Routh- Hurwitz - Nota: 4.5/5 PDF

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Informe de laboratorio concerniente al desarrollo de problemas relacionados a estabilidad de los sistemas solucionandolos aplicando el criterio de Routh-Hurwitz....

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UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER PROGRAMA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA SISTEMAS DE CONTROL

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Laboratorio #6 ROUTH-HURWITZ RESUMEN El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener que factorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos. Para un sistema retroalimentado, establece matemáticamente que todo sistema el cual arroje para su ecuación característica raíces reales ubicadas al lado izquierdo del semiplano complejo se definirá como un sistema estable. La simulación en el software Matlab, permite validar el comportamiento de un sistema retroalimentado ajustando el valor de la ganancia, con el fin de mantener el sistema en la región de estabilidad permanente. INTRODUCCIÓN El teorema de Routh - Hurwitz proporciona un criterio capaz de determinar en cuál semiplano (izquierdo o derecho) del plano complejo están localizadas las raíces del denominador de la función de transferencia de un sistema; y en consecuencia, conocer si dicho sistema es estable o no. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado que todos los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es estable, y si hay un mínimo de un polo en el semiplano derecho, el sistema es inestable. Bajo esta premisa, este laboratorio se centrará en aplicar los conceptos necesarios para la obtención de la variable (K) de un sistema de lazo cerrado; la cual sea estable y proporcione una ganancia estable al sistema de control. OBJETIVOS

Determinar los criterios matemáticos para determinar si un sistema es inestable o estable utilizando el método propuesto por Rout- Hurwitz Manejar la herramienta de Matlab para la simulación del modelo y encontrar los polos en la región de estabilidad o inestabilidad. Representar gráficamente, en el software Matlab los polos del sistema. DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Se partió del análisis a la guía de laboratorio “ROUTH-HURWITZ”, con el fin de apropiarse de los conceptos y métodos que dan solución a la estabilidad de un sistema. [1] La estabilidad absoluta de un sistema realimentado está directamente relacionada con la situación de las raíces de la ecuación característica de la función de transferencia del sistema. Sin embargo para hallar las raíces en una ecuación característica de tercer orden o mayor es un cálculo complejo y tedioso. El criterio de routh– hurwitz es una herramienta muy útil que permite calcular el número de raíces situadas en el semiplano derecho de la ecuación característica sin resolverla. 𝑇(𝑠) =

𝐺(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠)

Donde: 1 + 𝐺(𝑠) = 𝑞(𝑠) 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑞(𝑠) = 𝑎𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑠 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎0 = 0

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Para que en esta ecuación no existan raíces con la parte real positiva es necesario, pero no suficiente que:  Todos los coeficientes del polinomio tengan el mismo signo  Ningún coeficiente sea nulo

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Para que el sistema sea estable, la primera columna de la tabla de coeficientes no debe presentar un cambio de signo. Los cambios de signos entre las celdas de la tabla equivalen a los polos que posee el sistema; a esta columna se le conoce como columna principal.

Para asegurar que todas las raíces de la ecuación se hallan en la región negativa del plano s se crea la tabla de coeficientes basada en el ordenamiento de los coeficientes de la ecuación característica como se muestra en la Figura 1.

Figura 2 . Columna principal de la tabla de coeficientes.,

Posteriormente se desarrolla el ejercicio propuesto en la guía de laboratorio, con el fin de encontrar un rango de valores a la ganancia del sistema (K) tales que hagan al sistema estable. Figura 1. Tabla de coeficientes para la ecuación característica.

A continuación, se procede a completar el arreglo de las celdas, agregando los elementos b1, b2,.., c1, c2,…., que correspondan a las filas de los elementos bi, ci, etcétera y se calculan de la siguiente manera: 𝑏1 =

𝑎𝑛−1 (𝑎𝑛−2) − 𝑎𝑛 (𝑎𝑛−3 ) 𝑎𝑛−1 𝑏1 (𝑎𝑛−3 ) − 𝑎𝑛−1(𝑏2 ) 𝑏1

𝑐1 =

𝑏2 =

𝑎𝑛−1(𝑎𝑛−4) − 𝑎𝑛 (𝑎𝑛−5 ) 𝑎𝑛−1

𝑏1 =

𝑏1 (𝑎𝑛−5) − 𝑎𝑛− (𝑏3 ) 𝑏1

𝑇(𝑠) =

𝑆4

+

2𝑆 3

𝐾(0.5 + 𝑆) + 10𝑆 2 + 5𝑆 + (𝑠 + 𝐾)

Analizamos la ecuación característica. 𝑆 4 + 2𝑆 3 + 10𝑆 2 + 5𝑆 + (𝑠 + 𝐾)

1 S4 3 2 S 2 7,5 S (67-4K)/15 S 2+K S0

10 5 2+K 0

2+K

Teniendo en cuenta que en la primera columna no puede haber ningún cambio de signo, se trabaja las ecuaciones resultantes en las celdas, para encontrar el rango de ganancia que hace al sistema estable. 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛:

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67 − 4𝐾 >0 15 67 − 4𝐾 > 0 𝐾<

67 4

𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 2+𝐾 >0 𝐾 > −2 Figura 3. Grafica de polos complejos K=-2.

67 −2 < 𝑲 < 4 Posteriormente se realizó el análisis en el software Matlab dándole el valor de la ganancia al sistema, en sus puntos máximos y mínimos.

Num= [K K/2] Den= [1 2 10 5 (2+K)] g1= tf(Num,Den) pzmap(g1) grid on

Para cuando K = -2.

K= input('Asigne un valor a K:

')

Num= [K K/2] Den= [1 2 10 5 (2+K)] g1= tf(Num,Den)

clear all clc K= input('Asigne un valor a K:

clear all clc

')

pzmap(g1) grid on

Para cuando K =

67 4

16.75 S + 8.375 g1 = -----------------------------------------S^4 + 2 S^3 + 10 S^2 + 5 S + 18.75

-2 S - 1 g1 = -------------------------------S^4 + 2 S^3 + 10 S^2 + 5 S

Figura 4. Grafica de polos complejos K=-67/4.

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HERRAMIENTAS UTILIZADAS MATLAB: Es una herramienta de software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio. CONCLUSIONES Se analizó toda la información recopilada de la guía de laboratorio para entender el modelo matemático y los conceptos del criterio de Routh – Hurwitz, además de la validación de esta teoría utilizando el software Matlab. A través del modelo matemático, se obtuvieron los coeficientes que complementan la matriz de la ecuación característica, con el fin de encontrar los rangos de la ganancia que hacen estable el sistema, aplicando el método de Routh- Hurwitz. Se obtuvieron las gráficas mediante el uso del comando pzmap, el cual grafica en el plano complejo las raíces del sistema; las cuales para nuestro sistema cumplen el criterio de estabilidad. REFERENCIAS [1] J. J. Ramírez, “Rout- Hurwitz”, Universidad Francisco de Paula Santander, Laboratorio 6, 2017.

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