Elettromagnetismo def PDF

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25. Modi TM, TE e TEM (Pag. 356) Propagazione guidata: Le linee sono superfici arbitrarie uniformi in Z che distribuiscono le onde in tale direzione. Abbiamo 2 tipi di guide:  Metalliche;  Dielettriche. Usando i fasori cercheremo soluzioni del tipo: 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸𝑡 (𝑥, 𝑦)𝑒 −𝛾𝑧 + 𝐸𝑧 (𝑥, 𝑦)𝑒 −𝛾𝑧𝑢𝑧 Campo trasversale

campo longitudinale

𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 → 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠𝑠𝑜 Dall’equazione di Maxwell deduciamo che:in assenza di sorgenti J=0 ; ρ=0

esplicitando la legge di Faraday ∇ × 𝐸 = −𝑗𝜔𝜇𝐻 → 𝜕𝑧 = −𝛾 (Appendice matematica) 𝜕

𝜕𝐸𝑧 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑧 − + 𝛾𝐸𝑦 = −𝑗𝜔𝜇𝐻𝑥 = −𝑗𝜔𝜇𝐻𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑧 − = −𝑗𝜔𝜇𝐻𝑦 = −𝑗𝜔𝜇𝐻𝑦 → −𝛾𝐸𝑥 − 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑥 = −𝑗𝜔𝜇𝐻𝑧 − − = −𝑗𝜔𝜇𝐻𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑦 { 𝜕𝑥 { 𝜕𝑥

Stesso sistema precedente, ma per l’equazione di Ampere-Maxwell. Si ottengono le seguenti relazioni: 1 𝐸𝑥 = − 2 (𝛾𝜕𝑥 𝐸𝑧 + 𝑗𝜔𝜇𝜕𝑦 𝐻𝑧 ) 𝛾 + 𝑘2 1 (−𝛾𝜕𝑦 𝐸𝑧 + 𝑗𝜔𝜇𝜕𝑥 𝐻𝑧 ) 𝐸𝑦 = 2 𝛾 + 𝑘2 1 (−𝛾𝜕𝑥 𝐻𝑧 + 𝑗𝜔𝜀𝜕𝑦 𝐸𝑧 ) 𝐻𝑥 = 2 𝛾 + 𝑘2 1 (𝛾𝜕𝑦 𝐻𝑧 + 𝑗𝜔𝜀𝜕𝑥 𝐸𝑧 ) 𝐻𝑦 = − 2 𝛾 + 𝑘2 Le componenti trasversali del campo, nell’ipotesi di onde guidate, sono funzione delle componenti longitudinali. Propagazione senza attenuazione:

𝛾 = 𝑗𝛽 → 𝛾 2 = −𝛽 2

Al denominatore delle soluzioni sopraelencate compare 𝑘 2 − 𝛽 2 Se 𝑘 = 𝛽 i campi trasversali divergono a meno che EZ e HZ non sono simultaneamente nulle: Solo le onde con EZ=HZ=0, definito modi TEM, possono avere costante di propagazione - e quindi velocità di fase - coincidente con quelle della luce. Come scritto in precedenza: ∇2 𝐸 + 𝑘 2 𝐸 = 0 → 𝐸𝑞. 𝑑𝑖 𝐻𝑒𝑙𝑚𝑜𝑙𝑡𝑧 Ipotesi di onda guidata: 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸(𝑥, 𝑦)𝑒 −𝛾𝑧 Conviene isolare nell’operatore laplaciano la derivata in Z

33

𝜕2 𝜕2 𝜕2 𝜕22 ∇2 = 2 + 𝜕𝑧 = ∇ + + 𝑡 L’equazione d’onda diventa in tal 𝜕𝑥 caso > equazione d’onda per onde guidate: 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 2 2 2 ∇ 𝑡 𝐸 + (𝑘 + 𝛾 )𝐸 = 0 ∇2 𝑡 𝐻 + (𝑘 2 + 𝛾 2 )𝐻 = 0  Ciascuna equazione d’onda vettoriale rappresenta 3 equazioni scalari;  Tuttavia sappiamo che bastano Ez e Hz per determinare le altre componenti;  Le equazioni di Maxwell sono lineari di soluzioni più semplici;  Definiamo quindi: Modi TE (Trasverso-elettrici) Ez=0; Modi TM (Trasverso-magnetici) Hz=0; Modi TEM (Trasverso elettromagnetici) Ez=Hz=0 Per le TM si lavora in campi Ez Per le TE in campi Hz.

Caso TM: dovremo risolvere la seguente equazione:

∇2𝑡 𝐸𝑧 + (𝑘 2 + 𝛾 2 )𝐸𝑧 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑘 2 + 𝛾 2 = 𝑘𝑐2

Dovremo imporre che le componenti tangenziali di E siano nulle sulla guida metallica: ciò garantirà l’unicità delle soluzioni. Basta imporre Ez=0 affinché tutte le componenti tangenti lo siano. Possiamo ricavare una relazione semplice per avere le componenti tangenziali di E: 𝐸𝑥 = −

𝐸𝑦 =

1 𝛾 (𝛾𝜕𝑥 𝐸𝑧 + 𝑗𝜔𝜇𝜕𝑦 𝐻𝑧 ) = ± 2 𝜕𝑥 𝐸𝑧 2 +𝑘 𝑘𝑐

𝛾2

𝛾2

𝛾 1 (−𝛾𝜕𝑦 𝐸𝑧 + 𝑗𝜔𝜇𝜕𝑥 𝐻𝑧 ) = ± 2 𝜕𝑦 𝐸𝑧 2 +𝑘 𝑘𝑐

𝑜𝑣𝑣𝑒𝑟𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 → 𝐸𝑡 = ∓

𝛾 ∇𝑡 𝐸𝑧 𝑘𝑐2

Proprietà costante di propagazione: 𝑘𝑐2 ≜ 𝛾2 + 𝑘 2 → 𝛾2 = 𝑘𝑐2 − 𝑘 2 → 𝛾 = ±√𝑘𝑐2 − 𝑘 2

  

K dipende dalla frequanza; K dipende dalle condizioni al contorno; Per basse frequenze il termine sotto radice è positivo e la costanti di propagazione è reale -> attenuazione,

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Ridefinendo 𝑘𝑐 = 𝜔𝑐 √𝜀𝜇 notiamo come la pulsazione 𝜔𝑐 costituisce la pulsazione a cui 𝛾 = 0 nel caso in cui 𝝎 = 𝝎𝒄 𝛾 = 𝛼 = ±√𝜔𝑐2 𝜀𝜇 − 𝜔2 𝜀𝜇 = ±√𝜀𝜇(𝜔𝑐2 − 𝜔2 ) → 𝐾𝑐 √1 −

Ma 𝜔 = 2𝜋𝑓 → 𝑓 =

Quindi: 𝐾𝑐 √1 −

𝑓2 𝑓𝑐2

𝜔

2𝜋

𝐾2

𝜔2 → 𝐾𝑐 √1 − 𝜔𝑐2

𝐾𝑐2

𝑓𝑐 = 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑖 𝑡𝑎𝑔𝑙𝑖𝑜

Questo nel caso in cui 𝝎 ≪ 𝝎𝒄

𝒊𝒏𝒗𝒆𝒄𝒆 𝒑𝒆𝒓 𝝎 ≫ 𝝎𝒄 → 𝛾 = 𝑗𝛽 = 𝑗𝑘√1 − ( 𝑐 ) 𝑓 𝑓

2

Per alte frequenze la costante di proporzione si avvicina a quella della luce. La velocità di fase è il rapporto tra la pulsazione e la corrente di propagazione: 1 𝑓𝑐 2 𝜔 = ) ) (1 − ( 𝑉𝑝 = 𝛽 √𝜇𝜀 𝑓

−1 ⁄2

Al taglio diventa infinita e decresce all’aumentare delle frequenze. Quando Vp dipende dalle frequenze il modo si definisce dispersivo, in particolare la dipendenza della frequenza decrescente si definisce “dispersione normale” La velocità di gruppo è, per definizione, il rapporto tra le variazioni di pulsazione e costante di propagazione: 𝑉𝑔 =

𝑑𝜔 1 𝑓𝑐 2 = (1 − ( ) ) 𝑑𝛽 √𝜇𝜀 𝑓

E rappresenta la velocità di inviluppo di un pacchetto di onde.

Notiamo che il rapporto tra componenti ortogonali di campo elettrico e magnetico è

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𝐸𝑥

𝐻𝑦



=−

𝐸𝑦 𝛾 → 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑑𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙𝑒 𝑇𝑀 = 𝑍𝑜𝑇𝑀 = ± 𝑗𝜔𝜀 𝐻𝑥 1 𝑢 ×𝐸 𝑧 𝑡 𝐻𝑡 = 𝑍 𝑜𝑇𝑀

Per i modi sotto-taglio dove 𝛾 è reale, l’impedenza modale è reattiva, in particolare capacitiva. Infatti la relazione tra E ed H è immaginaria dunque non trasmettono potenza. I modi TM dunque possono solo immagazzinare energia reattiva e restituirla: sotto-taglio non si propagano e non propagano energia, ma immagazzinano energia sottoforma reattiva, per poi restituirla alla sorgente. L’attenuazione è dovuta alla riflessione non alla dissipazione.

CASO TE:

∇2𝑡 𝐻𝑧 + (𝑘 2 + 𝛾2 )𝐻𝑧 = 0 Occorre imporre che il campo magnetico normale al conduttore si annulli. In particolare se n è la normale al conduttore possiamo dimostrare che: 𝜕𝐻𝑧 = 0 → 𝐸𝑡 = 0 𝜕𝑛

Le condizioni generali sono analoghe alle TM: Si ottiene in particolare

𝐻𝑡 = ±

Allora il rapporto tra i campi trasversi diviene 𝐸𝑥

𝐻𝑦

=−

𝛾 ∇𝑡 𝐻𝑧 𝑘𝑐2

𝐸𝑦 𝑗𝜔𝜇 = = 𝑍𝑜𝑇𝐸 𝐻𝑥 𝑦

Quanto detto per le frequenze di taglio nel caso TM vale anche per le TE. Di fatto in alcuni casi le frequenze di taglio dei modi TE e TM coincidono: due modi con la stessa frequenza di taglio si definiscono “Degeneri”. Guida a piatti piani paralleli:

E’ la guida più semplice Si tratta di due piani conduttori, a distanza tale che i campi si possano ragionevolmente considerare indipendenti da y;

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Chiaramente la struttura supporta un modo TEM, il cui campo elettrico è quello del condensatore a piatti piani paralleli. Al di sopra di una certa frequenza anche modi TE e/o TM possono divenire soprataglio, e condurre potenza: valutiamoli. Essendo E indipendente da y, eliminiamo le derivate in y

+ Condizioni al contorno Ez(x=0)= Ez(x=a)=0

𝜕𝑥2 𝐸𝑧 + 𝑘𝑐2 𝐸𝑧 = 0

𝑛𝜋

Indicheremo i modi con TMn ed essi avranno campo in z 𝐸𝑧𝑛 = 𝐴 sin (

𝑎

𝑥) 𝑒 −𝛾𝑛𝑧

I modi sono autofunzioni dell’equazione d’onda, corrispondenti ad autovalori kc. Evidentemente, esistono infiniti modi; quali siano effettivamente eccitati dipende dalle condizioni al contorno e dalla sorgente. La frequenza stabilisce quali siano sopra-taglio. Modi sopra-taglio, una volta eccitati, si propagano; quelli sottotaglio invece si attenuano rapidamente restituendo energia alla sorgente. Applicazioni TM: Noto Kc possiamo determinare le costanti di propagazione e le frequenze di taglio. 𝛾 = √(

𝑛𝜋 2 ) − 𝜔2 𝜇𝜀 𝑎

La frequenza di taglio sono quelle per cui 𝛾 = 0 dunque: 𝑓𝑐𝑛 =

TE:

Con condizione al contorno:

Sui conduttori.

1 𝑛𝜋 ∙ 2𝜋√𝜇𝜀 𝑎

𝛾 2 𝐻𝑧 + 𝑘𝑐2 𝐻𝑧 = 0 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑧 = =0 𝜕𝑛 𝜕𝑥

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Otteniamo la soluzione generale:

𝐻𝑧 (𝑥) = 𝐴 sin(𝑘𝑐 𝑥) + 𝐵 cos(𝑘𝑐 𝑥)

Dove le condizioni al contorno per x=0 impone A=0 e le condizioni per x=a è 𝑘𝑐 = 𝐻𝑧 (𝑥) = 𝐵 cos (

𝜔𝜋 𝑥) 𝑎

𝑛𝜋 allora: 𝑎

26. Guide rettangolari (Pag.370) In questo caso E dipenderà sia da x che da y visto che la struttura non è uniforme in nessuna delle direzioni. Per risolvere l’equazione differenziale speriamo quindi nella separazione delle variabili: cerchiamo di scrivere cioè Ez o Hz come prodotti di due funzioni, una dipendente da x e l’altra da y.  Modi TM Scriviamo Ez come 𝐸𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥) ∙ 𝑌(𝑦) E lo andiamo a sostituire nell’equazione d’onda ottenendo: ∇2𝑡 𝐸𝑧 + (𝑘𝑐 2 )𝐸𝑧 = 0 𝑋′′ 𝑌 ′′ 𝑋 ′′𝑌 + 𝑋𝑌 ′′ = −𝐾𝑐2 𝑋𝑌 → 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑋𝑌 → + = −𝐾𝑐2 𝑋 𝑌 𝑋′′ è 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑖𝑠𝑝𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑎 𝑦 𝑒 𝑙𝑜 𝑐ℎ𝑖𝑎𝑚𝑖𝑎𝑚𝑜 − 𝐾𝑥2 𝑋 𝑌′′ è 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑖𝑠𝑝𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑎 𝑥 𝑒 𝑙𝑜 𝑐ℎ𝑖𝑎𝑚𝑖𝑎𝑚𝑜 − 𝐾𝑦2 𝑌 𝑋′′ = −𝐾𝑥2 2 2 = 𝐾2 { 𝑋 𝐾𝑥 + 𝐾𝑦 𝑐 𝑌′′ = −𝐾𝑦2 𝑌 Sia X che Y hanno soluzioni armoniche del tipo: 𝑋 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝐾𝑥𝑋) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝐾𝑥𝑋)] 𝑌 = [𝐶𝑐𝑜𝑠(𝐾𝑦𝑌) + 𝐷𝑠𝑖𝑛(𝐾𝑦𝑌)] [𝐴𝑐𝑜𝑠 ( ) ( )] 𝐸𝑧 = 𝐾𝑥𝑋 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝐾𝑥𝑋 ∙ [𝐶𝑐𝑜𝑠(𝐾𝑦𝑌) + 𝐷𝑠𝑖𝑛(𝐾𝑦𝑌)] Imponendo le condizioni al contorno abbiamo: 𝐸𝑧(0, 𝑦) = 0 → 𝐴 = 0 𝐸𝑧(𝑥, 0) = 0 → 𝐶 = 0 𝑛𝜋 𝐸𝑧(𝑎, 𝑦) = 0 → 𝐾𝑥 = 𝑎 𝑚𝜋 𝐸𝑧(𝑥, 𝑏) = 0 → 𝐾𝑦 = 𝑏 Quindi: 𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑌) 𝐸𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝐵 ∙ 𝐷𝑠𝑖𝑛 ( 𝑋) sin ( 𝑏 𝑎 n e m non possono essere nulli altrimenti avremo Ez=0 -> TEM che sappiamo non può esistere in una guida rettangolare Riprendendo la relazione 𝐾𝑐2 = 𝐾𝑥2 + 𝐾𝑦2 abbiamo che: 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝛾𝑛,𝑚 = √( )2 + ( )2 − 𝜔2 𝜇𝜀 𝑎 𝑏 Troviamo che: Otteniamo:

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

(

𝑛𝜋 𝑎

)2 + (

𝑚𝜋

)2 = 𝜔2 𝜇𝜀 → 𝜔𝑐 =

√(

2 𝑚𝜋 2 𝑏 ) 𝑛𝜋 𝑎 ) +(

→ 𝑓𝑐 =

√(

𝑚𝜋)2 )2 + ( 𝑏 𝑛𝜋𝑎 2𝜋√𝜇𝜀

𝑏 Modi TE √𝜇𝜀 Scriviamo Hz(x,y)=X(x)Y(y) e lo andiamo a sostituire all’equazione d’onda, andando ad ottenere le stesse soluzioni generali del caso TM. 𝐻𝑧 = [𝐴𝑐𝑜𝑠(𝐾𝑥𝑋) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝐾𝑥𝑋)] ∙ [𝐶𝑐𝑜𝑠(𝐾𝑦𝑌) + 𝐷𝑠𝑖𝑛(𝐾𝑦𝑌)] Consideriamo le condizioni al contorno: 𝜕𝐻𝑧 = 0| 𝜕𝑥

𝑋=0 𝑋=𝑎

𝜕𝐻𝑧 | 𝜕𝑦

𝑌=0 𝑌=𝑏

𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑥) cos ( 𝑦) 𝑎 𝑏 In questo caso però n e m non possono essere nulli, in quanto il cos(0)=1, ma non contemporaneamente in quanto sarebbe Hz=BD ovvero costante, il che comporterebbe l’annullamento di tutte le componenti di Ht e anche Et. Per la fc valgono le stesse condizioni fatte nel caso TM. Otteniamo infine:

𝐻𝑧 = 𝐵 ∙ 𝐷 ∙ cos (

Relazioni di ortogonalità: I modi all’interno di una guida rettangolare sono ortogonali: ovvero il prodotto scalare tra componenti di campo analoghe è zero. 1 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗 〈∅𝑖 ∅𝑗〉 = 𝛿𝑖,𝑗 ∙ 𝐴2 𝑐𝑜𝑛 𝛿𝑖,𝑗 = { 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑑𝑖 𝐾𝑟𝑜𝑛𝑒𝑐𝑘𝑒𝑟 0 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗 A è legata dall’ampiezza dei campi, ovviamente rapportata ad A e i campi e i modi risultano ortogonali. Dimostrazione: 〈∅𝑖 ∅𝑗〉 = ∬ ∅𝑖∅𝑗 𝑑𝑆 𝑆

2 ∇2𝑡 ∅𝑖 + 𝐾𝐶𝑖2 ∅𝑖 = 0 ∇2𝑡 ∅𝑗 + 𝐾𝐶𝑗 ∅𝑗 = 0 Moltiplichiamo rispettivamente per Φi e Φj e sottraiamo: 2 ∅𝑗 = 0 → ∅j∇2𝑡 ∅𝑖 − ∅𝑖∇2𝑡 ∅𝑗 = (𝐾𝐶𝑗2 − 𝐾𝐶𝑖2 )∅𝑖∅𝑗 ∅j∇2𝑡 ∅𝑖 + ∅𝑗𝐾𝐶𝑖2 ∅𝑖 − ∅i∇2𝑡 ∅𝑗 + ∅𝑖𝐾𝐶𝑗 Integrando sulla sezione della guida (S):

Prodotto scalare

2 ∬(∅j∇2𝑡 ∅𝑖 − ∅𝑖∇2𝑡 ∅𝑗) 𝑑𝑠 = (𝐾𝐶𝑗 − 𝐾𝐶𝑖2 ) ∬ ∅𝑖∅𝑗 𝑑𝑠 𝑆

𝑆

Per la seconda identità di Gauss:

∮ (∅𝑗

𝐶

𝜕 𝜕 2 ∅𝑗) 𝑑𝑠 = (𝐾𝐶𝑗 − 𝐾𝐶𝑖2 ) ∬ ∅𝑖∅𝑗𝑑𝑠 ∅𝑖 − ∅𝑖 𝜕𝑛 𝜕𝑛 𝑆

=0

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