Energia especifica en canales PDF

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resumen del tercer capitulo, del curso de hidráulica recopilado de varios autores del mencionado curso, para mayor comprensión del curso, de alguna manera resumir el capitulo en entendibles párrafos......

Description

1

Contenido 1.

INTRODUCCION....................................................................................................................3

2.

OBJETIVOS............................................................................................................................4 2.1. OBJETIVOS GENERAL................................................................................................4 2.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS..........................................................................................4

3.

MARCO TEORICO..................................................................................................................5 3.1

LA ECUACIÓN DE ENERGÍA Y ENERGÍA ESPECÍFICA EN CANALES..................................5

3.1.1 ENERGIA ESPECÍFICA A GASTO CONSTANTE...............................................................6 3.2

INTERPRETACIÓN FÍSICA DEL FENÓMENO LOCAL.........................................................7

3.3

FLUJO EN CONDICIONES CRÍTICAS EN CUALQUIER SECCION DE CANAL.......................9

3.4

CÁLCULO DEL VALOR DE NÚMERO DE FROUDE PARA CONDICIONES CRÍTICAS..........13

3.5 ECUACIONES PARTICULARES QUE SE USAN PARA CADA TIPO DE SECCIÓN TRANSVERSAL.........................................................................................................................15 3.5.1

SECCION RECTANGULAR.....................................................................................15

3.5.2

SECCION TRIANGULAR........................................................................................17

3.5.3

SECCION TRAPEZOIDAL.......................................................................................18

3.5.4

SECCION CIRCULAR.............................................................................................20

3.6

CALCULO GRAFICO DEL TIRANTE CRÍTICO..................................................................21

4.

CONCLUSIONES..................................................................................................................23

5.

BIBLIOGRAFIA.....................................................................................................................24

2

Contenido (figuras) Figura 1: interpretación grafica de la energía especifica…………………………………………………………..5 Figura 2: grafico de energía específica a caudal constante……………………………………………………….7 Figura 3: caída libre interpretada mediante una curva de energía especifica……………………………8 Figura 4: resalto hidráulico interpretado mediante curvas de energía especifica……………………..9 Figura 5: sección transversal de un canal cualquiera………………………………………………………………10 Figura 6: relación entre caudal y tirante…………………………………………………………………………………11 Figura 7: sección rectangular de un canal………………………………………………………………………………15 Figura 8: distribución de la energía especifica en un canal rectangular………………………………….16 Figura 9: sección triangular de un canal…………………………………………………………………………………17 Figura 10: distribución de energía especifica en un canal triangular……………………………………..18 Figura 11: sección trapezoidal de un canal……………………………………………………………………………18 Figura 12: distribución de energía especifica en un canal trapezoidal…………………………………..20 Figura 13: sección circular…………………………………………………………………………………………………….20 Figura 14: curvas para calcular el tirante critico……………………………………………………………………22

3

1. INTRODUCCION El presente trabajo contiene los elementos más resaltantes de los temas dictados en clases. El tema es la profundización de los temas de la tercera unidad del curso de hidráulica. El objetivo principal es tener conocimientos más generalizados acerca de todos los puntos estudiados en la tercera unidad del presente curso, ecuación de la energía específica, energía específica a gasto constante, flujo en condiciones críticas, numero de Froude para condiciones críticas, ecuaciones particulares para cada sección transversal de canal, etc. La tercera unidad del presente curso, trata de la energía específica y sus características más resaltantes, se puede decir que la energía específica en la sección de un canal se define como la energía por kilogramo de agua que fluye a través de la sección. Para analizar esta problemática es necesario analizar y revisar textos relacionados al curso y apuntes obtenidos de clase. El interés de hacer este informe radica en que se obtendrá mayor conocimiento con lo que respecta a la tercera unidad del curso de hidráulica. En el marco teórico metodológico se realizó con una serie de citas bibliográficas obtenidas de los textos relacionados al tema.

4

2. OBJETIVOS

2.1. OBJETIVOS GENERAL  Describir y contrastar los temas de la segunda unidad del curso de hidráulica.

2.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS  Comparar los resultados de la investigación con lo expuesto por el docente.  Descubrir y registrar definiciones y fórmulas nuevas encontradas durante las revisiones bibliográficas.

5

3. MARCO TEORICO 3.1

LA ECUACIÓN DE ENERGÍA Y ENERGÍA ESPECÍFICA EN CANALES. Villón Béjar (2007), indica que: La energía específica en la sección de un canal se define como la energía por kilogramo de agua que fluye a través de la sección, medida con respecto al fondo del canal. (p. 145) De lo anterior, la ecuación de Bernoulli, para la sección del canal es:

E=Z + y +α

( )

V2 … (3.1) 2g

Donde Z=0 esto debido a que la referencia es el fondo del canal, obteniéndose la ecuación de la energía específica:

( V2 g )…(3.2) 2

E= y+ α

Figura 1. Interpretación grafica de la energía especifica

Fuente: Rocha Arturo (1975). Hidráulica de tuberias y canals. Pág. 324

6

3.1.1 ENERGIA ESPECÍFICA A GASTO CONSTANTE Rocha Arturo (1975), indica que: La ecuación de la energía específica a gasto constante puede ser graficada colocando en el eje de abscisas los valores de energía específica y en el eje de las ordenadas los del tirante y. (p. 325) Considerando

E= y+ α

α=1 , tenemos de la ecuación 3.2, lo siguiente:

( )

V2 …(3.3) 2g

Pero por ecuación de la continuidad en cualquier punto del tramo, se tiene: V=

Q …(3.4) A

Sustituyendo 3.4 en 3.3, se tiene:

E= y+

αQ 2 …(3.5) 2 g A2

Suponiendo que Q es constante y A es una función del tirante, la energía especifica es función únicamente del tirante. Si la ecuación 3.5 se gráfica, obtendríamos los siguientes análisis: 2

Si y → 0 ⟹ A → 0, luego:

Q →∞ ⟹E→∞ 2 g A2

Si y → ∞ ⟹ A → ∞ ,luego :

Q2 → 0⟹ E → ∞ 2 g A2

7

Figura 2. Gráfico de energía específica a caudal constante

Fuente: Rocha Arturo (1975). Hidráulica de tuberias y canals. Pág. 326

3.2

INTERPRETACIÓN FÍSICA DEL FENÓMENO LOCAL Ven Te Chow (1994), indica que: En los canales abiertos a menudo ocurren cambiose en el estado de flujo subcritico o supercritico y viceversa, tales cambios manifiestan con un correspondiente cambio de profundidad de flujo de una profundidad alta a una profundidad baja, o viceversa. Si el cambio ocurre rapido a lo largo de una distancia relativamente corta, el flujo es rapidamente variado y se conoce como fenomeno local. La caida hidraulica y el resalto hidraulico son de dos tipos de fenomenos, los cuales describimos a continuacion. (p. 43)

8

Caida Hidraulica: un cambio rapido en la profundidad de flujo de un nivel alto a uno de nivel bajo resultara en una depresion abrupta de la superficie del agua, por lo general, tal fenomeno es causado abrupto en la pediente del canal o en la region transversal y se conoce como caida hidraulica. En la region de transicion de la caida hidraulica a menudo aparece una curva invertida que conecta las superficies del agua antes y despues de la caida, el punto de inflexion e la curva inversa marca la posicion aproximada de la profundidad critica para la cual la energia espedifica es minima y el flujo subcritico pasa a uno suercritico. La Caida Libre: es un caso especial de la caida hidraulica, esta ocurre cuando existe una discontinuidad en el fondo de un canal plano. Es parte de una ley natural si no se añade una energia externa, la superficie del agua buscara la posisicion mas baja posible, lo cual corresponde al menor contenido posible de disipacion de energia. La curva de la energia especifica muestra que la seccion de energia minima o seccion critica deber ocurrir en el borde de la caida. Figura 3. Caída libre interpretada mediante una curva de energía especifica

Fuente: Ven Te Chow (1994). Hidráulica de canales abiertos. Pág. 44

9

Resalto Hidráulico: cuando el cambio rápido en la profundidad de flujo es desde un nivel bajo a un nivel alto, a menudo el resultado hidráulico es una subida abrupta de la superficie de agua, este fenómeno local se conoce como resalto hidráulico, acurre con frecuencia en un canal por debajo de una compuerta deslizante de regulación, en la parte de aguas debajo de un vertedero o en el sitio donde un canal con alta pendiente se vuelve casi horizontal de manera súbita. Si el resalto es bajo, es decir, si el cambio en la profundidad es pequeño, el agua no subirá de manera abrupta y obvia sino que pasara del nivel bajo al nivel alto a través de una serie de ondulaciones que van disminuyendo gradualmente de tamaño. Figura 4. Resalto hidráulico interpretado mediante curvas de energía específica y fuerza especifica.

Fuente: Ven Te Chow (1994). Hidráulica de canales abiertos. Pág. 45

3.3

FLUJO EN CONDICIONES CRÍTICAS EN CUALQUIER

SECCION DE CANAL Rocha Arturo (1975), indica que:

10

Para cada valor del tirante y, que es variable, hay un valor del area A y un valor de ancho superficial T, de la primera consideracion del regimen critico se tiene que un regimen es critico, si la enrgia especifica minima es cero. (p. 327) De la ecuacion 3.5 se tiene que:

(

)

2 dE d Q −2 = y− A =0 dy dy 2g

αQ 2 ∗d A−2 2g =0 1+ dy 2∗αQ 2 −2 ∗A ∗dA 2g 1− =0 dy De donde: αQ 2 ∗dA g A3 =1 …(3.6) dy

Figura 5. Sección transversal de un canal cualquiera

Fuente: Rocha Arturo (1975). Hidráulica de tuberias y canals. Pág. 327

El elemento del área dA cerca a la superficie libre es igual a Tdy, es decir:

dA=Tdy →

dA =T …(3.7) dy

11

Sustituyendo 3.7 en 3.6, tenemos: 3 2 αQ = A c …(3.8) g Tc

Condición para el caudal máximo, E constante: De la ecuación 3.5, se tiene lo siguiente:

E= y+

αQ 2 …(3.9) 2 g A2

De donde:

E− y=

α Q2 2 g A3

αQ 2=2 g A3 ( E− y ) 1

Q=

1 √2 g A ( E− y ) 2 …(3.10) √α

Donde E es constante y A=f(y), en la ecuación 3.10 se observa que para y=0→A=0, luego Q=0 y para y=E → Q=0

y entre estos dos valores existe un

máximo para Q. esto se grafica Q vs y, esta curva obtenida será útil para aplicaciones que corresponde a caudales variables con energía constante, como sucede en los vertederos laterales. Figura 6. Relación entre caudal y tirante.

12

Fuente: Villón Béjar (2007). Hidráulica de canales. Pág. 156

En la figura 4, se observa que existen dos valores de y para cada valor de Q, excepto en el Q máximo. De la segunda consideración de la definición de régimen crítico para una E constante, si Q es máximo, es decir si: dQ =0 dy Derivando 3.10 con respecto al tirante (y) e igualando a cero, se tiene: dQ d = dy dy

( √ 2 g A( E− y ) )=0 1 2

√ 2 g d ( A ( E− y ) 2 )=0 1

dy

(

1

)

d A ( E− y )2 =0 dy 1

1

1 2 dA =0 A ( E− y) 2 (−1 )+ ( E− y ) 2 dy −A

1

+ ( E− y ) 2 1

2 ( E− y ) 2

dA =0 dy

Multiplicando ambos miembros por −A dA =0 +( E− y) dy 2

( E− y)

dA A = dy 2

( E− y) 1/ 2 , se tiene:

13

Pero:

dA =T , luego: dy

( E− y) T =

E− y=

A 2

A …(3.11) 2T

De la ecuación 3.5 se tiene: 2

E− y=

αQ … (3.12) 2 2g A

Igualando 3.11 y 3.12, tenemos:

A αQ2 = 2 2T 2gA

O también: 3

αQ2 A c = Tc g

Que es una ecuación idéntica a la (3.8), de lo que podemos decir: Villón Béjar (2007), indica que: El estado crítico no solo proporciona la energía especifica mínima para un caudal dado, sino también el caudal máximo para una energía especifica dada, para este último caso, la energía especifica E, es la mínima con la cual puede pasar el caudal máximo a través de la sección. (p. 158) 3.4

CÁLCULO DEL VALOR DE NÚMERO DE FROUDE PARA

CONDICIONES CRÍTICAS De la ecuación de la continuidad, se tiene: Q=vA

Sustituyendo en (3.8), se tiene:

14 2

2

3

α Ac vc A c = g Tc 2

αvc A c = g Tc

Pero: y´ c =

y´ c =

Ac , luego: Tc

αvc2 g 2

1=

α vc g y´ c

Extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros, se tiene:

√ α vc

√ g yc

=1

Por definición: F= √

αv … (3.13) √ g ´y

∴ F c =1 Será el valor del número de Froude para las condiciones de flujo crítico, para el caso de una sección cualquiera.

De la ecuación (3.13), tenemos lo siguiente, y además sabiendo que,

( )

αv F= √ √ g ´y 2

2

y´c =

Ac : Tc

15 2

2

F=

αv Ac g Tc

α F2 =

F2 =

3.5

( )

Q 2 Tc Ac g Ac

α Q2 T c …(3.14) g Ac3

ECUACIONES PARTICULARES QUE SE USAN PARA CADA

TIPO DE SECCIÓN TRANSVERSAL Villón Béjar (2007), indica que: Las condiciones teóricas en que se desarrolla el régimen crítico están dadas por la ecuación (3.8), esta ecuación indica que dependiendo de la forma de la sección del canal y el caudal, existe un tirante crítico único y viceversa. (p.159) 3.5.1

SECCION RECTANGULAR. Figura 7. Sección rectangular de un canal.

Fuente: Villón Béjar (2007). Hidráulica de canales. Pág. 159

16

1) Relación entre el tirante crítico y el caudal unitario, sustituyendo valores en la ecuación (3.8), se tiene: Tenemos los valores que son, A=by, T=b: 3

2 αQ b y c = b g

3

αQ2 3 = yc 2 b g

√

yc=

αQ2 … (3.15) b2 g

2) Relación entre la velocidad y el tirante crítico: En la ecuación (3.8), sustituyendo Q=vA, se tiene lo siguiente: v c 3 A c3 A c 3 = Tc g v c 2 Ac b y c = = b g Tc vc 2 = y c …(3.16) g 3) Relación entre la energía especifica mínima y el tirante crítico, de la ecuación de la energía específica, se tiene: E= y+α

V2 2g

Para las condiciones críticas, se expresa como: Emin = y c +α

v c2 …(3.17) 2g

Reemplazando (3.16) en (3.17), obtenemos lo siguiente:

17

3 Emin = y c …(3.18) 2 Figura 8. Distribución del E.E. en un canal rectangular

Fuente: Rocha Arturo (1975). Hidráulica de tuberias y canals. Pág. 336

3.5.2

SECCION TRIANGULAR. Figura 9. Sección triangular de un canal

Fuente: Rocha Arturo (1975). Hidráulica de tuberias y canals. Pág. 350

1) Relación entre el tirante crítico y el caudal unitario, sustituyendo valores en la ecuación (3.8), se tiene: Tenemos los valores que son, 6

3 αQ2 Z y c = g 2Z yc 2

2 αQ 5 = yc 2 Z g

A=Z y

2

y T =2 Zy

18

√ 5

2

2 αQ = y …(3.19) c Z2 g

2) Relación entre la velocidad y el tirante crítico: En la ecuación anterior (3.19), sustituimos la ecuación de continuidad, y resulta: 2

2

2 α vc Ac 2

Z g

= yc

Pero como: 2 α v c 2 Z 2 y c4 Z2 g

5

2

A c =Z y c

, luego:

= yc 5

2 α vc 2 = y c …(3.20) g 3) Relación entre la energía especifica mínima y el tirante crítico, de la ecuación de la energía específica, se tiene: 2 yc vc = 2g 4

Sustituyendo este valor en (3.17), tenemos: Emin =

5 y …(3.21) 4 c

Figura 10. Distribución del E.E. en un canal triangular

Fuente: Rocha Arturo (1975). Hidráulica de tuberias y canals. Pág. 351

19

3.5.3

SECCION TRAPEZOIDAL.

Figura 11. Sección trapezoidal de un canal

Fuente: Rocha Arturo (1975). Hidráulica de tuberias y canals. Pág. 353

1) Relación entre el tirante crítico y el caudal unitario, sustituyendo valores en la ecuación (3.8), se tiene: Tenemos los valores que son,

A=( b+ Zy ) y

y

T =b+2 Zy

αQ2 ( b y c +Z yc ) = …(3.22) b+2 Z y c g 2 3

2) Relación entre la velocidad y el tirante crítico: En la ecuación anterior (3.19), sustituimos la ecuación de continuidad, y resulta: E= y+α

V2 2g

v =√ 2 g(E− y ) Q=( b +Zy ) y √ 2 g (E− y)…(3.23) La condición crítica corresponde a gasto máximo, esto quiere decir que la

energía será constante. Por lo tanto

dQ =0 dy

Derivando (3.23) e igualar a cero, obtenemos:

20

5 Z y c2 +( 3 b−4 ZE ) y c −2 bE=0

Si aceptamos que b es igual a cero sería una sección triangular, y si en cambio aceptamos Z igual a cero, este sería un canal rectangular, en tanto este canal trapezoidal no pueden ni Z ni b ser cero, resolviendo tenemos: y c=

4 ZE−3 b + √16 Z 2 E 2+16 ZEb+9 b2 …(3.24) 10 Z

3) Relación entre la energía especifica mínima y el tirante crítico, de la ecuación de la energía específica, se tiene: Tenemos que el área de una sección trapezoidal puede ser expresado como: A=

b+T yc 2

Reemplazamos esto en la ecuación (3.8), y obtenemos: 2

vc b+T E = 2 g 5T +b yc=

4T E 5T +b

Se puede apreciar que: 4T 4 2 E< E< E 5 3 5T +b

Figura 12. Distribución del E.E. en un canal trapezoidal

21

Fuente: Rocha Arturo (1975). Hidráulica de tuberias y canals. Pág. 355

3.5.4

SECCION CIRCULAR. Figura 13. Sección circular

Fuente: Rocha Arturo (1975). Hidráulica de tuberias y canals. Pág. 361

1) Relación entre el tirante crítico y el caudal unitario, sustituyendo valores en la ecuación (3.8), se tiene:

Tenemos los valores que son,

T=

θ θ−sin ¿ 2 r A= ¿ 2

r (1−cosθ ) θ sen 2

Reemplazando en la ecuación (3.8), tenemos:

( )

θ D5 ( 3 ∗ θ−senθ ) sen 2 8 2 Q 2 = g 1−cosθ

22 3

5

√ g ∗( θ−senθ )2 D 2

3.6

4

Q=

2

yc=

D θ ∗ 1−cos …(3.25) 2 2

( 2)

√ 2 sen θ

(

1 2

)

CALCULO GRAFICO DEL TIRANTE CRÍTICO.

Ven Te Chow (1994), indica que: Los análisis sobre el estado crítico de flujo se han referido principalmente a una se...