Esame 2017, domande+risposte PDF

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esercizi mat finanziaria...

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M ATEMATICA F INANZIARIA Gino Favero, Annamaria Olivieri

Esercizi su calcolo finanziario di base E.1 Si investono 5 000 euro per 4 anni a interessi semplici, tasso annuo d’interesse 3%.

(a) Calcolare il montante accumulato a 2 anni dall’inizio dell’operazione e a scadenza. (b) Calcolare l’interesse guadagnato in ciascun anno per unit` a di valore accumulato a inizio anno. E.2 Ripetere le valutazioni fatte ai punti (a) e (b) dell’esercizio E.1, supponendo ora che

l’investimento sia fatto a interessi composti. E.3 Disegnare su uno stesso sistema di assi cartesiani il fattore di montante a interessi

semplici e il fattore di montante a interessi composti definiti nei due esercizi precedenti. E.4 Si investono 8 000 euro per tre anni a interessi semplici. Il tassoe`variabile: nei primi

due anni il tasso annuo d’interessee`il 2%, nel terzo anno e` il 2.5%. (a) Calcolare il montante accumulato a scadenza. a di valore accumulato (b) Calcolare l’interesse guadagnato in ciascun anno per unit` a inizio anno. E.5 Ripetere le valutazioni fatte ai punti (a) e (b) dell’esercizio E.4, supponendo ora che

la funzione valore segua la legge degli interessi composti. E.6 Si investono 2 400 euro e si ha diritto a ricevere 2 500 euro dopo 12 mesi.

(a) Calcolare il rendimento annuo a scadenza, impiegando (alternativamente) una legge lineare e una legge esponenziale. (b) Disegnare su uno stesso sistema di assi cartesiani il fattore di montante lineare e il fattore di montante esponenziale definiti al punto precedente. E.7 Si investono 2 350 euro e si ha diritto a ricevere 2 500 euro dopo 18 mesi.

(a) Calcolare il rendimento annuo a scadenza, impiegando (alternativamente) una legge lineare e una legge esponenziale. (b) Disegnare su uno stesso sistema di assi cartesiani il fattore di montante lineare e il fattore di montante esponenziale definiti al punto precedente. E.8 All’epoca t0 = 0, l’importo S e` investito a interessi semplici, tasso annuo d’interesse

i = 0.10. Considerare come possibili durate dell’investimento le seguenti: 3 mesi, 6 mesi, 1 anno. Calcolare per ogni possibile durata:

(a) il fattore di montante f (t); (b) il fattore di sconto v (t); E.9 Ripetere le valutazioni fatte nell’esercizio E.8, supponendo ora che l’importo S sia

investito a interessi composti, tasso annuo d’interesse i = 0.10. E.10 Si cede per l’incasso immediato una cambiale di valore nominale 5 000 euro, con

scadenza tra 1 anno. Il prezzo ottenuto oggi ammonta a 4 800 euro. (a) Impiegare la legge dello sconto a interessi semplici e calcolare il tasso annuo d’interesse utilizzato per calcolare il prezzo. (b) Impiegare ora la legge dello sconto composto e calcolare il tasso annuo d’interesse utilizzato per calcolare il prezzo. (c) Impiegare la legge dello sconto commerciale e calcolare il tasso annuo di sconto utilizzato per calcolare il prezzo. (d) Rappresentare su uno stesso sistema di assi cartesiani le tre leggi di sconto. E.11 Si cede per l’incasso immediato una cambiale di valore nominale 5 000 euro, con

scadenza tra 6 mesi. Il prezzo ottenuto oggi ammonta a 4 900 euro. (a) Impiegare la legge dello sconto a interessi semplici e calcolare il tasso annuo d’interesse utilizzato per calcolare il prezzo. (b) Impiegare ora la legge dello sconto composto e calcolare il tasso annuo d’interesse utilizzato per calcolare il prezzo. Perch´ e il tasso d’interesse composto e` superiore al tasso d’interesse semplice calcolato al punto precedente? (c) Impiegare la legge dello sconto commerciale e calcolare il tasso annuo di sconto utilizzato per calcolare il prezzo. Perch´e non risulta d = 1+iCi ? (Con d: tasso C annuo di sconto; iC : tasso annuo d’interesse composto calcolato al punto precedente.) (d) Rappresentare su uno stesso sistema di assi cartesiani le tre leggi di sconto. E.12 In un conto corrente in cui e` adottata la clausola di capitalizzazione degli interessi

sono registrati i seguenti movimenti: – 1/2/2010: apertura del conto, con versamento di 1 000 euro; – 1/6/2010: versamento di 500 euro. Calcolare il saldo del conto corrente al 31/8/2010, sapendo che la capitalizzazione degli interessi avviene alla fine di ogni trimestre (dunque il 31/3/2010 e il 30/6/2010) e che il tasso annuo d’interesse e` l’1.5%. E.13 Ripetere, supponendo che la banca imputi al conto corrente le seguenti spese: aper-

tura del conto 5 euro; tenuta del conto e bolli 10 euro, alla fine di ogni trimestre. E.14 Fissato il tasso annuo nominale (convertibile k volte nell’anno) jk = 0.05

(a) porre k = 2 e calcolare il tasso semestrale i2 e il tasso annuo effettivo i ad esso equivalente; 2

(b) porre k = 4 e calcolare il tasso trimestrale i4 e il tasso annuo effettivo i ad esso equivalente; (c) porre k = 12 e calcolare il tasso mensile i12 e il tasso annuo effettivo i ad esso equivalente; (d) porre k = 360 e calcolare il tasso giornaliero i360 e il tasso annuo effettivo i ad esso equivalente; e k → ∞) e calcolare (e) ipotizzare la capitalizzazione istantanea degli interessi (cio` l’intensit` a istantanea d’interesse e il tasso annuo effettivo i ad essa equivalente. E.15 Si puo` acquistare uno ZCB di valore nominale 10 000 e prezzo corrente 9 700 euro.

(a) Calcolare il rendimento annuo a scadenza. (b) Ipotizzare un tasso annuo d’inflazione del 2%. Calcolare il rendimento annuo a scadenza su base reale. E.16 Si pu o ` acquistare uno ZCB in dollari di valore nominale 10 000 (dollari) e prezzo

corrente 9 800 dollari. (a) Calcolare il rendimento annuo a scadenza, in dollari. (b) Il tasso di cambio euro-dollaro all’inizio dell’operazionee` pari a 1.4868 (1 euro = 1.4868 dollari). Calcolare il rendimento annuo a scadenza in euro dell’investimento, ipotizzando che il tasso di cambio non si modifichi nel corso dell’anno. (c) Ripetere, ipotizzando che l’euro si rivaluti e a fine anno il tasso di cambio eurodollaro sia 1.47. E.17 Fissati: t1 = 2, t2 = 1, t1 + t2 = 3 e i = 0.05, verificare che la legge degli interessi

semplici non e` scindibile, mentre quella degli interessi compostie`scindibile. E.18 Uno ZCB di valore nominale 1 000 e scadenza a 2 anni ha prezzo corrente 942.60.

Un’operazione pronti contro termine ha valore a scadenza 1 000 euro, prezzo da corrispondere tra un anno 966.18, scadenza tra 2 anni. Uno ZCB con scadenza tra un anno e valore nominale 966.18 ha prezzo corrente 938.04. (a) Ipotizzando che il rischio di default sia assente, che siano ammesse le vendite allo scoperto e non si debbano sostenere oneri accessori, costruire un portafoglio di arbitraggio. (b) Supporre ora che per ogni transazione occorra sostenere spese pari a 2.50 euro. Conviene ancora sfruttare l’arbitraggio? E.19 Si consideri l’operazione di investimento: x/t = {−96, 4, 4, 4, 104 }/{0, 1, 2, 3, 4}. Fis-

sato i = 5% e impiegando la legge esponenziale, (a) calcolare il valore dell’investimento all’epoca 0 e all’epoca 2. (b) Scomporre il valore dell’investimento all’epoca 2 in montante dei reinvestimenti e prezzo dei disinvestimenti.

3

(c) Fissare ora i = 4%. Come cambia il montante dei reinvestimenti all’epoca 2? E il prezzo dei disinvestimenti alla stessa epoca? E il valore complessivo dell’investimento all’epoca 2? (d) E se il tasso fosse i = 6%, come cambierebbero il montante dei reinvestimenti, il prezzo dei disinvestimenti e il valore complessivo dell’investimento all’epoca 2? E.20 Si intende effettuare un investimento che garantisce flussi in entrata pari a 1 000 alla

fine di ogni anno per i prossimi 5 anni, rendimento annuo 3%. Calcolare il prezzo dell’investimento da corrispondere oggi. E.21 Si intende costituire un capitale di 100 000 euro in 5 anni, con versamenti mensili

posticipati, tutti dello stesso importo, al tasso annuo effettivo di interesse del 3%. Calcolare l’importo di ciascun versamento mensile. E.22 Un immobile fornisce un reddito annuo di 10 000 euro (a fine anno). Considerando

un tasso annuo del 4%, stimare il valore dell’immobile come valore attuale dei redditi futuri. E.23 Si stipula un mutuo per 100 000 euro, da restituire in 8 anni, con rate mensili postici-

pate costanti. Il tasso d’interesse e` fissato pari al 12% annuo nominale (convertibile mensilmente). Calcolare l’importo di ciascuna rata.

4

Svolgimento (Raccomandazione: consultate lo svolgimento suggerito solo dopo aver elaborato in modo autonomo una risposta ai vari problemi.) E.1

(a) Montante accumulato a t anni dall’inizio dell’operazione: W (t) = S (1 + it). Montante accumulato a 2 anni dall’inizio dell’operazione: W (2) = 5 000 (1 + 0.03 × 2) = 5 300. Montante accumulato a scadenza: W (4) = 5 000 (1 + 0.03 × 4) = 5 600. a di valore a inizio anno: (b) Interesse del primo anno per unit` W (1)−W (0) ×0.03 = 0.03. i1 = = 5 000 5 000 W ( 0) a di valore a inizio anno: Interesse del secondo anno per unit` W (2)−W (1) 5 000×0.03 = 0.02913. = 5 000×1.03 i2 = W ( 1) a di valore a inizio anno: Interesse del terzo anno per unit` W (3)−W (2) 5 000×0.03 = 5 000 (1+0.03×2) = 0.02830. i3 = W ( 2) a di valore a inizio anno: Interesse del quarto anno per unit` W (4)−W (3) 5 000×0.03 = 5 000 (1+0.03×3) = 0.02752. i4 = W ( 3) L’interesse annuo per unit` a di valore accumulato a inizio anno e` decrescente, visto che la legge finanziaria e` lineare (a tasso costante).

E.2

(a) Montante accumulato a t anni dall’inizio dell’operazione: W (t) = S (1 + i )t . Montante accumulato a 2 anni dall’inizio dell’operazione: W (2) = 5 000 × 1.032 = 5 304.50. Montante accumulato a scadenza: W (4) = 5 000 × 1.034 = 5 627.54. a di valore a inizio anno: (b) Interesse del primo anno per unit` W (1)−W (0) 5 000×0.03 = 5 000 = 0.03. i1 = W ( 0) a di valore a inizio anno: Interesse del secondo anno per unit` W (2)−W (1) 5 000×1.03×0.03 = 5 000×1.03 = 0.03. i2 = W ( 1) Interesse del terzo anno per unit` a di valore a inizio anno: W (3)−W (2) 5 000×1.032 ×0.03 = = 0.03. i3 = W ( 2) 5 000 1.032 a di valore a inizio anno: Interesse del quarto anno per unit` W (4)−W (3) 5 000×1.033 ×0.03 = 0.03. i4 = = 5 000 1.033 W ( 3) L’interesse annuo per unit` a di valore accumulato a inizio anno e` costante, visto che la legge finanziaria e` esponenziale (a tasso costante).

E.3 1.03t

f (t)

1 + 0.03t 1.03 1

1

5

t

NB: le due funzioni si intersecano, oltre che all’epoca 0, all’epoca 1. Le leggi f (t) = 1.03t e f (t) = 1 + 0.03 t sono equivalenti per t = 1. E.4

(a) Montante accumulato a scadenza: W (3) = 8 000 (1 + 0.02 × 2 + 0.025 ) = 8 520. ×0.02 (b) Interesse del primo anno per unit` a di valore a inizio anno: i1 = 8 000 = 0.02. 8 000 8 000×0.02 Interesse del secondo anno per unit` a di valore a inizio anno: i2 = 8 000×1.02 = 0.01961 (dunque: i2 < 2%, cioe` i2 < tasso d’interesse semplice applicato nel secondo anno). 8 000×0.025 = Interesse del primo anno per unit` a di valore a inizio anno: i3 = 8 000 (1+0.02×2) 0.02404 (dunque: i3 < 2.5%, cio` e i3 < tasso d’interesse semplice applicato nel terzo anno).

E.5

(a) Montante accumulato a scadenza: W (3) = 8 000 × 1.022 × 1.025 = 8 531.28. ×0.02 = 0.02. (b) Interesse del primo anno per unit` a di valore a inizio anno: i1 = 8 000 8 000 ×1.02×0.02 = Interesse del secondo anno per unit` a di valore a inizio anno: i2 = 8 000 8 000×1.02 0.02 (dunque: i2 = 2%, cio` e i2 = tasso d’interesse composto applicato nel secondo anno). ×1.022 ×0.025 Interesse del terzo anno per unit` a di valore a inizio anno: i3 = 8 000 = 8 000×1.022 0.025 (dunque: i3 = 2.5%, cio`e i3 = tasso d’interesse composto applicato nel terzo anno).

E.6

(a) Rendimento annuo a scadenza con legge lineare: tasso iS tale che 2 500 = 2 400 (1 + iS ). Si trova: iS = 0.04167. Rendimento annuo a scadenza con legge esponenziale: tasso iC tale che 2 500 = 2 400 (1 + iC ). Si trova: iC = 0.04167, cioe, ` banalmente, iC = iS . (b) 1.04167t

f (t)

1 + 0.04167t 1.04167 1

1

t

NB: esprimendo il tempo in anni, le due funzioni si intersecano, oltre che all’epoca 0, all’epoca 1. Le leggi f (t) = 1.04167t e f (t) = 1 + 0.04167t sono equivalenti per t = 1. E.7

(a) Rendimento annuo a scadenza con legge lineare: tasso iS tale che 2 500 = 2 350 (1 + iS 1.5 ) (NB: visto che occorre calcolare il rendimento annuo, il tempo deve essere espresso in anni). Si trova: iS = 0.04255. Rendimento annuo a scadenza con legge esponenziale: tasso iC tale che 2 500 = 2 350 (1 + iC )1.5 . Si trova: iC = 0.04211.

6

(b) 1.04211t 1 + 0.04255t

f (t) 1.06383

1

1.5

t

NB: esprimendo il tempo in anni, le due funzioni si intersecano, oltre che all’epoca 0, all’epoca 1.5. Le leggi f (t) = 1.04211 t e f (t) = 1 + 0.04255t sono equivalenti per t = 1.5. Si noti che siccome l’equivalenza si verifica ad un’epoca t > 1, risulta iC < iS . E.8 Siccome il tasso e` annuo, il tempo deve essere espresso in anni.

(a) Fattori di montante: f (0.25) = 1 + 0.10 × 0.25 = 1.025; f (0.5) = 1 + 0.10 × 0.5 = 1.05; f (1) = 1 + 0.10 = 1.10. (b) Fattori di sconto: v (0.25) = 1 1.10 = 0.90909.

1 1.025

= 0.97561; v (0.5) =

1 1.05

E.9 Siccome il tasso e` annuo, il tempo deve essere espresso in anni.

(a) Fattori di montante: f (0.25) = 1.100.25 = 1.02411; f (0.5) = 1.100.5 = 1.04881; f (1) = 1.10. (b) Fattori di sconto: v (0.25) = 1.10−0.25 = 0.97645; v (0.5) = 1.10−0.5 = 0.95346; v (1) = 1.10 −1 = 0.90909. E.10

(a) Equazione che definisce il prezzo: 4 800 = 5 000 1+1i ; S 000 − 1 = 0.04167. pertanto: iS = 45800 (b) Equazione che definisce il prezzo: 4 800 = 5 000 (1 + iC )−1 ; 000 − 1 = 0.04167. pertanto: iC = 45 800 (c) Equazione che definisce il prezzo: 4 800 = 5 000 (1 − d); 800 = 0.04. pertanto: d = 1 − 54000 (d) v ( t) 1

(1 + 0.04167t) −1 1.04167−t 1 − 0.04t

0.96

1

7

t

= 0.95238; v (1) =

NB: le tre funzioni si intersecano, oltre che all’epoca 0, all’epoca 1. Le leggi 1 , v (t) = 1.04167−t e v (t) = 1 − 0.04t sono equivalenti per t = 1. v (t) = 1+0.04167t iC Risulta: d = 1+i e iS = iC . C

E.11

(a) Equazione che definisce il prezzo: 4 900 = 5 000 1+iS1 0.5 ; 000 − 1) 1 = 0.04082. pertanto: iS = (45900 0.5 (b) Equazione che definisce il prezzo: 4 900 = 5 000 (1 + iC )−0.5 ; 900)−1/0.5 − 1 = 0.04123. Risulta i > i perch´ e la legge fipertanto: iC = (54 000 C S nanziaria a interessi semplici e quella a interessi composti sono equivalenti dopo 6 mesi. (c) Equazione che definisce il prezzo: 4 900 = 5 000 (1 − d 0.5); 900 1 pertanto: d = (1 − 54 000 ) 0.5 = 0.04. Risulta d 6= 1+iCi = 0.0396 perch´e la legge C finanziaria a interessi composti e quella dello sconto commerciale sono equivalenti dopo 6 mesi. (d) v ( t) 1 0.98

(1 + 0.04082t) −1 1.04123−t 1 − 0.04t 0.5

t

NB: le tre funzioni si intersecano, oltre che all’epoca 0, all’epoca 0.5. Le leggi v (t) = 1 −t e v (t ) = 1 − 0.04t sono equivalenti per t = 0.5. 1+0.04082t , v (t ) = 1.04123 E.12

date:

1 000 | | 1/1 1/2

epoche:

0

1 12

| 31/3 0.25

500 | | 1/6 30/6 5 12

0.5

| 31/8 8 12

anni

Saldo al 31/8/2009: W (8/12) = 1 000 (1 + 0.015 122 ) (1 + 0.015 123 ) (1 + 0.015 122 ) + 500 (1 + 0.015 121 ) (1 + 0.015 122 )

= 1 510.65

8

E.13

date:

(1 000 − 5) | | 1/1 1/2

epoche:

0

1 12

−10 | 31/3 0.25

500 −10 | | 1/6 30/6 5 12

| 31/8 8 12

0.5

anni

Saldo al 31/8/2009: 3 W (8/12) = 995 (1 + 0.015 122 ) (1 + 0.015 12 ) (1 + 0.015 122 ) − 10 (1 + 0.015 123 ) (1 + 0.015 122 ) + 500 (1 + 0.015 121 ) (1 + 0.015 122 ) − 10 (1 + 0.015 122 ) = 1 485.52

E.14

(a) Tasso semestrale: i2 = 0.05 2 = 0.025; tasso annuo effettivo equivalente: i = 1.0252 − 1 = 0.05062. (b) Tasso trimestrale: i4 = 0.05 4 = 0.0125; tasso annuo effettivo equivalente: i = 1.01254 − 1 = 0.05095. (c) Tasso mensile: i12 = 0.05 12 = 0.00417; tasso annuo effettivo equivalente: i = 1.0041712 − 1 = 0.05116. 0.05 = 0.00014; (d) Tasso giornaliero: i360 = 360 tasso annuo effettivo equivalente: i = 1.00014360 − 1 = 0.05127.

(e) Se k → ∞, jk rappresenta l’intensit` a istantanea d’interesse; tasso annuo effettivo equivalente: i = eδ − 1 = 0.05127. E.15

(a) Rendimento annuo a scadenza: i =

10 000 9 700 − 1

= 0.03093.

(b) Rendimento annuo a scadenza su base reale: i− f −0.02 i ∗ = 1+ f = 0.03093 = 0.01071. 1.02 E.16

(a) Rendimento annuo a scadenza, in dollari: i ∗ =

10 000 9 800 − 1

= 0.02041.

(b) Rendimento a scadenza in euro, a parit` a di tasso di cambio: i = i ∗ = 0.02041. (c) Rendimento a scadenza in euro, in presenza di rivalutazione dell’euro: i = 1.02041 1.4868 1.47 − 1 = 0.03207. E.17 La verifica puo` essere effettuata, ad esempio, in relazione al fattore di montante.

Interessi semplici: f (3) = 1 + 0.05 × 3 = 1.15; f (2) × f (1) = (1 + 0.05 × 2) × 1.05 = 1.155. Pertanto: f (3) 6= f (2) × f (1). Interessi composti: f (3) = 1.053 = 1.15763; f (2) × f (1) = 1.052 × 1.05 = 1.053 = f (3) = 1.15763. 9

E.18

(a) Lo ZCB a 1 anno + l’operazione pronti contro termine forniscono gli stessi flussi in entrata dello ZCB a 2 anni, ma ad un prezzo diverso. Conviene, in particolare, vendere allo scoperto lo ZCB a 2 anni (che ha il prezzo piu` alto). Portafoglio di arbitraggio operazione

flusso epoca 0 flusso epoca 1 flusso epoca 2

vendita allo scoperto ZCB a 2 anni acquisto operazione pronti c/ termine acquisto ZCB a 1 anno saldo

942.60 –938.04

–966.18 966.18

4.56

0

–1 000 1 000 0

(b) Il portafoglio di arbitraggio comporta tre transazioni; le spese totali ammontano dunque a 7.50. Le spese di transazione sono superiori al guadagno e quindi non conviene sfruttare l’arbitraggio. E.19

(a) Valore all’epoca 0: W (0 ) = −96 + 4 a3⌉0.05 + 104 × 1.05−4 = −96 + 4 a4⌉0.05 + 100 × 1.05−4 = 0.45. Valore all’epoca 2: W (2) = W (0) 1.052 = 0.50. (b) Montante dei reinvestimenti: M(2) = −96 × 1.052 + 4 s2⌉0.05 = −97.64; prezzo dei disinvestimenti: V (2) = 4 × 1.05−1 + 104 × 1.05−2 = 98.14. Risulta: M(2) + V (2) = 0.50 = W (2). (c) Montante dei reinvestimenti: M(2) = −96 × 1.042 + 4 s2⌉0.04 = −95.67; il montante diminuisce a fronte di una diminuzione di tasso. Prezzo dei disinvestimenti: V (2) = 4 × 1.04−1 + 104 × 1.04 −2 = 100; il prezzo dei disinvestimenti aumenta a fronte di una diminuzione di tasso. Valore complessivo dell’investimento: W (2) = −95.67 + 100 = 4.33; il valore complessivo aumenta. (d) Montante dei reinvestimenti: M(2) = −96 × 1.062 + 4 s2⌉0.06 = −99.63; il montante aumenta a fronte di un aumento di tasso. Prezzo dei disinvestimenti: V (2) = 4 × 1.06 −1 + 104 × 1.06−2 = 96.33; il prezzo dei disinvestimenti diminuisce a fronte di un aumento di tasso. Valore complessivo dell’investimento: W (2) = −99.63 + 96.33 = −3.29; il valore complessivo diminuisce. NB: confrontando i risultati ottenuti al punto (c) e al punto (d), emerge che su un orizzonte di 2 anni l’investimento e` esposto al rischio di variazione del tasso d’interesse.

E.20 Prezzo: W (0) = 1 000 a 5⌉0.03 = 4 579.71 E.21 Deve risultare: 100 000 = R s60 ⌉i12 , con i12 = 1.031/12 − 1 = 0.00247. Si trova: R =

1 548.44.

1 E.22 Valore: W (0) = 10 000 0.04 = 250 000.

E.23 Deve risultare: 100 000 = R a 96⌉i12 , con i12 = 0.12 12 = 0.01. Si trova: R = 1 625.28.

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MATEMATICA FINANZIARIA Appello: 4 settembre 2014 Modalità: C Nome e ...