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Matemática de segundo año de bachillerato...

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Bachillerato

Segundo año de bachillerato

1 4

1 2

x

x = ¿?

Segundo año de bachillerato

1 4

1 2

x

x = ¿?

Ing. Carlos Mauricio Canjura Linares Ministro de Educación

Lic. Francisco Humberto Castaneda

Dra. Erlinda Hándal Vega

Viceministro de Educación

Viceministra de Ciencia y Tecnología

Lic. Óscar de Jesús Águila Chávez Director Nacional de Educación Media (Tercer Ciclo y Media) Director del Proyecto ESMATE

Ing. Wilfredo Alexander Granados Paz Gerente de Gestión y Desarrollo Curricular de Educación Media Coordinador del Proyecto ESMATE

Lic. Félix Abraham Guevara Menjívar Jefe del Departamento de Educación en Ciencia Tecnología e Innovación (Matemática)

Lic. Gustavo Antonio Cerros Urrutia Jefe del Departamento de Especialistas en Currículo de Educación Media

Equipo Técnico Autoral del Ministerio de Educación Ana Ester Argueta Aranda César Omar Gómez Juárez Diana Marcela Herrera Polanco Francisco Antonio Mejía Ramos Félix Abraham Guevara Menjívar Equipo de diagramación Ana Ester Argueta Aranda César Omar Gómez Juárez Diana Marcela Herrera Polanco Francisco Antonio Mejía Ramos Judith Samanta Romero de Ciudad Real Corrección de estilo Mónica Marlene Martínez Contreras Revisión a nivel nacional por especialistas formados dentro del Plan Nacional de Formación Docente en Servicio Cooperación Técnica de Japón a través de la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA).

Primera edición, 2019. Derechos reservados. Prohibida su venta y su reproducción con fines comerciales por cualquier medio, sin previa autorización del MINED. Imagen de portada con fines educativos, en ella se ilustra un cuadrilátero en cuyo interior hay una secuencia de triángulos, a partir de lo cuál se puede identificar un patrón y calcular el valor de x. La respuesta está en la contraportada.

ISBN

Estimados jóvenes: Es grato dirigirnos a ustedes con el propósito de felicitarlos por iniciar un nuevo año escolar con mucho entusiasmo, voluntad y entrega. Desde “El proyecto de Mejoramiento de los Aprendizajes de Matemática en Educación Básica y Educación Media”(ESMATE), hemos trabajado este libro de texto, el cual presenta una nueva propuesta en el abordaje de la matemática. Estamos convencidos que saber matemática significa tener una herramienta potente en el desarrollo de sus capacidades productivas y ciudadanas; ayuda a ser más eficiente, a resolver problemas complejos con mayor facilidad, a contar con un razonamiento matemático capaz de ser crítico, analítico y práctico. En definitiva, a vivir con éxito, en un mundo cada vez más desafiante ante los cambios sociales y avances tecnológicos. Tenemos la seguridad que su encuentro con estos saberes será muy satisfactorio, ya que este libro ha sido elaborado por un equipo altamente calificado que nos plantea una metodología constructiva, retadora y exigente, con el único fin de que los conocimientos matemáticos les enriquezcan, sean mejor entendidos y puedan integrarse en sus quehaceres cotidianos con mayor facilidad. Recuerden que en El Salvador todos los jóvenes son capaces de aprender y desarrollarse. Mantengan la confianza en sus capacidades, porque todos pueden alcanzar el éxito con esfuerzo, disciplina y dedicación. Mucho ánimo ya que contamos con lo mejor de ustedes para desarrollar un mejor El Salvador. Atentamente,

Carlos Mauricio Canjura Linares Ministro de Educación

Francisco Humberto Castaneda Viceministro de Educación

Erlinda Hándal Vega Viceministra de Ciencia y Tecnología

Presentación del libro Partes de una clase En el primer momento de cada clase, el estudiante debe pensar una solución a partir de una situación problemática la cual permite introducir el contenido que se va a desarrollar. En este segundo momento de la clase, el texto propone una o varias formas de resolver el problema planteado. En la Conclusión se llega a la explicación del contenido. Aquí se relacionan el problema inicial y la solución para explicar con lenguaje matemático la finalidad del contenido. A veces es necesario presentar un problema más, que permita consolidar el contenido de la clase.

roblemas

Es la sección de problemas y ejercicios. El ícono de la calculadora indica los únicos ejercicios en donde es indispensable usar calculadora.

Información complementaria En el libro se utilizan algunos elementos que facilitan el aprendizaje de los contenidos, como presaberes, pistas, información adicional como historia de la matemática, esto se representa con diferentes colores: Presaberes

Pista

Información adicional

Distribución de las clases El libro está compuesto por 8 unidades didácticas, cada una está formada por diferentes lecciones y cada lección está compuesta por diferentes clases. En la numeración del título de cada clase, el primer número indica la lección y el segundo número indica la clase. Por ejemplo, el título de la clase 7 de la lección 1 de la unidad 1 de este libro se representa de la siguiente manera: Indica el número de lección

1.7 Ecuaciones racionales Indica el número de clase

El número de la unidad aparece en una etiqueta verde en la parte lateral de las páginas impares. Además al finalizar una unidad siempre aparecen algunos problemas sobre todas las temáticas abordadas, y en ocasiones también se desarrollan algunas prácticas en geogebra, como recurso tecnológico de la matemática.

Unidad 1 Ecuaciones ......................................................................................... 1 - 12 1. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones .................................. 1 - 12

Unidad 2 Línea recta ........................................................................................ 13 - 42 1. Puntos y segmentos ................................................................. 13 - 20 2. Línea recta ................................................................................ 21 - 26 3. Posiciones relativas entre rectas .......................................... 27 - 36 4. Práctica en geogebra ............................................................. 37 - 42

Unidad 3 Secciones cónicas ............................................................................. 43 - 88 1. Definición de función ............................................................... 43 - 55 2. Función cuadrática ................................................................. 56 - 62 3. Aplicaciones de la función cuadrática ............................... 63 - 70 4. Otras funciones .......................................................................... 71 - 80 5. Práctica en geogebra ............................................................. 81 - 88

Unidad 4 Funciones trascendentales 1 .......................................................... 89 - 112 1. Exponentes y raíces .................................................................. 89 - 101 2. Función exponencial .............................................................. 102 - 112

Unidad 5 Funciones trascendentales 2 ........................................................ 113 - 154 1. Función biyectiva e inversa .................................................... 113 - 121 2. Función logarítmica ................................................................ 122 - 131 3. Funciones trigonométricas .................................................... 132 - 146 4. Práctica en geogebra ............................................................. 147 - 154

Unidad 6 Sucesiones aritméticas y geométricas ...................................... 155 - 170 1. Sucesiones .................................................................................... 155 - 170

Unidad 7 Métodos de conteo ........................................................................ 171 - 198 1. Los conjuntos .............................................................................. 171 - 175 2. Permutaciones .......................................................................... 176 - 187 3. Combinaciones .......................................................................... 188 - 198

Unidad 8 Probabilidad ................................................................................... 199 - 216 1. Axiomas de Kolmogórov ........................................................ 199 - 206 2. Probabilidad condicional........................................................ 207 - 216

Ecuaciones

1

El trabajo con ecuaciones se ha realizado desde culturas antiguas, como se ha visto en otras unidades como ecuación de primer grado, o ecuación cuadrática (en tercer ciclo), a pesar que detallar su origen es complicado, conjunto con las ecuaciones estudiadas históricamente se ha llevado el estudio de ecuaciones con particularidades, tal es el caso de ecuaciones cuárticas (de grado 4) que tienen estructura de ecuación cuadrática, o ecuaciones expresadas con radicales, o ecuaciones racionales que se reducen a ecuaciones de primer grado, entre otras, que utilizan y cumplen las mismas propiedades de las igualdades y de los sistemas de ecuaciones.

Imagen de las cónicas de Apolonio, la deducción de las ecuaciones de estas figuras necesita la resolución de ecuaciones con radicales.

En el modelamiento de situaciones de la naturaleza muchas veces hay fenómenos que es complicado modelarlos matemáticamente con ecuaciones de primer grado o ecuaciones cuadráticas, y es necesario resolver otros tipos de expresiones, por ello es necesario saber aplicar los conocimientos adquiridos en la solución de las ecuaciones básicas (Primer grado, cuadráticas y sistemas de ecuaciones de primer grado) a otros tipos de ecuaciones.

Se comenzará abordando los contenidos de ecuación bicuadrática, como aplicación de lo aprendido en ecuación cuadrática, y luego se pasará a resolver ecuaciones expresadas con signo de radical, para finalmente abordar las ecuaciones racionales, partiendo del concepto de mínimo común múltiplo para polinomios.

1.1 Ecuaciones bicuadráticas, parte 1* Resuelve la ecuación x4 – 25x2 + 144 = 0 haciendo los siguientes pasos: a) Realiza el cambio de variable y = x2. b) Resuelve la ecuación de grado dos que resulta en a). c) Encuentra las soluciones de la ecuación original. a) Si se observa la ecuación, puede escribirse como (x2)2 – 25(x2) + 144 = 0, por lo que al hacer el cambio de variable y = x2 se tiene (x2)2 – 25(x2) + 144 = y2 – 25y + 144 = 0 b) Se puede resolver esta ecuación cuadrática factorizando, por lo que se buscan dos números que multiplicados den 144 y sumados den 25, y2 – 25y + 144 = (y – 16)(y – 9) = 0 c) Luego, y – 16 = 0 o bien y – 9 = 0. • Si y – 16 = 0 entonces y = 16 � x2 = 16 � x = ± 4. • Si y – 9 = 0 entonces y = 9 � x2 = 9 � x = ± 3.

También, puede resolverse la ecuación cuadrática resultante en el cambio de variable con la fórmula cuadrática.

Por lo tanto, las soluciones de x4 – 25x2 + 144 = 0 son x = – 4, – 3, 3, 4. Las ecuaciones de la forma Ax4 + Bx2 + C = 0, donde A es distinto de cero, se llaman ecuaciones bicuadráticas. Las ecuaciones bicuadráticas pueden resolverse haciendo el cambio de variable y = x2 y resolviendo la ecuación cuadrática que resulta. Las ecuaciones bicuadráticas tienen cuatro soluciones, ya sean todas reales, todas complejas o dos reales y dos complejas.

Ejemplo

Resuelve la ecuación x4 – 24x2 – 25 = 0. Al hacer el cambio de variable la ecuación resultante es y2 – 24y – 25 = 0. Al factorizar se tiene y2 – 24y – 25 = (y – 25)(y + 1) = 0 Luego, y – 25 = 0 o bien y + 1 = 0. • Si y – 25 = 0 entonces y = 25 � x2 = 25 � x = ± 5. • Si y + 1 = 0 entonces y = – 1 � x2 = – 1 � x = ± i. Por lo tanto, las soluciones de x4 – 24x2 – 25 = 0 son x = – 5, 5, i, – i.

roblemas Resuelve a) x4 – 29x2 + 100 = 0

2

b) x4 – 13x2 + 36 = 0

c) x4 – 5x2 + 4 = 0

d) x4 – 8x2 – 9 = 0

e) x4 + 5x2 + 4 = 0

f) x4 + 4x2 + 3 = 0

Unidad 1

1.2 Ecuaciones bicuadráticas, parte 2 Resuelve la ecuación 2x4 – 15x2 + 27 = 0.

Al hacer el cambio de variable resulta 2y2 – 15y + 27 = 0. Puede resolverse la ecuación por factorización, que al utilizar el método de la tijera se obtiene que 2y2 – 15y + 27 = (2y – 9)(y – 3) = 0. De aquí resulta 9

9

• 2y – 9 = 0 � y = 2 . Es decir, x2 = 2 3 3 2 � x=± =± 2 . 2

2y2 – 15y + 27 –9 2y

–9y

–3

–6y

y

–15y

• y – 3 = y = 3. Es decir, x2 = 3

� x = ± 3. 3 2 3 2

Por lo tanto, las soluciones de 2x4 – 15x2 + 27 = 0 son x = – 2 , 2 , – 3, 3.

Las ecuaciones bicuadráticas tienen cuatro soluciones, ya sean todas reales, todas complejas o dos reales y dos complejas.

Ejemplo

Resuelve la ecuación 2x4 + 33x2 + 16 = 0. Al hacer el cambio de variable resulta 2y2 + 33y + 16 = 0. Al resolver por factorización, se tiene que 2y2 + 33y + 16 = (2y + 1)(y + 16) = 0

De aquí resulta 1

1

• 2y + 1 = 0 � y = – 2 . Es decir, x2 = – 2 1 i 2 2 = ± 2 i.

� x=±

• y + 16 = 0 � y = – 16. Es decir, x2 = – 16 � x = ± 4i. 2

2

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación 2x4 – 3x2 – 20 = 0 son x = 2 i, – 2 i, 4i, –4i.

roblemas Resuelve a) 36x4 – 13x2 + 1 = 0

b) 4x4 – 5x2 + 1 = 0

c) 9x4 + 5x2 – 4 = 0

d) 8x4 – x2 – 7 = 0

e) 9x4 – 40x2 + 16 = 0

f) 3x4 + 4x2 + 1 = 0

3

1.3 Ecuaciones con radicales, parte 1 Resuelve la ecuación x – 3 = 5.

Para resolver una ecuación de esta forma, donde aparecen radicales, hay que aislar el radical para luego elevar a la potencia que corresponde al índice del radical. x–3=5 x = 5 – 3 aislamos el radical 2

x = 82

elevamos al cuadrado

x = 64 Al comprobar la solución, se tiene que  64 – 3 = 8 – 3 = 5. Luego, x = 64 satisface la ecuación original, por lo que x = 64 es la solución. Una ecuación irracional es aquella donde la incógnita o incógnitas aparecen bajo el signo radical. Una ecuación irracional puede convertirse a una ecuación donde no aparezcan radicales, aislando el término con radical y elevando a la potencia correspondiente al índice de éste. Al haber resuelto la ecuación irracional, hay que comprobar que los valores encontrados satisfacen la ecuación, sustituyéndolos en la ecuación original y comprobando la igualdad.

Ejemplo

Resolver 2 2x + 1 – 6 = 0. Al aislar el radical y elevar al cuadrado se obtiene 2 2x + 1 – 6 = 0 2 2x + 1 = 6 2x + 1 = 3 2x + 1 = 9 2x = 8

se aisla el radical se obtiene una ecuación lineal la cual hay que resolver

x=4 Al comprobar la solución se tiene: 2 2(4)+ 1 – 6 = 2 9 – 6 = 2(3) – 6 = 6 – 6 = 0. Por lo tanto, x = 4 es la solución de la ecuación.

roblemas Resolver las ecuaciones irracionales. a) x + 3 = 4 c) 5 – 3x + 1 = 0 e) 7 –  x + 2 = 3

4

b) x – 8 = 2 d) 5 + 3 x = 8 f) x + 3 = 5x – 1

Unidad 1

1.4 Ecuaciones con radicales, parte 2 Resuelve las siguientes ecuaciones a) 4x2 – 15 – 2x = – 1

b) x2 + 6x = x + 2x

a) De la misma forma que en la clase anterior, se aisla el radical y luego se eleva al cuadrado. 4x2 – 15 – 2x = – 1 4x2 – 15 = 2x – 1 2 4x2 – 15 = (2x – 1)2 4x2 – 15 = 4x2 – 4x + 1 4x2 – 15 = 4x2 – 4x + 1 4x = 16 x=4 Se comprueba que 4 sea solución de la ecuación sustituyendo en la ecuación original 4(4)2 – 15 – 2(4) = 64 – 15 – 8 = 49 – 8 = 7 – 8 = – 1 Por lo tanto, x = 4 es solución de la ecuación 4x2 – 15 – 2x = – 1. b) Esta ecuación tiene dos radicales, por lo que se procura que ambos queden en miembros distintos. x2 + 6x = x + 2x 2 2 x2 + 6x = x + 2x x2 + 6x = x2 + 2x 2x + 2x 2 x + 6x – 2x = x2 + 2x 2x 2 (4x)2 = 2x 2x 16x2 = 4x2(2x) 2 2 16x – 4x (2x) = 0 4x2(4 – 2x) = 0 De aquí se tiene que 4x2 = 0 � x = 0, o bien 4 – 2x = 0 � x = 2. Comprobando ambos valores en la ecuación original, ¿? x = 0: 02 + 6(0) = 0 + 2(0) � 0 = 0 ¿? x = 2: 22 + 6(2) = 2 + 2(2) ¿? � 4 + 12 = 2 + 4 ¿? � 16 = 2 + 2 � 4=4 Luego, x = 0 y x = 2 son las soluciones de la ecuación

x2 + 6x = x + 2x.

Un aspecto importante que se debe tener presente cuando se resuelven ecuaciones irracionales es que no todos los valores de la incógnita que se calculen pueden ser solución de la ecuación original. Por lo tanto, hay que comprobar sustituyendo los valores encontrados en la ecuación original.

roblemas Resolver las ecuaciones irracionales. a) x + 2 = x2 + 1 c) 3x – 11 + 3x = 12x – 23

b) x + 7 + x – 1 – 2 x + 2 = 0 d) 9x – 8 – 4x + 1 = x – 3

5

1.5 Ecuaciones con radicales, parte 3 Resolver x + 4x + 1 = 5. Se despeja el radical y se eleva al cuadrado x + 4x + 1 = 5 4x + 1 = 5 – x 2

4x + 1 = (5 – x)2 4x + 1 = 25 – 10x + x2 2 x – 14x + 24 = 0 (x – 2)(x – 12) = 0 Entonces, x – 2 = 0 o x – 12 = 0. Así, x = 2 o x = 12. Al comprobar las soluciones en la ecuación original se tiene: La razón por la cual las soluciones de la ecuación x = 2: 2 + 4(2) + 1 = 2 + 8 + 1 = 2 + 3 = 5 obtenida al elevar al cuadrado no necesariamente x = 12: 12 + 4(12) + 1 = 12 + 24 + 1 = 12 + 5 = 19 ≠ 5 son las soluciones de la ecuación original es porque si A2 = B2 no significa que A = B. Por ejemplo, 32 = (–3)2 pero 3 ≠ –3.

No hay una forma de determinar el número de soluciones de una ecuación irracional, por lo que cada valor encontrado al resolver la ecuación debe comprobarse sustituyéndolo en la ecuación original.

Ejemplo

Resolver 2x2 – 1 = x .

En esta ocasión hay dos radicales, por lo que se procura que ambos queden en miembros distintos de la ecuación. 2 2 2x2 – 1 = x 2x2 – 1 = x 2 2x – x – 1 = 0 Esta ecuación puede resolverse por factorización, y puede comprobarse que 2x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1) = 0 Entonces o bien x = 1 o bien x = – 1 . Lo primero que puede observarse es que x no puede ser – 1 ya que 2 2 el radical x no estáría definido. Comprobando para x = 1, se tiene 2(1)2 – 1 = 2 – 1 = 1 Por lo tanto, x = 1 es la solución de 2x2 – 1 = x .

roblemas Resolver cada ecuación irracional a) 3 2x – 1 = 3x c) 2 – 2x + 3 = 2x – 1 e) 3x + 10 = 5 – 3 x + 3

6

b) 2x – x – 1 = 3x – 7 d) x = 7 x + 2 – 12

Unidad 1

1.6 Mínimo común múltiplo de polinomios* Calcula el mínimo común múltiplo en cada caso. a) 4, 6, 15 b) 6x, 3x + 1, 6x + 2

c) 2m + 3, 2m – 3, 4m2 – 9

a) Para calcular el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 15, se descompone cada número en sus factores primos. 4 = 22,

6 = 2(3),

15 = 3(5)

Luego, el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 15 es 22(3)(5) = 4(3)(5) = 60. b) Para calcular el mínimo común múltiplo se hace de manera análoga que con números y se factoriza cada expresión. 6x = 2(3)x, 3x + 1 ya no puede factorizarse, 6x + 2= 2(3x + 1) Luego, el mínimo común múltiplo de 6x, 3x + 1 y 6x + 2 es 2(3)(x)(3x+1) = 6(3x2 + x) = 18x2 + 6x. c) De igual manera que en b, se factoriza cada expresión y el mínimo común múltiplo será el producto de cada factor común y no común que aparece en cada factorización, con la mayor potencia que aparezca entre las tres expresiones. 2m + 3 y 2m – 3 no pueden factorizarse y 4m2 – 9 = (2m – 3)(2m + 3), por diferencia de cuadrados. Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de 2m + 3, 2m – 3 y 4m2 – 9 es (2m – 3)(2m + 3) = 4m2 – 9.

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número que es común entre todos ellos, y se denota por mcm. Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números, se decompone en sus factores primos y se toma el producto de cada factor ya...