

1

𝑃

𝑡

𝐶𝐹𝑡 · ∑ 𝑡 · (1 + 𝑟)𝑡 𝑛

228 228 228 1 +3· (1 · +2· +4 2 ( ) 1 + 0.0455 (1 + 0.0455)3 1.000 1 + 0.0455 228 228 ) = 2,9 𝑎ñ𝑜𝑠 · +5· 4 (1 + 0.0455)5 (1 + 0.0455) El bono A estará más expuesto al riesgo por tener mayor duración que el bono B, o sea, el B estará menos expuesto al riesgo por tener una menor duración que el bono A. =

 Ejercicio 6 test 1 Para un título con una beta igual a 2, si el rendimiento del activo libre de riesgo (RF) es 2% y el rendimiento de la cartera de mercado (Rm) es del 6,5%, cuál será el rendimiento esperado en equilibrio. 𝑅𝑗 = 𝑅𝐹 + (𝑅𝑚 − 𝑅𝐹) · 𝛽𝑗 = 0,02 + (0,065 − 0,02) · 2 = 0,11  Ejercicio 7 test 1 Si formamos una cartera invirtiendo un 50% de nuestro capital un bono cupón cero a 2 años y el 50% restante en un bono cupón cero a 4 años. ¿Cuál será la duración de la cartera? Un bono cupón cero es un bono que no paga intereses, por lo que su duración es la misma duración que el propio bono, entonces: 𝐷𝑃 = 2 · 50% + 4 · 50% = 3 𝑎ñ𝑜𝑠 EJERCICIOS: TEMA 2  Ej. VaR mercados internacionales Partimos del mercado español que tiene un promedio de la rentabilidad mensual del 1,02% y una desviación típica del 5,65%. Como se observa, la rentabilidad mensual es distinta de cero a diferencia de las rentabilidades diarias. Partiendo de ello tenemos que: 𝑉𝑎𝑅95 = 𝜇 − 1,65 · 𝜎 = 1,02% − 1,65 · 5,65% = 8,2% 𝑉𝑎𝑅99 = 𝜇 − 2,33 · 𝜎 = 1,02% − 2,33 · 5,65% = 12,1% La probabilidad de una pérdida mensual superior al 8,2% es del 5%. En cambio hay un 1% de probabilidad, de que la pérdida sea superior al 12,1%  Ej. VaR cartera con dos títulos Si tenemos una inversión de 100.000€ en títulos de Repsol y otros 100.000 en Telefónica. La rentabilidad promedio diaria y su desviación estándar para Repsol es de 0.09% y 0.87% respectivamente. En el caso de Telefónica tenemos un μ=0,08% y σ=1,07%. El cálculo del valor en riesgo con un nivel de confianza del 95% para una inversión en cada compañía de 100.000€ será: 𝑅𝐸𝑃: 𝑉𝑎𝑅95 = 𝑐(𝜇 − 1,65 · 𝜎) = 100.000(0,09% − 1,65 · 0,87%) = −1.340€ (−1,34%) 𝑇𝐸𝐿: 𝑉𝑎𝑅95 = 𝑐(𝜇 − 1,65 · 𝜎) = 100.000(0,08% − 1,65 · 1,07%) = −1.680€ (−1,68%) Puedo perder con un 5% de probabilidad más de un 1,34% para Repsol, esto es, si invierto 100.00€ puedo perder más de 1.340€ en un 5% de las ocasiones. En el caso de Telefónica las pérdidas serían superiores al 1,68% en el 5% de las ocasiones lo que se traduciría que perdería

más de 1.680€ en un 5% de las ocasiones para una inversión de 100.000€. Ahora bien, estas pérdidas serían por separado. Porque si estamos en una cartera, la varianza sería tal que: 𝑛

𝑚

2 𝜎𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑟𝑎 = ∑ ∑ 𝑥𝑖 𝑥𝑗 · 𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑖 , 𝑅𝑗 ) 𝑖=1 𝑗=1

La covarianza de Telefónica es de 1,13·10-4, la covarianza de Repsol es de 7,50·10-5 . La desviación estándar de la rentabilidad de la cartera viene dada para un coeficiente de Pearson ρ=0,38 por: 2 2 2 2 𝜎𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑟𝑎 = √𝑋𝑇𝐸𝐹 · 𝜎𝑅𝑇𝐸𝐹 + 𝑋𝑅𝐸𝑃 · 𝜎𝑅𝑅𝐸𝑃 + 2 · 𝑋𝑇𝐸𝐹 · 𝑋 · 𝜌 · 𝜎𝑅𝑇𝐸𝐹 𝜎𝑅𝑅𝐸𝑃

Como la rentabilidad diaria tiene un promedio del 0,085% y la desviación típica es del 0.80%, entonces, el valor en riesgo para un coeficiente de confianza del 95% será: 𝑉𝑎𝑅95 = 𝑐(𝜇 − 1,65 · 𝜎) = 200.000€ · (0,85% − 1,65 · 0,80%) = −2.488,50€ (−1,24%) Se tratan de dos títulos no correlacionados, pues hay una reducción del riesgo debido a la diversificación que hacer que el VaR sea menor que teniendo los títulos por separado. 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 = 1.340 + 1.680 − 2.488 = 532€...