El teorema de Cayley-Hamilton PDF

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El teorema de Cayley-Hamilton y la inversa de una matriz Instrucciones: Lea la siguiente información y complete los espacios proporcionados. Recuerde que debe colocar el desarrollo paso a paso. Si necesita espacio adicional, puede adicionar suficientes espacios que considere necesarios. No se evaluarán respuestas sin que se muestre el desarrollo. Hagan su mejor esfuerzo. Las respuestas parciales son mejores que no responder. Introducción Considere 𝐴 ∈ 𝕂𝑛×𝑛 una matriz cuadrada de orden 𝑛 con det(𝐴) ≠ 0, es decir 𝐴 es una matriz invertible, y sea 𝕂 = ℝ ó ℂ. Sin embargo, el cálculo de la matriz inversa de 𝐴 es complicado de realizar, ya sea usando operaciones elementales o usando el método de cofactores. A continuación, veremos una forma alternativa de encontrar “expresiones” de la matriz inversa. El teorema de Cayley-Hamilton establece que cada matriz cuadrada 𝐴 satisface su ecuación característica, es decir, si 𝑝𝐴 (𝑥) = det(𝐴 − 𝑥 ⋅ 𝐼𝑛 ) es el polinomio característico de 𝐴, entonces 𝑝𝐴 (𝐴) es la matriz nula. El interés en este teorema radica en la utilidad que puede tener para nuestros estudiantes el cálculo de la matriz inversa, a partir del teorema, cuando 𝐴 sea no singular. Definiciones preliminares Definición 1. (Matriz invertible) Una matriz cuadrada 𝐴 de orden 𝑛 es invertible siempre que det(𝐴) ≠ 0. En caso afirmativo, denotamos a la matriz inversa de 𝐴 por 𝐴−1 : 1 𝐴−1 = 𝑎𝑑𝑗(𝐴) |𝐴| donde 𝑎𝑑𝑗(𝐴) es la matriz adjunta de 𝐴. Definición 2. (Polinomio característico) El polinomio característico de una matriz cuadrada 𝐴 en la variable 𝑥, denotado 𝑝𝐴 (𝑥), está dado por el determinante det(𝐴 − 𝑥 ⋅ 𝐼𝑛 ), donde 𝐼𝑛 es la matriz identidad de orden 𝑛, es decir 𝑝𝐴 (𝑥) = det(𝐴 − 𝑥 ⋅ 𝐼𝑛 ) = |𝐴 − 𝑥 ⋅ 𝐼𝑛 | ∈ 𝕂[𝑥] Notemos que si el orden de la matriz es 𝑛, entonces el grado del polinomio 𝑝𝐴 (𝑥 ) es también 𝑛.

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Ejemplo 1. Considere la matriz

1 2 𝐴=( ) 3 4

Entonces su polinomio característico viene dado por el desarrollo del determinante: 1 0 1−𝑥 2 1 2 | )−𝑥( )| = | 𝑝𝐴 (𝑥 ) = |( 3 4 0 1 3 4−𝑥 𝑝𝐴 (𝑥) = (1 − 𝑥 )(4 − 𝑥 ) − 6 𝑝𝐴 (𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 − 2

Ejemplo 2. Considere la matriz

1 𝐴 = (3 7

4 1 3

1 −1) −2

Entonces su polinomio característico viene dado por el desarrollo del determinante: 1 0 0 1−𝑥 4 1 1 4 1 𝑝𝐴 (𝑥 ) = |(3 1 −1) − 𝑥 (0 1 0)| = | 3 1−𝑥 −1 | 7 3 −2 0 0 1 7 3 −2 − 𝑥 4 1 4 1 1 − 𝑥 −1 |−3| |+ 7| | 𝑝𝐴 (𝑥 ) = (1 − 𝑥 ) | 3 −2 − 𝑥 3 −2 − 𝑥 1 − 𝑥 −1 𝑝𝐴 (𝑥) = (1 − 𝑥 )[(1 − 𝑥 )(−2 − 𝑥 ) + 3] − 3[4(−2 − 𝑥) − 3] + 7[−4 − (1 − 𝑥)] 𝑝𝐴 (𝑥) = (1 − 𝑥 )(𝑥 2 + 𝑥 + 1) + 3(4𝑥 + 11) + 7(𝑥 − 5) 𝑝𝐴 (𝑥) = −𝑥 3 + 19𝑥 − 1 El polinomio característico 𝑝𝐴 (𝑥 ) es un polinomio en 𝕂[𝑥] cuyo desarrollo es el siguiente: 𝑝𝐴 (𝑥) = 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 Teorema de Cayley-Hamilton. Sea 𝑝𝐴 (𝑥) = 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 el polinomio característico de la matriz cuadrada 𝐴. Entonces 𝐴 satisface su propio polinomio característico, es decir, 𝑝𝐴 (𝐴) es la matriz nula. El teorema anterior afirma que toda matriz cuadrada 𝐴, satisface su polinomio característico 𝑝𝐴 (𝑥 ), es decir, para la matriz 𝐴 se tiene lo siguiente 𝑝𝐴 (𝐴) = 𝐴𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝐴𝑛−1 +⋅ +𝑎2 𝐴2 + 𝑎1 𝐴 + 𝑎0 𝐼𝑛 = 0

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Observe que esta última ecuación es una ecuación matricial. El cero de la derecha es la matriz nula de orden 𝑛, y el coeficiente 𝑎0 ha sido multiplicado por la matriz identidad de orden 𝑛: 𝐼𝑛 . Ejemplo 3. Verificaremos el teorema de Cayley-Hamilton para la matriz 1 2 𝐴=( ) 3 4

Anteriormente se conoce que 𝑝𝐴 (𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 − 2, entonces 1 𝐴2 − 5𝐴 − 2𝐼 = ( 3 7 𝐴2 − 5𝐴 − 2𝐼 = ( 15 0 𝐴2 − 5𝐴 − 2𝐼 = ( 0

1 2 1 0 2 2 ) −5( )−2( ) 4 3 4 0 1 5 10 10 2 0 )−( ) )−( 22 0 2 15 20 0 ) 0

Suponga que la matriz cuadrada 𝐴 es no singular, es decir, 𝐴 es invertible. Por el teorema de Cayley-Hamilton, se tiene que 𝑝𝐴 (𝐴) = 𝐴𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝐴𝑛−1 +⋅ +𝑎2 𝐴2 + 𝑎1 𝐴 + 𝑎0 𝐼𝑛 = 0 Dado que la matriz inversa de 𝐴 existe, multiplicamos a la expresión anterior por 𝐴−1 y obtenemos los siguiente 𝐴𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝐴𝑛−1 +⋅ +𝑎2 𝐴2 + 𝑎1 𝐴 + 𝑎0 𝐼𝑛 = 0 𝐴−1 (𝐴𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝐴𝑛−1 +⋅ +𝑎2 𝐴2 + 𝑎1 𝐴 + 𝑎0 𝐼𝑛 ) = 𝐴−1 (0) 𝐴𝑛−1 + 𝑎𝑛−1𝐴𝑛−2 +⋅ +𝑎2 𝐴 + 𝑎1 𝐼𝑛 + 𝑎0 𝐴−1 = 0 𝑎0 𝐴−1 = −𝐴𝑛−1 − 𝑎𝑛−1 𝐴𝑛−2 − ⋯ − 𝑎2 𝐴 − 𝑎1 𝐼𝑛 Si 𝑎0 ≠ 0, entonces 𝑎0 𝐴−1 = −𝐴𝑛−1 − 𝑎𝑛−1 𝐴𝑛−2 − ⋯ − 𝑎2 𝐴 − 𝑎1 𝐼𝑛 𝑎2 𝑎1 𝑎𝑛−1 𝑛−2 1 𝐴 −⋯− 𝐴 − 𝐼𝑛 𝐴−1 = − 𝐴𝑛−1 − 𝑎0 𝑎0 𝑎0 𝑎0 Ejemplo 4.

1 4 Según el ejemplo 2, la matriz 𝐴 = ( 3 1 7 3

1 −1) tiene polinomio característico dado: −2

𝑝𝐴 (𝑥) = −𝑥 3 + 19𝑥 − 1

Entonces, según el teorema de Cayley-Hamilton:

𝑝𝐴 (𝐴) = −𝐴3 + 19𝐴 − 𝐼3 = 0

Además, sabemos que 1 4 |𝐴| = | 3 1 7 3

1 1 −1| 4 −3| −1| = | 3 −2 3 −2

1| 4 +7| 1 −2

1 | = 1 + 33 − 35 = −1 ≠ 0 −1

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Luego, existe la matriz inversa 𝐴−1 , multiplicando la expresión del polinomio característico por 𝐴−1 : −𝐴3 + 19𝐴 − 𝐼3 = 0 𝐴−1 (−𝐴3 + 19𝐴 − 𝐼3 ) = 𝐴−1 (0) −𝐴2 + 19𝐼3 − 𝐴−1 = 0 −𝐴2 + 19𝐼3 = 𝐴−1

Entonces 𝐴−1 = −𝐴2 + 19𝐼3 1 1 4 1 2 −1 𝐴 = − ( 3 1 −1) + 19 (0 7 3 −2 0 19 20 11 −5 𝐴−1 = − ( −1 10 4 ) + ( 0 2 25 8 0 −1 −11 5 𝐴−1 = ( 1 9 −4) −2 −25 11

0 0 1 0) 0 1 0 0 19 0 ) 0 19

Ejercicios Aplicando lo visto anteriormente, responder a las siguientes preguntas. 1 −2 6 1. Dada la matriz 𝐴 = ( 2 0 −1), calcular 𝐴−1 usando el teorema de Cayley0 1 −2 Hamilton. (4 ptos) Resolución.

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2. Las raíces del polinomio característico de la matriz cuadrada 𝐴 son llamados auto valores o valores propios de la matriz cuadrada 𝐴. Sea la matriz cuadrada a b de orden 2: 𝐴 = ( ), entonces c d 𝑝𝐴 (𝑥) = 𝑥 2 − 𝑡𝑟(𝐴)𝑥 + |𝐴| donde 𝑡𝑟(𝐴) = 𝑎 + 𝑑 es la traza de la matriz 𝐴. (4 ptos) Demuestre que si 𝐴 es una matriz cuadrada no escalar singular de orden 2 no nula, entonces existe una matriz cuadrada 𝐵 de orden 2 no nula tal que 𝐴⋅𝐵 = 0 Resolución.

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14 25 36 ), ¿Existe una matriz cuadrada simétrica 𝐵 no nula 7 8 9 de orden 3 tal que 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝐴 = 0? (4 ptos)

3. Dada la matriz 𝐴 = ( Resolución.

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aa11 a 22 aa13 21 a12 23 ), considere 4. Dada la matriz cuadrada de orden 3: 𝐴 = ( a 31 a32 a33 𝑆 = 𝑎11𝑎22 − 𝑎21 𝑎12 + 𝑎11 𝑎33 − 𝑎31 𝑎13 + 𝑎22 𝑎33 − 𝑎23 𝑎32 a a a a23 a11 a12 | + | a11 a13 | + | 22 | 𝑆 = |a a a 21 22 31 33 32 a33 Demostrar que el polinomio característico de 𝐴 es: 𝑝𝐴 (𝑥) = −𝑥 3 + 𝑡𝑟(𝐴) ⋅ 𝑥 2 − 𝑆 ⋅ 𝑥 + det(𝐴) En particular, si 𝐴 es una matriz singular entonces 𝑥 = 0 es un valor propio de 𝐴. (4 ptos)

Resolución.

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5. Sea 𝐴 una matriz cuadrada de orden 𝑛 tal que existe una matriz no singular 𝑃 tal que 𝐴 = 𝑃 −1 𝐷𝑃 donde 𝐷 es la matriz diagonal 𝐷 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), tal que 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 son los valores propios de la matriz 𝐴. Si 𝑝𝐴 (𝑥 ) es el polinomio característico de la matriz 𝐴, entonces (4 ptos) 𝑎. 𝑝𝐴 (𝐷) = 0 𝑛

𝑏. |𝐴| = ∏ 𝑥𝑖 = 𝑥1 𝑥2 ⋯ 𝑥𝑛 𝑖=1

𝑐. |𝐴| = 0 ⟺ ∃ 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛} ∣ 𝑥𝑖 = 0 Resolución....