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Übung zur Vorlesung „Einführung in die Regelungstechnik“

Beiblatt: Hurwitz-Kriterium Zur Analyse der exponentiellen Stabilität der Übertragungsfunktion G(s) =

Z(s) N (s)

(1)

mit N (s) = an sn + an−1 sn−1 + ... + a1 s + a0 ,

ai ∈ R,

an > 0

(2)

ist die Lage der Nullstellen des Nennerpolynoms N (s) zu untersuchen. Weisen alle Pole einen nicht verschwindenden negativen Realteil auf, ist die Übertragungsfunktion exponentiell stabil. Um die explizite Berechnung aller Nullstellen des Polynoms N (s) zu vermeiden, kann das sog. HurwitzKriterium herangezogen werden.

Hinweis zur Annahme an > 0 Die Aussagen auf diesem Beiblatt gelten gemäß (2) nur für an > 0. Dies stellt jedoch keine Einschränkung dar, da N (s) = 0 und −N (s) = 0 äquivalent sind. Ist also an < 0, ist N (s) durch Multiplikation mit −1 auf die Form (2) mit an > 0 zu bringen.

Vereinfachtes Hurwitz-Kriterium bis n = 3 Für n = 1, 2, 3 ist das Kriterium sehr einfach: N (s) besitzt genau dann ausschließlich Nullstellen mit negativem Realteil, wenn gilt a) ai > 0 für i = 0, 1, ..., n b) sowie bei n = 3 zusätzlich a1 a2 > a3 a0 . Ab n = 4 ist die nachfolgende allgemeine Form anzuwenden.

Hurwitz-Kriterium (allgemeine Form, bei uns nicht betrachtet) N (s) besitzt genau dann ausschließlich Nullstellen mit negativem Realteil, wenn gilt 1. ai > 0 für i = 0, 1, ..., n 2. det(Hi ) > 0 für i = 1, 2, ..., n wobei Hi ∈ Ri×i die Hauptabschnittsmatrizen (linke obere i × i-Teilmatrix) der Hurwitzmatrix   an−1 an−3 an−5 an−7 ...  an−0 an−2 an−4 an−6 ...     0 an−1 an−3 an−5 ...    an−0 an−2 an−4 ...  H =   0  0 0 an−1 an−3 ...     0 0 an−0 an−2 ...  ... ... ... ... ... darstellen. Alle Einträge ak mit k > n sind gleich null zu setzen.

Stand: 4. November 2019

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