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Formato Optimización de funcionesDatos del estudianteNombre: Zabdi Abdiel Sánchez Camacho Matrícula: 19011024 Nombre del Módulo: Calculo Diferencial Nombre de la Evidencia de Aprendizaje: Optimización de Funciones Fecha de elaboración: 25 / 07 / 2020Instrucciones:1. Realiza lo que se te pide. 2. Rec...

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Formato Optimización de funciones Datos del estudiante

Nombre:

Zabdi Abdiel Sánchez Camacho

Matrícula:

19011024

Nombre del Módulo:

Calculo Diferencial

Nombre de la Evidencia de Aprendizaje: Optimización de Funciones Fecha de elaboración:

25 / 07 / 2020

Instrucciones: 1. Realiza lo que se te pide. 2. Recuerda incluir el procedimiento. N°

PROBLEMA

DESARROLLO

RESULTADO

1.

Determina si la función 4 3 2 y = x −4 x +3 x −3 es creciente o decreciente en −1 x= y x=1 . 2

Primero tenemos que sacar la derivada de la función. y = x 4 −4 x 3 +3 x 2−3 3 2 y ´ =4 x −12 x +6 x Sacamos este resultado valiéndonos de la regla: f (x)=x n f ´ ( x)=nxn−1

En los puntos: −1 x= 2 x=1 La función es decreciente, ya que el valor de la pendiente de la derivada en ambos casos es negativo: −1 = y ´=−6.5 f´ 2 f ´ ( 1 )= y ´ =−2

−1 , 2 sustituyendo en la derivada: −1 −1 2 −1 3 y ´ =4( ) −12 ( ) ) +6 ( 2 2 2 Simplificando cada termino: ❑ −1 ❑ −1 1 y ´ =4 −12 +6 4 8 2 Analizamos con x=

( )

( )

() ( )

Si multiplicamos el numero entero por el numerador simplificamos a: −1 y ´ = −3−3 2 ©UVEG.Der echosr eser vados.El cont eni dodeest ef or mat onopuedeserdi st r i bui do,ni t r ansmi t i do,par ci al ot ot al ment e,medi ant ecual qui ermedi o,mét odoosi st ema i mpr eso,el ect r óni co,magnét i co,i ncl uyendoel f ot ocopi ado,l af ot ogr af í a,l agr abaci ónounsi st emader ecuper aci óndel ai nf or maci ón,si nl aaut or i zaci ónporescr i t odel a Uni ver si dadVi r t ual del Est adodeGuanaj uat o,debi doaqueset r at adei nf or maci ónconfidenci al quesól opuedesert r abaj adoporper sonal aut or i zadopar at al fin.

Tememos que encontrar el factor común denominador, así que para este caso utilizaremos 2. −1 −3 2 y= −3 Y hacemos lo 2 1 2 mismo con el termino siguiente: − 1− 6 − 6 y´= 2 −13 =−6.5 y´= 2

( )( )

Para x=1 , igualmente sustituimos en la ecuación derivada. y ´ =4 x 3−12 x 2 +6 x 3 2 y ´ =4( 1 ) −12 ( 1 ) + 6 (1 ) y ´ =4−12+ 6 y ´ =−2

N°

PROBLEMA

DESARROLLO

RESULTADO

2.

Determina los intervalos de concavidad de la función 2 x3 −8 x−5 . f ( x) = 3

Primero tenemos que encontrar la derivada de la función: 2 x3 f ( x) = −8 x−5 3 x 2¿ ¿ ¿2 3¿ f ´ ( x )=¿ Se cancela los 3 (Numerador y Denominador) y nos queda: f ´ ( x )=2 x 2−8 Ahora obtenemos la segunda derivada: 2 f ´ ( x )=2 x −8 f ´ ´ ( x )=4 x

En el intervalo (−∞ , 0 ) , es Cóncavo hacia abajo, porque el valor es negativo. f ´ ´ (−2)=−8 En el intervalo ( 0, ∞) , es Convexo o Cóncavo hacia arriba, porque el valor es positivo. f ´ ´ (2 )= 8

Ahora igualamos a 0, la segunda derivada y después despejamos x. ©UVEG.Der echosr eser vados.El cont eni dodeest ef or mat onopuedeserdi st r i bui do,ni t r ansmi t i do,par ci al ot ot al ment e,medi ant ecual qui ermedi o,mét odoosi st ema i mpr eso,el ect r óni co,magnét i co,i ncl uyendoel f ot ocopi ado,l af ot ogr af í a,l agr abaci ónounsi st emader ecuper aci óndel ai nf or maci ón,si nl aaut or i z ac i ónporescr i t odel a Uni v er s i dadVi r t ual del Est adodeGuanaj uat o,debi doaqueset r at adei nf or maci ónconfidenci al quesól opuedesert r abaj adoporper sonal aut or i zadopar at alfin.

4 x =0 0 x= =0 4 Aunque no se piden, saque los puntos máximos y mínimos Ahora queremos obtener el valor de de la función, son: Máx. (-2, 5.666..) Y, para eso sustituimos en la función principal el valor de X. Min. (2, -15.666..) 3 2(0) f ( x) = −8(0)−5 Y los puntos están 3 graficados, perdón por el espacio. Es claro que nuestro valor será: f ( x ) = y =−5 Para observar si los intervalos son cóncavos hacia arriba o hacia abajo, podemos hacerlo a partir de los puntos de inflexión y los valores indefinidos, como lo son: (−∞ , 0 )(0, ∞) Primero tomamos cualquier intervalo, será: (−∞ , 0 ) y analizamos cualquier número dentro de este intervalo, por ejemplo x=−2 y lo sustituimos en la segunda derivada: f ´ ´ (−2 )= 4 ( −2) f ´ ´ (−2 )=−8 En el intervalo (−∞ , 0 ) , es Cóncavo hacia abajo, porque el valor es negativo. Ahora tomamos el intervalo (0, ∞) , y lo analizamos con un numero dentro de ese intervalo, por ejemplo x=2 y sustituimos en la segunda derivada: f ´ ´ (2 )=4 ( 2) f ´ ´ (2 )=8 Ahí vemos que en el intervalo ( 0, ∞ ) , es “Convexo” o “Cóncavo hacia arriba”, porque el valor es ©UVEG.Der echosr eser v ados .El cont eni dodeest ef or mat onopuedeserdi st r i bui do,ni t r ansmi t i do,par ci al ot ot al ment e,medi ant ecual qui ermedi o,mét odoosi st ema i mpr eso,el ect r óni co,magnét i co,i nc l uy endoel f ot ocopi ado,l af ot ogr af í a,l agr abaci ónouns i st emader ec uper ac i óndel ai nf or maci ón,s i nl aaut or i zac i ónporescr i t odel a Uni v er s i dadVi r t ual del Est adodeGuanaj uat o,debi doaqueset r at adei nf or maci ónconfidenci al quesól opuedesert r abaj adoporper sonal aut or i zadopar at alfin.

GRAFICA

positivo.

N°

PROBLEMA

DESARROLLO

RESULTADO

3.

De acuerdo con la función y = x 4 −4 x 3 +3 x 2−3 determina los rangos en donde la función es creciente y/o decreciente, así como los rangos de concavidad, favor de señalar el tipo de concavidad que presenta.

De igual forma, primero tenemos que derivar la función: f (x)= y = x 4− 4 x 3+ 3 x 2−3 f ´ ( x )=4 x 3−12 x 2 +6 x

Intervalos para analizar si es creciente o decreciente.

Para encontrar los valores de X que da esta derivada, igualamos a 0

Intervalo 1: (−∞ , 0.63602540 ) Este Intervalo “Crece”

3

2

4 x −12 x + 6 x=0 Factorizamos, ya que se puede hacer eso para este polinomio

2x 2 x (¿¿ 2−6 x+ 3)=0 ¿ Dividimos entre 2 para eliminarlo y como X vale 0 también se elimina, por lo que obtenemos:

Intervalo 2: ( 0.63602540,2.366025) Este intervalo “Decrece” Intervalo 3: ( 2.36602540, ∞) Este intervalo “Crece”

©UVEG.Der echosr eser v ados .El cont eni dodeest ef or mat onopuedeserdi st r i bui do,ni t r ansmi t i do,par ci al ot ot al ment e,medi ant ecual qui ermedi o,mét odoosi st ema i mpr eso,el ect r óni co,magnét i co,i nc l uy endoel f ot ocopi ado,l af ot ogr af í a,l agr abaci ónouns i st emader ec uper ac i óndel ai nf or maci ón,s i nl aaut or i zac i ónporescr i t odel a Uni v er s i dadVi r t ual del Est adodeGuanaj uat o,debi doaqueset r at adei nf or maci ónconfidenci al quesól opuedesert r abaj adoporper sonal aut or i zadopar at alfin.

2 x 2−6 x +3=0 Podemos resolverla con la formula general. 2 −b ± √b −4 ac 2a 2 −(−6)± √ (−6 ) −4(2 )(3 ) 2(2)

6 ± √ 36− 24 4 6 ± √ 12 x= 4 6+ 12 x 1= √ =2.36602540 4 6− √ 12 x 2= =0.63602540 4 De aquí podemos obtener los intervalos para después analizar si es creciente o decreciente: Intervalo 1: (−∞ , 0.63602540 ) Intervalo 2: ( 0. 63602540 ,2 . 366025) Intervalo 3: ( 2.36602540 , ∞ ) Analicemos el primer intervalo, sustituimos el valor de X (Intervalo) en la derivada. Para el intervalo 1, tomamos: 2 3 f ´ ( 0.15 ) =4 (0.15) −12( 0.15) +6(0.15) f ´ ( 0.15 ) =0.0135−0.27+0.9 f ´ ( 0.15 ) =0.6435

Intervalos para analizar su Concavidad Intervalo 1: (−∞ , 0.29289321 ) En este intervalo, la Concavidad en este intervalo será “Convexa” o “Cóncava hacia arriba” Intervalo 2: ( 0.29289321,1.707106) En este intervalo, la Concavidad en este intervalo será “Cóncava hacia abajo” Intervalo 3: ( 1.79710678, ∞) En este intervalo, la Concavidad en este intervalo será “Convexa” o “Cóncava hacia arriba”, igual que el intervalo #1.

Es Creciente

Analicemos el segundo intervalo, sustituimos el valor de X (Intervalo) en la derivada. Para el intervalo 2, tomamos: 2 3 f ´ ( 2 )=4 (2) −12 (2 ) +6(2) f ´ ( 2 )=24−48+12 f ´ ( 2 )=−12 ©UVEG.Der echosr eser v ados .El cont eni dodeest ef or mat onopuedeserdi st r i bui do,ni t r ansmi t i do,par ci al ot ot al ment e,medi ant ecual qui ermedi o,mét odoosi st ema i mpr eso,el ect r óni co,magnét i co,i nc l uy endoel f ot ocopi ado,l af ot ogr af í a,l agr abaci ónouns i st emader ec uper ac i óndel ai nf or maci ón,s i nl aaut or i zac i ónporescr i t odel a Uni v er s i dadVi r t ual del Est adodeGuanaj uat o,debi doaqueset r at adei nf or maci ónconfidenci al quesól opuedesert r abaj adoporper sonal aut or i zadopar at alfin.

Es decreciente

Analicemos el tercer intervalo, sustituimos el valor de X (Intervalo) en la derivada. Para el intervalo 3, tomamos: f ´ ( 2.5) =4 (2.5)3−12 ( 2. 5 )2 +6(2. 5) f ´ ( 2.5) =62.5−75+15 f ´ ( 2. 5) =2.5 Es creciente

Ahora buscamos la segunda derivada: 3 2 f ´ ( x )=4 x −12 x +6 x f ´ ´ (x )=12 x 2−24 x +6 Para encontrar el valor de X igualamos a 0 y utilizamos la formula general: 2 12 x −24 x+6=0 −b ± √b 2−4 ac 2a Sustituimos: 2 − (−24 ) ± √ ( −24) −4 ( 12) (6 ) x= 2 (12 ) 24 ± √ 576 −288 x= 24 24 ± √ 288 x= 24 24 + √288 =1.707106 x 1= 24 24− √288 =0.292893 x 2= 24 De aquí podemos obtener los intervalos para después analizar si es cóncava hacia arriba o hacia abajo: Intervalo 1: (−∞ , 0.29289321 ) Intervalo 2: ( 0.29289321,1.707106 ) Intervalo 3: ( 1.79710678, ∞) ©UVEG.Der echosr eser v ados .El cont eni dodeest ef or mat onopuedeserdi st r i bui do,ni t r ansmi t i do,par ci al ot ot al ment e,medi ant ecual qui ermedi o,mét odoosi st ema i mpr eso,el ect r óni co,magnét i co,i nc l uy endoel f ot ocopi ado,l af ot ogr af í a,l agr abaci ónouns i st emader ec uper ac i óndel ai nf or maci ón,s i nl aaut or i zac i ónporescr i t odel a Uni v er s i dadVi r t ual del Est adodeGuanaj uat o,debi doaqueset r at adei nf or maci ónconfidenci al quesól opuedesert r abaj adoporper sonal aut or i zadopar at alfin.

En el primer intervalo, seleccionamos un valor para analizar su concavidad, tomaremos f ´ ´ (0.19 )=12(0.19)2 −24 ( 0.19 ) +6 f ´ ´ (0.19 )=0.4332−4.56+6 f ´ ´ (0.19 )=1.8732 Por lo que en este primer intervalo y en este punto, podemos decir que es “Convexa” o “Cóncava hacia arriba” porque el valor de X (de este intervalo 1) al sustituirlo en la segunda derivada, es positivo. En el segundo intervalo, seleccionamos un valor para analizar su concavidad, tomaremos 2 f ´ ´ (1 )=12(1) −24 ( 1) +6 f ´ ´ (1 )=12−24+6 f ´ ´ (1 )=− 6

En este segundo intervalo y en este punto, podemos decir que es “Cóncava hacia abajo” porque el valor de X (de este intervalo 2) al sustituirlo en la segunda derivada, es negativo. En el tercer intervalo, seleccionamos un valor para analizar su concavidad, tomamos f ´ ´ (1.8 )= 12(1.8)2 −24 ( 1.8) +6 f ´ ´ (1.8 )= 38.88− 43.2+ 6 f ´ ´ (1.8 )= 1.68 En este tercer intervalo y en este punto, podemos decir que es “Cóncava hacia arriba” porque el valor de X (de este intervalo 3) al sustituirlo en la segunda derivada, es positivo.

©UVEG.Der echosr eser v ados .El cont eni dodeest ef or mat onopuedeserdi st r i bui do,ni t r ansmi t i do,par ci al ot ot al ment e,medi ant ecual qui ermedi o,mét odoosi st ema i mpr eso,el ect r óni co,magnét i co,i nc l uy endoel f ot ocopi ado,l af ot ogr af í a,l agr abaci ónouns i st emader ec uper ac i óndel ai nf or maci ón,s i nl aaut or i zac i ónporescr i t odel a Uni v er s i dadVi r t ual del Est adodeGuanaj uat o,debi doaqueset r at adei nf or maci ónconfidenci al quesól opuedesert r abaj adoporper sonal aut or i zadopar at alfin.

GRAFICA N°

PROBLEMA

DESARROLLO

RESULTADO

4.

Determina los intervalos en los que la función 2 f ( x )=x −2 x+5 es creciente.

Derivamos la función: f ( x ) =x 2 −2 x+ 5 f ´ ( x )=2 x −2

Podemos evaluar cada intervalo si tomamos un valor dentro de cada intervalo y lo sustituimos en la derivada. De acuerdo con su signo, sabremos si es creciente o decreciente.

Para obtener el valor de X, igualamos a 0 y despejamos X. 2 x −2=0 2 x =2 2 x= =1 2

En el intervalo

( 1, ∞ )

, las funciones Para obtener Y, sustituimos el valor de X en la función principal. f ( x ) =( 1)2 −2(1)+ 5 f ( x ) =1 −2+ 5 f ( x ) = y =4

crecen. Este es el intervalo que nos interesa.

Ahora que sabemos que la curva de valor mínimo “Absoluto” se encuentra en estas posiciones X=1 Y=4. Simplemente tenemos dos intervalos: 1. (−∞ ,1 ) 2. ( 1, ∞) Podemos evaluar cada intervalo si tomamos un valor dentro de cada intervalo y de acuerdo con su signo, sabremos si es creciente o decreciente. ©UVEG.Der echosr eser v ados .El cont eni dodeest ef or mat onopuedeserdi st r i bui do,ni t r ansmi t i do,par ci al ot ot al ment e,medi ant ecual qui ermedi o,mét odoosi st ema i mpr eso,el ect r óni co,magnét i co,i nc l uy endoel f ot ocopi ado,l af ot ogr af í a,l agr abaci ónouns i st emader ec uper ac i óndel ai nf or maci ón,s i nl aaut or i zac i ónporescr i t odel a Uni v er s i dadVi r t ual del Est adodeGuanaj uat o,debi doaqueset r at adei nf or maci ónconfidenci al quesól opuedesert r abaj adoporper sonal aut or i zadopar at alfin.

(−∞ ,1 ) , seleccionamos x=−2 , y lo sustituimos en la derivada. f ´ (−2 ) =2(−2 )−2 f ´ (−2 ) =−4−2 f ´ (−2 ) =−6 Para el intervalo

Por lo que en este intervalo podemos ver que las funciones decrecen, ya que su resultado será negativo.

( 1, ∞) , seleccionamos x=12 , y lo sustituimos en la derivada. f ´ ( 12 )=2( 12 )−2 f ´ ( 12 )=24 −2 f ´ ( 12 )=22 Para el intervalo

Como vemos en el intervalo

( 1, ∞ ) ,

GRAFICA

las funciones crecen. Este es el intervalo que nos interesa.

Agradezco su apoyo, utilice un graficador para expresar las funciones y los puntos. Espero que no me haya desviado demasiado en los temas, por favor espero su feedback. Gracias de antemano.

©UVEG.Der echosr eser v ados .El cont eni dodeest ef or mat onopuedeserdi st r i bui do,ni t r ansmi t i do,par ci al ot ot al ment e,medi ant ecual qui ermedi o,mét odoosi st ema i mpr eso,el ect r óni co,magnét i co,i nc l uy endoel f ot ocopi ado,l af ot ogr af í a,l agr abaci ónouns i st emader ec uper ac i óndel ai nf or maci ón,s i nl aaut or i zac i ónporescr i t odel a Uni v er s i dadVi r t ual del Est adodeGuanaj uat o,debi doaqueset r at adei nf or maci ónconfidenci al quesól opuedesert r abaj adoporper sonal aut or i zadopar at alfin....