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GPT_B1L1_Elementos Versión: Julio 2015 Revisor: Cristina Andrade

Elementos geométricos Por: Sandra Pérez

Conceptos básicos De acuerdo a Fuenlabrada (2007):

“La Geometría es la ciencia que estudia las propiedades de las formas o figuras” (p. 3).

A la geometría también se le conoce como geometría plana o geometría euclideana. Esta última denominación es en honor a Euclides, un matemático y geómetra griego que desarrolló las bases de la geometría plana.

Con base en las proposiciones lógicas existen las proposiciones matemáticas, las cuales se pueden dividir en: a. Axioma: es una proposición evidente que no requiere demostración. b. Postulado: es una proposición cuya verdad se admite sin demostraciones, aunque no sea tan evidente como el axioma. c. Definición: es una proposición que requiere de una descripción . d. Teorema. es una proposición que requiere de una demostración. e. Corolario: es una proposición que es consecuencia de otra y su demostración requiere de algún tipo de razonamiento. A continuación se enuncian algunos elementos básicos de la geometría que no se encuentran definidos como son: punto, recta y plano, sin embargo se pueden relacionar unos con otros, con el fin de establecer algunos postulados.

1 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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Punto

Línea recta

Figura 1. Punto.

Figura 2. Línea recta.

Indican un lugar de referencia, generalmente se denominan con una letra mayúscula.

Plano

No tiene límites, es decir, no tiene un inicio o un fin para indicar que no tiene fin, pero generalmente se le pone una flecha.

Figura 3. Plano.

Está conformado por varias líneas que se unen entre sí para formar una figura geométrica de dos dimensiones.

Tabla 1. Punto, recta y plano.

Postulados que relacionan punto, línea y plano 1. Toda recta tiene por lo menos dos puntos distintos.

Figura 4. Postulado que relacionan punto, línea y plano 1.

2. Dos puntos distintos en el espacio tienen una recta que los contiene. Figura 5. Postulado que relacionan punto, línea y plano 2.

3. Todo plano contiene por lo menos tres puntos distintos que no están sobre la misma línea 4. Tres puntos distintos que no están en la misma línea están contenidos en un plano.

Figura 6. Postulado que relacionan punto, línea y plano 3.

5. Ningún plano contiene todos los puntos del espacio.

Figura 7. Postulado que relacionan punto, línea y plano 4.

2 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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Estos postulados nos permiten establecer relaciones entre punto, recta, plano y espacio, así como desarrollar nuevos conceptos.

Ángulos Un ángulo es la abertura formada por dos semirrectas llamados lados y que tienen un punto en común llamado vértice.

Formas diferentes de denominar un ángulo Indicando con las tres letras mayúsculas que se colocan en los lados y el vértice.

Con una letra entre los dos lados que forman el ángulo.

Con una letra mayúscula colocada en el vértice del ángulo.

Ángulo AOB

Ángulo A

Ángulo A

Figura 8. Denominar un ángulo 1.

Figura 10. Denominar un ángulo 3.

Figura 9. Denominar un ángulo 2. Tabla 2. Formas diferentes de denominar un ángulo.

La medida de un ángulo la da la abertura que existe entre los dos lados que lo forman. Las medidas de los ángulos se dan principalmente en dos sistemas: a. Sistema sexagesimal Se basa en la división de la circunferencia en 360 partes iguales llamadas grados. Cada grado está dividido en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Se puede expresar como sigue: 360 grados 360°

1grado = 60 minutos = 3600 segundos 1°=60´=3600”

1 minuto=60 segundos 1´=60”

Tabla 3. Sistema sexagesimal.

b. Sistema cíclico Se basa en la división de la circunferencia en varias partes denominadas radianes. Un ángulo de un radian se obtiene cuando la abertura es igual al radio de la circunferencia.

3 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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La longitud del arco AB es la distancia que existe entre el punto A al punto B.

Figura 11. Sistema cíclico.

El radio 0A es la distancia que hay del centro de la circunferencia al punto A.

Como AB= OA, la razón (división) entre AB y OA será un radian:

Con base en esta definición se puede establecer la siguiente fórmula que relaciona la longitud de arco con el radio.

La relación que existe entre los grados sexagesimales y los radianes es la siguiente: o

Con esta relación y una regla de tres simple se puede convertir de radianes a grados o de grados a radianes. A continuación se presentan algunos ejemplos: Ejemplo 1 Convertir 60° a radianes. Podemos utilizar cualquiera de las dos relaciones, usemos 180° = π

radianes

Aplicando la regla de tres simple, escribimos la equivalencia en el primer renglón y en el segundo renglón el dato conocido, debajo de la unidad que le corresponde y una 180°

p

60°

x

x en el

dato que se quiere conocer.

radianes

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Recuerda que para hacer la operación se multiplica en cruz y se divide entre el dato que sobra: 180º 60º

𝜋 radianes x

Así, la operación será:

x=

(60°)(p ) p = radianes = 1.047radianes 180° 3

Por lo tanto, 60° = 1.047 radianes

Clasificación de ángulos Existen varias clasificaciones de los ángulos de acuerdo con el criterio que se considere. a. Por el sentido: Positivos: Cuando el lado final gira en sentido contrario del reloj

Figura 12. Ángulos positivos.

Negativos: Cuando el lado final gira en sentido del reloj

Figura 13. Ángulos negativos.

Tabla 4. Clasificación de ángulos por el sentido.

b. Por la medida de sus ángulos:

Ángulo agudo La abertura de los lados está entre 0° y 90°

Figura 14. Ángulo agudo.

Ángulo recto La abertura de los lados es 90° (para indicar 90° se escribe un cuadro entre los lados) Figura 15. Ángulo recto.

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Ángulo obtuso La abertura de los lados es mayor a 90° y menor a 180°

Figura 16. Ángulo obtuso.

Ángulo colineal o llano La abertura de los lados es de 180° Figura 17. Ángulo colineal o llano.

Ángulo entrante La abertura de los lados es mayor a 180° y menor a 360° Figura 18. Ángulo entrante.

Ángulo perígono La abertura de los lados es de 360° Figura 19. Ángulo perígono. Tabla 5. Clasificación de ángulos por su medida.

c. Por la suma de sus ángulos Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ángulos conjugados

Son dos ángulos contiguos (uno junto al otro), los cuales suman 90° A+B=90°

Son dos ángulos contiguos (uno junto al otro), los cuales suman 180° A+B=180°

Son dos ángulos contiguos (uno junto al otro), los cuales suman 360° A+B=360°

Figura 20. Ángulos complementarios.

Figura 21. Ángulos suplementarios.

Figura 22. Ángulos conjugados.

Tabla 6. Clasificación de ángulos por su suma. 6 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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d. Por la posición que ocupan en dos rectas paralelas y lo atraviesa una recta transversal inclinada

Figura 23. Ángulos por posición.

Ángulos alternos internos

c=f Figura 24. Ángulos alternos internos 1.

d=e Figura 25. Ángulos alternos internos 2.

Ángulos alternos externos

a=h Figura 26. Ángulos alternos externos 1.

b=g Figura 27. Ángulos alternos externos 2.

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Ángulos opuestos por el vértice

c=b

a=d Figura 29. Ángulos opuestos por el vértice 2.

Figura 28. Ángulos opuestos por el vértice 1.

g=f Figura 30. Ángulos opuestos por el vértice 3.

e=h Figura 31. Ángulos opuestos por el vértice 4.

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Ángulos correspondientes

a=e

d=h

Figura 31. Ángulos correspondientes 1.

Figura 32. Ángulos correspondientes 2.

b=f

c=g

Figura 33. Ángulos correspondientes 3.

Figura 34. Ángulos correspondientes 4.

Ángulos colaterales internos

c + e= 180º

d + f =180º

Figura 35. Ángulos colaterales internos 1.

Figura 36. Ángulos colaterales internos 2.

Ángulos colaterales externos

a + g =180º

b + h = 180º 9

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Figura 37. Ángulos colaterales externos 1.

Figura 38. Ángulos colaterales externos 2.

Angulos adyacentes

c+d=180º g+h=180º

a + b=180º e + f =180º

Figura 40. Ángulos adyacentes 2.

Figura 39. Ángulos adyacentes 1.

b + d= 180º f + h= 180º

c + a = 180º g + e = 180º

Figura 41. Ángulos adyacentes 3.

Figura 42. Ángulos adyacentes 4.

Tabla 7. Clasificación de ángulos por su posición.

Es tiempo que revises algunos ejemplos de problemas o situaciones que se pueden presentar y resolver mediante la aplicación de la geometría plana. Toma en cuenta que para resolver estos problemas se recomienda: Leer$el$problema$$ con$detenimiento$ para$saber$qué$se$ pide$en$él.

Identificar$el$ concepto$o$figura$ geométrica$con$la$ que$tiene$relación.

Distinguir$qué$ fórmula$o$ postulado$aplicar.

Verificar$el$ resultado$e$ interpretar$la$ solución.

Realizar$las$ operaciones$sin$ cometer$errores$en$ los$cálculos.

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Figura 43. Recomendaciones para resolver problemas.

Problemas de ángulos Ayudando a Laura Laura es arquitecto y diseña el proyecto de una casa que le solicitaron unos clientes. Parte de los dibujos que ha desarrollado se muestran en la siguiente figura. Laura midió el ángulo A y encontró que es igual a 35º, pero desconoce cuál es el valor de los ángulos B y C, ¿puedes ayudarle? Calcula los ángulos B y C. Figura 44. Problema ayudando a Laura.

Solución

Comenzaremos por asignar las variables D y E a los ángulos internos del triángulo que se forma en el dibujo para poder identificarlos más fácilmente.

Figura 45. Asignación de variables D y E

Como puedes observar el ángulo D es un ángulo recto, es decir mide 90° y como la suma de los ángulos internos de un triángulo deben sumar 180° se puede determinar el valor del ángulo E como sigue: Si

A + D + E = 180 ° y A = 35°

y

D = 90°

Sustituyendo los valores de A

y

D se puede despejar el valor de C

35° + 90° + E = 180 ° Haciendo operaciones

125° + E = 180 ° Despejando E

E = 180 - 125 = 55 11 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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Por lo tanto, el valor de E es 55°

Como el ángulo E y el ángulo C son opuestos por el vértice se dice que E = C

Figura 46. Los ángulos C y E son opuestos por el vértice y lo ángulos C y B son suplementarios

! Por lo tanto, el valor de C = 55° Si observas te darás cuenta que los ángulos C

y

B son suplementarios, es decir, suman 180°.

C + B = 180 ° Sustituyendo el valor de C = 55° 55° + B = 180°

De esta forma

Despejando el valor de B

B = 180° - 55 ° = 125 °

De esta forma los valores de los ángulos que está buscando Laura son:

La tienda de Laura Además de ser arquitecto, Laura tiene una tienda de piezas de ornato en donde vende muchos artículos como: jarrones, velas, macetas, portarretratos. Debido a que la tienda se encuentra en una zona de la ciudad en donde se han presentado robos últimamente, Laura acudió a una tienda de electrónica y

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encontró dos modelos de sensores que detectan el movimiento y emiten un sonido indicando que un cliente acaba de entrar a la tienda. Laura desea que el sensor cubra el mayor ángulo posible pero se encontró con el problema que los ángulos de los dos sensores están dados en radianes y ella está acostumbrada a utilizar los grados sexagesimales para dimensionar ángulos.

p ¿Qué sensor debe comprar Laura si el sensor A cubre un ángulo de 7 radianes y el sensor B cubre un ángulo de 0.22 radianes? Ayuda a Laura a decidir.

Solución Para que Laura pueda tomar una decisión necesita conocer el ángulo que cubre cada sensor, por lo que se requiere hacer la conversión de radianes a grados sexagesimales. Recuerda que 180° = p radianes

p Comencemos con 7 radianes Aplicando la regla de tres escribimos la equivalencia en el primer renglón y en el segundo renglón el dato conocido, debajo de la unidad que le corresponde y una x en el dato que se quiere conocer. 180°

p

x

p 7 radianes

radianes

Recuerda que para hacer la operación se multiplican en cruz los datos conocidos y se divide entre el tercer dato conocido.

180°

p

x

p 7 radianes

radianes

Así, la operación será:

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æp ö (180°) ç ÷ è 7 ø = 25.71° x=

p

Para el ángulo de 0.22 radianes se realiza el mismo procedimiento. Recuerda que para hacer la operación se multiplica en cruz y se divide entre el tercer dato conocido: 180°

p

x

0.22radiane s

radianes

Así, la operación será:

x=

(180°) (0.22 )

p

=12.6 °

Como Laura prefiere el sensor que cubra el mayor ángulo posible es muy probable que compre el sensor A, ya que cubre

radianes lo cual equivale a 25.71°.

Karla y su fuente En otra ocasión, Karla, quien es...