Ejercicios Propuestos y=f(ax + by+ ca1x + b1y + c1) PDF

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ALGUNOS EJERCICIOS...

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Ecuaciones Diferenciales

CAPITULO 1.

du 2u u −1 du u + 1 + u − 1 du = dx = −→ = −→ 2u dx u −1 dx u − 1 Se integra ambos lados de la igualdad: Z

u −1 du = 2u

Z

dx + C

Se integra el lado izquierdo de la identidad: Z

1 u −1 du = 2 2u

Z

du −

Z

! du 1 = (u − ln(u)) 2 u

Se tiene: u ln(u) = x+C − 2 2 Se reemplaza en la expresi´ on, para que este en funci´ on de x,y: x + y ln(x + y) − = x+C 2 2 x + y ln(x + y ) − −x = C 2 2 x + y − 2x ln(x + y) − =C 2 2 y − x ln(x + y) − =C 2 2 on diferencial. En este momento, Esto representa la soluci´ on general de la ecuaci´ se reemplaza la condici´on inicial, para obtener la soluci´ on especifica: y − x ln(x + y) 2 − (−1) ln(−1 + 2) 3 − = − = C −→ 2 2 2 2 2 y − x ln(x + y) 3 − = 2 2 2 La expresi´on obtenida es la soluci´ on especifica de la ecuaci´ on diferencial.

1.4.2.

Ejercicios Propuestos de Ecuaciones Diferenciales de la Forma ! dy ax + by + c =f a 1 x + b1 y + c 1 dx

1. Resolver las ecuaciones diferenciales: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

29

CAPITULO 1.

Ecuaciones Diferenciales dy

2(x + y − 2) 5x − y − 4

a)

x + 3y + 7 dy =− 2x + y + 3 dx

1.

b)

dy −7x + 3y + 4 = dx 3x − 7y − 7

2.

dy −3x + 7y − 7 = dx 7y − 3x + 3

c)

dy x − 2y − 4 = dx 2x − 4y + 5

3.

dy −x + 3y − 2 = dx 3x − y − 2

y +2 dy =2 d) dx x+y −1

!2

dx

=−

4. x − 2y + 9 − (3x − 6y + 19) dy −2x + y − 1 = dx 2y − x + 1

dy x − y + 1 = e) dx x + y − 3

5.

dy 2x − 2y − 8 = f) dx 3x + 5y + 7

6. (2x − y − 1)

g)

x−y −1 dy = dx 2x − 2y + 1

h)

a2 dy = dx (x + y )2

i)

dy x+y −2 =− dx x−y +4

dy = x − 2y + 1 dx

7. 3x + 3y − 1 + (x + y + 1)

!2

8. (2x + 2y − 1)

a,0

dy =0 dx

dy =0 dx

dy = −x − y − 1 dx

9. x + y − 2 − (x − y + 4)

dy =0 dx

10. x − 2y + 5 + (2x − y + 4)

dy =0 dx

1.5. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden Una ecuaci´ on diferencial lineal de primer orden, se llama a una ecuaci´ on de la forma: dy + p(x)y = g (x) dx Donde: p(x) y g(x) son funciones continuas en un intervalo comun ´ (a,b), de tal forma que, por cada punto de su dominio: ) ( (a, b) : a < x < b D= −∞ < y < ∞ Pasa exactamente una curva integral de la ecuaci´ on diferencial. En el caso de que: g(x) = 0, la ecuaci´on diferencial toma la forma: dy + p(x)y = 0 dx A este ecuaci´on, se la conoce como: ecuaci´ on diferencial lineal homog´ enea, que es parte on diferencial lineal de primer orden, en el caso de que: g(x) , 0 es la de la ecuaci´ on diferencial lineal de primer orden. Lo que permite parte no-homog´enea de la ecuaci´ definir que: La soluci´on general de la ecuaci´ on diferencial lineal es suma de dos soluciones 30

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden...