El producto notable el cual es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. PDF

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El producto notable el cual es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas....

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INTRODUCCIÓN

El producto notable el cual es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Y la Factorización que es aquella mediante la cual podemos expresar un objeto o número, como producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. En este sentido, mediante el desarrollo del presente trabajo de investigación trataremos ambos temas, con el objeto de conocer los principales productos notables y la factorización, así como la forma de resolverlos adecuadamente. A su vez, podremos observar la relación entre ellos y la utilidad de cada uno de los mismos. A continuación, apreciaremos el desarrollo de la presente investigación.

PRODUCTOS NOTABLES Los productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente, sin hacer paso a paso la multiplicación. Son como las tablas de multiplicar del álgebra elemental. Los principales productos notables son: 

Cuadrado del binomio



Suma por diferencia



Cubo de un binomio



Producto de binomios con un término repetido



Cuadrado de un trinomio



Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. 1. BINOMIO AL CUADRADO Y AL CUBO

Un binomio es una suma o una resta de dos elementos, por ejemplo: 

3+2



x+3



5 - x2

Una potencia de binomios es (a + b)···(a + b) = (a + b) n Nosotros veremos los casos n = 2 (cuadrado) y n = 3 (cubo). a) CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble producto de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

También el cuadrado del binomio se presenta en cuadrado de su diferencia lo que cambiará será solo el signo de suma por el de resta.

Ejemplo: (3x+4)2 =(3x+4). (3x+4)= 9x2 +12x +12x+ 16= 9x2 + 24x + 16

Ejemplo: (7 a2+3b2)2 =(7 a2+3b2). (7 a2+3b2)= 49 a4 +21 a2b2 +21 a2b2+ 9b4 = 49 a4 +42a2b2 + 9b4 b) CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Ejemplo: (3x - 4)2 =(3x-4). (3x-4)= 9x2 -12x -12x+ 16= 9x2 - 24x + 16 Ejemplo: (7 a2-3b2)2 = (7 a2-3b2). (7 a2-3b2)= 49 a4 -21 a2b2 -21 a2b2+ 9b4 =

49 a4 - 42a2b2 + 9b4

2.SUMA POR DIFERENCIA

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a−b)=a2−b2 Esta fórmula se lee como suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados. Ejemplo: (x+2)(x−2)=x2−4

3. IDENTIDADES DE LAGRANGE

Vamos a ver las identidades de Lagrange para binomios.

En realidad, estas identidades son muy fáciles de obtener, como veremos en las demostraciones, pero si conocemos las fórmulas, que son muy sencillas, podremos acelerar el proceso de cálculo. Para binomios, las identidades de Lagrange son las siguientes: (a2+b2)⋅(x2+y2)=(a2+b2)⋅(x2+y2)= =(ax+by)2+(ay−bx)2=(ax+by)2+(ay−bx)2

Ejemplo: (z2+22)(z2+32)=(z2+22)(z2+32)= =(z2+6)2+(3z−2z)2 4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio es descomponerlo en un producto de polinomios primos (irreducibles).

Los polinomios irreducibles son los de grado cero (números), los de primer grado y los de grado mayor o igual a 2 que no tengan raíces reales. Ejemplo: El polinomio

factorizado quedaría así:

Para factorizar polinomios se suelen usar una o varias de las siguientes técnicas:

 Sacar factor común Ejemplo:  Usar las igualdades notables

Veamos algunos ejemplos de uso de las igualdades notables

 Resolv Resolver er la ecuación de segundo gr grado ado

Cuando el polinomio a factorizar (o alguno de sus factores) es de segundo grado, podemos resolver la ecuación de segundo grado

Si la ecuación expresar el polinomio como:

Ejemplo: Factorizar el polinomio Si resolvemos la ecuación

tiene como soluciones

, entonces podemos

obtenemos como soluciones 2 y 3.

Entonces a. Método de R Ruffini uffini

Podemos usar la Regla de Ruffini como en este ejemplo: Factorizar el polinomio:

y

Observe el cambio de signo: a las raíces 1, 2 y -4 le corresponden los factores ,

y...