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UNIDAD 10

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

Página 274 Problema 1 y = f (x )

5 3

–5

3

9

14

Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f' (3), f' (9) y f' (14). f' (3) = 0; f' (9) = –3 ; f' (14) = 1 4 Di otros tres puntos en los que la derivada sea positiva. La derivada también es positiva en x = –4, x = –2, x = 0… Di otro punto en el que la derivada sea cero. La derivada también es cero en x = 11. Di otros dos puntos en los que la derivada sea negativa. La derivada también es negativa en x = 4, x = 5… Di un intervalo [a, b ] en el que se cumpla que “si x ∈ [a, b ], entonces f' (x) > 0”. Por ejemplo, en el intervalo [–5, 2] se cumple que, si x ∈ [–5, 2], entonces f' (x) > 0. Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

1

Problema 2 Continúa escribiendo las razones por las cuales g (x) es una función cuyo comportamiento responde al de la derivada de f (x).

y = f (x )

b a

• En el intervalo (a, b), f (x) es decreciente. Por tanto, su derivada es negativa. Es lo que le pasa a g (x) en (a, b). • La derivada de f en b es 0: f' (b) = 0. Y también es g(b) = 0.

y = g (x ) = f ' (x ) b a

• En general: g (x) = f' (x) = 0 donde f (x) tiene tangente horizontal. g (x) = f' (x) > 0 donde f (x) es creciente.

g (x) = f' (x) < 0 donde f (x) es decreciente.

Página 275

1

A

2

B

3

C

Problema 3 ¿Cuál es la derivada de cada cual? Justifica tus respuestas con argumentos análogos a los que utilizaste en el problema anterior. 1) B 2) A 3) C La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente, y es negativa donde la función decrece.

Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

2

Invéntate una gráfica sencilla y trata de esbozar la gráfica de su función derivada. f(x)

Por ejemplo:

f'(x)

2

2

Página 281 1. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: 1–x a) f (x) = 1 – x b) f (x) = 1+x 1+x 1 – tg x c) f (x) = ln 1 – x d) f (x) = 1+x 1 + tg x

√

e) f (x) =

√11 +– tgtg xx

f ) f (x) = ln √e tg x

g) f (x) = √3x + 1

h) f (x) = log (sen x · cos x)2

i ) f (x) = sen2 x + cos2 x + x

j ) f (x) = sen √x + 1 · cos √x – 1

k) f (x) = arc sen √x

l) f (x) = sen (3x5 – 2√x + √2x )

m) f (x) = √sen x + x2 + 1

n) f (x) = cos2√x + (3 – x)2

3

3

–2 a) f' (x) = –1 · (1 + x) – (1 – x) · 1 = –1 – x – 1 + x = (1 + x) 2 (1 + x) 2 (1 + x) 2 b) Utilizamos el resultado obtenido en a): 1

f' (x) = 2

√

1–x 1+x

·

–1 –2 = (1 + x) 2 √ (1 – x)(1 + x) 3

c) Utilizamos el resultado obtenido en a): f' (x) =

1 –2 –2(1 + x) · = = –2 1–x (1 + x) 2 (1 – x)(1 + x) 2 1 – x2 1+x

De otra forma: Si tomamos logaritmos previamente: f (x) = ln (1 – x) – ln (1 + x). Derivamos: f' (x) =

–1 – 1 = –1 – x – 1 + x = –2 1–x 1+x 1 – x2 1 – x2

Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

3

d) f' (x) =

– (1 + tg 2 x)(1 + tg x) – (1 – tg x) · (1 + tg2 x) = (1 + tg x) 2

2 2 = (1 + tg x)[–1 – tg x – 1 + tg x] = – 2(1 + tg x) (1 + tg x) 2 (1 + tg x) 2

De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a): f' (x) =

2 –2 –2 · D [tg x] = · (1 + tg2 x) = – 2(1 + tg x) 2 2 (1 + tg x) (1 + tg x) (1 + tg x) 2

e) Teniendo en cuenta lo obtenido en d): 2 – (1 + tg 2 x) 1 f' (x) = · – 2(1 + tg x) = (1 + tg x) 2 1 – tg x √ (1 – tg x)(1 + tg x) 3 2 1 + tg x

√

También podríamos haber llegado a este resultado utilizando lo obtenido en b). f) f (x) = ln √e tg x = ln e (tg x) / 2 = tg x 2 f' (x) =

1 + tg 2 x 2

g) f (x) = √3 x + 1 = 3(x + 1) / 2 f' (x) = 3 (x + 1) / 2 · 1 · ln 3 = ln 3 · √3 x + 1 2 2 h) f (x) = log (sen x · cos x)2 = 2 [ log (sen x + log (cos x)]

[

]

2 2 1 –sen x 1 2 f' (x) = 2 cos x · + · = · cos x – sen x = ln 10 sen x · cos x sen x ln 10 cos x ln 10

=

cos 2 x – sen 2 x 4 4 cos 2x 4 · = · = ln 10 2sen x · cos x ln 10 sen 2x ln 10 · tg 2x

De otra forma:

(

f (x) = log (sen x · cos x) 2 = 2 log sen 2x 2 f' (x) = 2 ·

)

1 4 cos 2x · = ln 10 ln 10 · tg 2x sen 2x 2

i) f (x) = sen 2 x + cos 2 x + x = 1 + x f' (x) = 1 — — — — cos √ x + 1 · cos √x – 1 sen √ x + 1 · ( – sen √ x – 1 ) + = 2 √x + 1 2 √x – 1 — — — — cos √ x + 1 · cos √x – 1 sen √ x + 1 · sen √ x – 1 = – 2 √x + 1 2 √x – 1

j) f' (x) =

Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

4

k) f' (x) =

1

·

√1 – x

1

1

=

2 √x

2 √x – x2 3

l) f' (x) = cos (3x 5 – 2 √x + √2x

m) f' (x) =

1 2 √ sen x +

x2

)·

(

√2 15x 4 – 1 + 3 √x 3 √x2

· (cos x + 2x) = +1

[

3

3

)

cos x + 2x 2 √ sen x + x 2 + 1

3

]

n) f' (x) = 2cos √x + (3 – x) 2 · –sen √x + (3 – x) 2 ·

1 + 2(3 – x) · (–1) = 3 √( x + (3 – x) 2) 2

=

— — 3 — 3— –2 cos √x + ( 3 – x) 2 sen √ x + (3 – x) 2 · (2x – 5) = 3 3√( x + (3 – x)2) 2

=

(5 – 2x) · sen (2 √ x + (3 – x) 2) 3 3 √(x + (3 – x)2 )2 3

2. Halla las derivadas 1-ª, 2-ª y 3-ª de las siguientes funciones: a) y = x 5

b) y = x cos x

c) y = sen2 x + cos2 x + x

a) y = x 5 y' = 5x 4; y'' = 20x 3; y''' = 60x 2 b) y = x cos x y' = cos x – x sen x y'' = –sen x – sen x – x cos x = –2sen x – x cos x y''' = –2cos x – cos x + x sen x = –3cos x + x sen x c) y = sen 2 x + cos 2 x + x = 1 + x y' = 1; y'' = 0; y''' = 0 —3— √ √3x · e 4 3. Calcula f' (1) siendo: f (x) = x5 2 √ 3x 2 —3 — 15 4 3 2/15 · e 4 x 1/2 · 31/3 · x 1/3 · e 4 13/30 = √ 9 · e · x 13/30 f (x) = √x5 √3x · e 4 = = · x 2 2 2 · 31/5 · x 2/5 2 √ 3x 2

√9 · e4 3

13 –17/30 13 √ 9 · e 4 30 17 √x x = 30 60 15

15

f' (x) =

·

15

Por tanto: f' (1) =

13 √ 9 · e 4 60

Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

5

4. Calcula f' (π/6) siendo: f (x) = (cos2 3x – sen2 3x) · sen 6x f (x) = (cos 2 3x – sen 2 3x) · sen 6x = cos 6x · sen 6x = sen 12x 2 f' (x) = 12cos 12x = 6cos 12x 2 Por tanto: f'

( π6 ) = 6 · cos 12π6 = 6 · cos(2π) = 6 · 1 = 6

1 · arc tg 2x + 1 5. Calcula f' (0) siendo: f (x) = ln √x 2 + x + 1 – √3 √3 f (x) = ln √x 2 + x + 1 – 1 arc tg 2x + 1 = 1 ln (x 2 + x + 1) – 1 arc tg 2x + 1 2 √3 √3 √3 √3 — 2/ √ 3 f' (x) = 1 · 2x + 1 – 1 · = 2x + 1 2 2 x2 + x + 1 √3 1 + — — √3 2 1 2x + 1 3 2x + 1 = – · = – 2 · = 2 + 2x + 2 3 3 + 4x 2 + 4x + 1 3 4x 2 + 4x + 1 2x 2x 2 + 2x + 2 1 + —— 3 2x + 1 2 2x + 1 1 = – = – = 2x 2 + 2x + 2 4x 2 + 4x + 4 2x 2 + 2x + 2 2x 2 + 2x + 2

(

=

)

2x x = 2x 2 + 2x + 2 x2 + x + 1

Por tanto: f' (0) = 0

Página 282  2 1. Estudia la derivabilidad en x0 = 3 de la función: f (x) =  x – 3x, x ≤ 3  3x – 9, x > 3 • Continuidad en x0 = 3: x→3

lím f (x) = lím (3x – 9) = 0

x → 3+

x→3

    

lím f (x) = lím (x 2 – 3x) = 0

x → 3–

lím f (x) = f (3) = 0

x→3

Por tanto, f (x) es continua en x0 = 3.

• Derivabilidad en x0 = 3: x→3

lím f' (x) = lím +(3) = 3 =

x → 3+

x→3

f' (3 +)

    

lím f' (x) = lím – (2x – 3) = 3 = f' (3 –)

x → 3–

Las derivadas laterales existen y coinciden.

Por tanto, f (x) es derivable en x0 = 3. Además, f' (3) = 3. Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

6

2. Calcula m y n para que f (x) sea derivable en

 2 : f (x) =  x 2– mx + 5, x ≤ 0 x>0  –x + n,

• Si x ≠ 0, la función es continua y derivable, pues está formada por dos polinomios. • Continuidad en x = 0: x→0

lím f (x) = lím (–x 2 + n) = n

x → 0+

x→0

f (0) = 5

        

lím f (x) = lím (x 2 – mx + 5) = 5

x → 0–

Para que f (x) sea continua en x = 0, ha de ser: n = 5

• Derivabilidad en x = 0: x→0

lím f' (x) = lím + (–2x) = 0 =

x → 0+

x→0

f' (0+)

Por tanto, f (x) es derivable en

    

lím f' (x) = lím – (2x – m) = – m = f' (0–)

x → 0–

Para que sea derivable en x = 0, ha de ser: – m = 0 → m = 0

para m = 0 y n = 5.

Página 283 1. Sabemos que la derivada de la función f (x) = x 3 es f ' (x) = 3x 2. Teniendo3 en cuenta este resultado, halla la derivada de su función inversa: f –1 (x) = √x (f –1)' (x) =

1 3√ x 2 3

Página 284

(

2 1. Comprueba que sen (x 2 y) – y 2 + x = 2 – π pasa por el punto 2, π 16 4 la ecuación de la recta tangente en ese punto.

Sustituimos x = 2, y =

(

) y halla

π en la expresión: 4

)

2 2 2 sen 4 · π – π + 2 = 0 + 2 – π = 2 – π 16 16 16 4

Se cumple la igualdad. Luego la curva dada pasa por el punto

(

( 2, π4 ).

)

Necesitamos obtener el valor de y ' 2, π . Hallamos previamente y' (x, y): 4 Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

7

Derivamos sen (x 2 y) – y 2 + x = 2 –

π2 : 16

cos (x 2 y) · (2xy + x 2 · y ' ) – 2y · y ' + 1 = 0 2xy cos (x 2 y) + y ' · x 2 · cos (x 2 y) – 2y y ' + 1 = 0 y ' ( x 2 · cos (x 2 y) – 2y) = –1 – 2xy cos (x 2 y) y' =

–1 – 2xy cos (x 2 y) x 2 · cos (x 2y) – 2y

Por tanto:

( π4 ) = –14 cos– ππ· –cosπ/2π = – 4–1– +π/2π =

y ' 2,

–2 + 2π 2 – 2π = –8 – π 8+π

La ecuación de la recta tangente es: y = π + 2 – 2π (x – 2) 4 8+π 2. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: f (x) = (sen x)x

g (x) = x sen x

f (x) = (sen x) x → ln f (x) = x ln (sen x) f' (x) cos x = ln (sen x) + x · f (x) sen x

[

x cos x → f' (x) = (sen x) x ln (sen x) + sen x

]

g (x) = x sen x → ln g (x) = sen x · ln x g' (x) 1 = cos x · ln x + sen x · g (x) x

[

g' (x) = x sen x · cos x · ln x + sen x x

]

Página 293 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Calcula las derivadas de las siguientes funciones: 1

2 a) y = x – 3 2 x +3

a) y ' = b) y ' =

3

b) y = √3x2

2x (x 2 + 3) – (x 2 – 3) 2x 2x 3 + 6x – 2x 3 + 6x 12x = = 2 2 (x + 3) (x 2 + 3) 2 (x 2 + 3) 2 2 √ 9x 3

Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

8

2

a) y =

(

1–x 1+x

a) y ' = 2 3 =

)

2/3

b) y =

( ) 1–x 1+x

–1/3

x2 2 + x 2

· –1 · (1 + x) – (1 – x) = 2 3 (1 + x) 2

( ) 1+x 1–x

–1/3

· –1 – x – 1 + x = (1 + x) 2

–4 –2 2 = 3 (1 – x) 1/3 · (1 + x) 5/3 3 3√ (1 – x)(1 + x) 5

( )

b) y ' = 2 · – 1 + 1 · 2x = – 2 + x 2 x2 x2 3

4

a) y = ln x x

b) y = 7e –x

a) y ' = (1/x) · x – ln x = 1 – ln x x2 x2

b) y = –7e –x

x –x a) y = e + e e x – e –x

a) y ' =

b) y = sen x cos x

(e x – e –x ) 2 – (e x + e –x ) 2 e 2x + e –2x – 2 – e 2x – e –2x – 2 –4 = = x –x 2 x –x 2 x (e – e ) (e – e ) (e – e –x ) 2

b) y' = cos x · cos x + (–sen x) · sen x = cos 2 x – sen 2 x = cos 2x

5

a) y =

1 sen x

b) y = ln (x 2 + 1)

a) y ' = – cos x sen 2 x 6

a) y = arc tg a) y ' =

x 3

b)y' =

2x x2 + 1

b) y = cos2 (2x – π)

1 1 1/3 = 3 · = 2 3 1 + (x/3) 1 + x 2/9 9 + x 2

b) y ' = 2cos (2x – π) · (–sen (2x – π)) · 2 = –4cos (2x – π) · sen (2x – π) = = –2cos (4x – 4π) 7

a) y = sen2 x

b) y = √tg x

a) y ' = 2sen x · cos x = sen 2x

b) y ' =

Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

1 + tg 2 x 1 · (1 + tg2 x) = 2√ tg x 2√ tg x 9

8

9

a) y = sen x 2

b) y = arc tg (x 2 + 1)

a) y ' = cos x2 · 2x = 2x cos x2

b) y ' =

a) y = (2 √x – 3)7

10

1

√x

1+

(x 2

+

1) 2

· 2x =

x4

2x + 2x 2 + 2

b) y = log2 √x

a) y ' = 7(2 √x – 3) 6 · 2 · b) y ' =

1

1 2√ x

=

7

√x

( 2√x

– 3)6

1 1 1 · = ln 2 2√ x 2x ln 2

·

b) y = arc tg 1 x

a) y = sen2 x 2

a) y ' = 2sen x2 · cos x 2 · 2x = 4x sen x 2 cos x 2 = 2x sen (2x 2) b) y ' =

11

( )

–1/x 2 1 1 =– · – 1 = 2 2 1 + (1/x) x x2 + 1 1 + 1/x 2

a) y = cos5 (7x 2)

b) y = 3x + 1

a) y ' = 5cos 4 (7x 2 ) · (–sen (7x 2 )) · 14x = –70x cos 4 (7x 2 ) sen (7x 2 ) b) y ' = 3x ln3

12

3

a) y = √(5x – 3)2

b) y = arc sen

x2 3

a) y ' = 2 (5x – 3) –1/3 · 5 = 3 10 3 3√ 5x – 3 b) y ' =

13

1

√ ( ) x2 1– 3

2

2x 2x/3 = · 2x = — 3 √9 – x4 √ 9 – x4 3

a) y = ln (2x – 1) a) y ' =

b) y = tg

x2 2

2 2x – 1

(

b) y ' = 1 + tg 2

)

2x x2 x2 · = x + x tg 2 2 2 2

Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

10

14

15

b) y = arc cos √2x

a) y = ln (x 2 – 1) a) y ' =

2x x2 – 1

b) y ' =

–1 1 2 = — — =– — 2 · √1 – (√2x) √2x · √ 1 – 2x √ 2x – 4x 2 2 √ 2x –1

a) y = ln √1 – x

b) y = (arc tg x)2

a) y = ln √1 – x = ln (1 – x) 1/2 =

1 ln (1 – x) 2

y ' = 1 · –1 = –1 2 (1 – x) 2 – 2x b) y ' = 2(arc tg x) ·

16

17

1 = 2 arc tg x 1 + x2 1 + x2 b) y = ln tg 3 x

a) y = log3 (7x + 2) a) y ' =

1 · 7 7 = ln 3 (7x + 2) (7x + 2) ln 3

b) y ' =

1 3 · – 3 = – 3 (1 + tg 2 3/x) · 1 + tg 2 tg 3/x x x 2 tg 3/x x2

(

)( )

( )

b) y = ln ln 1 x

a) y = e 4x a) y ' = 4e 4x b) y ' =

18

( )

1 1 · 1 · – 1 =– x ln 1/x ln 1/x 1/x x2

a) y = 2x

b) y = arc sen

x+1 x–1

a) y ' = 2x · ln 2 b) y ' =

1 x+1 1– x–1

√ ( )

=–

2

1 –2 · (x – 1) – (x + 1) = · = (x – 1) 2 (x – 1) 2 √(x – 1)2 – (x + 1)2 x–1

2/(x – 1)

√ (x – 1) 2 – (x + 1)2

=

Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

2 2 =– (x – 1) √ x 2 + 1 – 2x – x 2 – 1 – 2x (x – 1) √ –4x

11

19

— b) y = √x + √ x

a) y = 5 tg3 (3x 2 + 1)

a) y ' = 15 tg 2 (3x 2 + 1) · [1 + tg 2 (3x 2 + 1)] · 6x = 90x [tg2 (3x 2 + 1) + tg 4 (3x 2 + 1)] b) y ' =

20

(

a) y = √tg x 2

b) y =

√ xx –+ 22 3

a) y ' =

x (1 + tg 2 x 2 ) 1 (1 + tg 2 x 2 ) · 2x = 2 2√ tg x √ tg x 2

b) y ' =

1 x – 2 –2/3 x + 2 – (x – 2) · = 3 x+2 (x + 2) 2

(

)

4

=

3

3· (x + =

21

)

1 1 2 √x + 1 2 √x + 1 = — — 1+ —= — 4 √x2 + x √ x 2 √ x + √x 2 √x 4 √ x √ x + √x

2)2

·

√(x – 2)2

√(

3

3

1 x–2 x+2

)

2

·

4 = (x + 2) 2

4

=

3(x + 2) 4/3 · √ (x – 2) 2 3

=

4 3 √ (x + 2) 4 (x – 2) 2 3

=

(x + 2)2/3

4 3(x + 2) √ (x + 2)(x – 2) 2 3

a) Comprueba que la siguiente función es continua y derivable y halla f' (0), f' (3) y f' (1):  3x – 1 si x < 1 f (x) =   x 2 + x si x ≥ 1 b) ¿Cuál es su función derivada? c) ¿En qué punto se cumple f' (x) = 5?  3x – 1 f (x) =   x2 + x

si x < 1 si x ≥ 1

a) Si x ≠ 1, la función es continua y derivable, pues está formada por dos polinomios. Continuidad en x = 1: x→1

lím f (x) = lím (x 2 + x) = 2

x → 1+

x→1

f (1) = 2 Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

        

lím f (x) = lím (3x – 1) = 2

x → 1–

f (x) es continua en x = 1.

12

Derivabilidad en x = 1: x→1

lím f' (x) = lím (2x + 1) = 3 =

x → 1+

x→1

f' (1+)

    

lím f' (x) = lím 3 = 3 = f' (1–)

x → 1–

Las derivadas laterales existen y coinciden.

Luego, f (x) es derivable en x = 1. Además, f' (1) = 3. Así f (x) es continua y derivable en todo

.

f' (0) = 3 f' (3) = 2 · 3 + 1 = 7  3 b) f (x) =   2x + 1

x1 2

f' (2) = 5

22

Comprueba que f (x) es continua pero no derivable en x = 2:  ln (x – 1) si x < 2 f (x) =  si x ≥ 2  3x – 6 • Si x ≠ 2, la función es continua y derivable. • Continuidad en x = 2:         

lím f (x) = lím ln (x – 1) = ln 1 = 0

x → 2–

x→2

lím f (x) = lím (3x – 6) = 0

x → 2+

x→2

f (2) = 0

f es continua en x = 2.

• Derivabilidad en x = 2: x→2

lím f' (x) = lím 3 = 3 = f' (2 +)

x → 2+

x→2

      

1 = 1 = f' (2 –) x –1 x→2

lím – f' (x) = lím

Las derivadas laterales existen pero no coinciden.

f (x) no es derivable en x = 2.

Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

13

23

Estudia la continuidad y derivabilidad de estas funciones:  ex si x ≤ 0  a) f (x) =  1 si 0 < x < 3  2  – x + 3x +2 si x ≥ 3  x 2 + 2x + 1 b) f (x) =  2x + 2  2  – x + 8x

si x < –1 si –1 ≤ x ≤ 2 si x > 2

a) Si x ≠ 0 y x ≠ 3, la función es continua y derivable. Continuidad en x = 0: x→0

lím f (x) = lím 1 = 1

x → 0+

x→0

f (0) = 1

        

lím f (x) = lím e x = 1

x → 0–

f (x) es continua en x = 0.

Continuidad en x = 3: x→3

lím + f (x) = lím (–x 2 + 3x + 2) = 2

x→3

x→3<...