Esercitazione 10 Fisica 2-Induzione elettromagnetica PDF

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Esercitazione di Fisica 2 sull'induzione elettromagnetica....

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Esercitazione n° 10 FISICA II INDUZIONE ELETTROMAGNETICA 1.Una sbarretta conduttrice rettilinea lunga l = 10 cm trasla sul piano xy con velocità v = 4 m/s parallela all’asse x. La sbarra, la cui normale forma un angolo di 30° con l’asse x, è immersa in un campo magnetico uniforme e costante B = 1 T che non ha componente lungo l’asse y e forma un angolo di 45° con l’asse x. Calcolare la tensione indotta ai capi della sbarra.

A causa della forza di Lorentz su tutti i punti della sbarra in moto

r agisce un campo elettromotore uniforme E

) vBz u y con B z = B senß.

Il componente En di tale campo non produce effetti, mentre il componente Et = E cosa fa migrare le cariche positive verso l’estremo A della barretta, compiendo un lavoro, sull’unità di carica, pari a: l

E= 0

r r E t dl

l

l

E cos dl 0

vB sen cos dl

vBl sen cos

0,24V

0

tale lavoro rappresenta la tensione esistente tra i punti A e B. 1

2. La stessa sbarretta dell’esercizio precedente ruota attorno a un estremo con velocità r r angolare costante ? = 100 rad/s e il campo B è parallelo e concorde con . Calcolare la tensione indotta ai capi della sbarra.

r Il generico punto P della sbarra ha velocità v

r E elettromotore indotto in P vale

r r v B

r r r

r

r B

r r e il campo diretto da O

verso A, di modulo E = ? rB, quindi non uniforme. l

rB dr

La tensione tra A e O vale: E = 0

1 2

Bl 2

0,5 V

Nota : Allo stesso risultato si giunge sostituendo alla barretta un disco conduttore ruotante.

2

3. La stessa sbarretta dell’esercizio precedente ruota su un piano contenente un filo rettilineo indefinito percorso da corrente i e situato a distanza a dal centro di rotazione della sbarra. Determinare l’espressione della f.e.m. indotta in funzione del tempo.

Nel punto S il campo B è uscente dalla pagina; la tensione sull’elemento infinitesimo dr vale: dE = v × B · dr ; essendo v - dr e v - B si ha: dE = v B dr con B e v = ? r, cosicché

dE =

0

2

i RS

i 2 a r cos t 0

i r dr ; 2 a r cos t 0

In definitiva l

d

E= 0

i a a l cos t l ln 2 cos t cos t a 0

N.B. Si integra per sostituzione y = a + r cos? t

r = (y – a) / cos ? t

dy = cos? t dr

a lcos t 0

E= a

2

i

1 a 1 dy 2 cos t y 3

dr = dy / cos? t

4. Una spira circolare ruota attorno a un suo diametro in un campo magnetico uniforme. Calcolare la corrente indotta nel caso in cui: (a) Il campo sia parallelo all’asse di rotazione (b) Il campo sia perpendicolare a tale asse.

CASO (a) Orientando dl nel verso dell’arco AB, si ha la f.e.m. indotta f AB : B

f AB

2

r r B E d l B r cos d l

A

A

2

BR sen cos d 0

In modo analogo si ricava f BC ottenendo f BC indotta totale è

r r E dl

CASO (b) Al generico tempo t il flusso magnetico concatenato con la spira vale F S (B) = B S cos? t, essendo a = ? t l’angolo tra la normale alla spira n e il campo B in quell’ istante ed S l’area della spira. La corrente indotta vale:

i

1d R dt

BR 2 2 , cosicché la f.e.m.

0 : nella spira non circola corrente.

ABCA

BS sen t R

4

BR 2 2

5. Una sbarretta di rame lunga l, di massa m e resistenza R, si muove con velocità costante v0 su una guida conduttrice piegata a U, priva di attrito e di resistenza trascurabile. A un certo istante la sbarra entra in un campo magnetico uniforme perpendicolare al piano del circuito, uscente da esso e di modulo B = 0,1 T, fermandosi dopo aver percorso 5 cm. Calcolare la velocità iniziale della sbarretta.

v0

·

v F

B

i

·

B

A un generico istante successivo all’ingresso della sbarretta nella regione del campo magnetico la sua velocità varrà v e la corrente indotta sarà data da:

i

r 1 d B R dt

R

1 B lv R

Sulla sbarretta agisce la forza frenante data dall’equazione di Laplace: F = i B l, il cui lavoro elementare vale

dL

r r F dx

iB ldx

B 2 l 2 vdx R

Applicando il Teorema delle forze vive (dT = dL) si ha:

B 2l2vdx R

mv dv

0

mdv d

m dv v0

B 2 l2dx e integrando R

B 2l 2 dx R 0

v0

B 2 l2 d Rm

ed essendo m = dV = d l S e R = ? l / S, si ottiene: Rm = d? l 2. In definitiva v0

B 2d

4

3,30 m / s 3

N.B. dCu = 0,9 · 10 kg/m

? Cu = 1,7 · 10 -8 O m

5

6. La stessa sbarretta dell’esercizio precedente si muove con velocità costante v0 in un campo magnetico variabile nel tempo con la legge B = B 0 cos ? t. Trovare la f.e.m. indotta.

Mediante la Legge di Faraday-Neumann-Lenz si trova la f.e.m. indotta:

d

S

r B

dt

d r r d d l x t B0 cos t Sn B SB dt dt dt = - l B0 v0 cos? t + l B0 x ? s e n ? t

Si noti che il primo addendo è dovuto al moto della sbarretta, il secondo addendo alla variabilità del campo magnetico B. 7. Una sbarretta conduttrice di massa m = 10 g e resistenza R = 10 O è posta su due guide metalliche di resistenza trascurabile , prive di attrito, distanti b = 5 cm e chiuse ai capi di un generatore di corrente costante i = 0,1 A . Il circuito è immerso in un campo magnetico uniforme e costante B = 0,4 T . Se la sbarretta a un certo istante è libera di muoversi, calcolare la potenza erogata dal generatore in funzione del tempo.

La sbarra risente di una forza costante poiché i è costante: F = ibB = ma a = ibB/m = costante MRUA. Tale forza F compie lavoro motore L = ibBx = ?T che si ritrova sotto forma di energia cinetica della sbarra. La potenza spesa sulla sbarra dal generatore varia al variare di t con la legge:

P (t )

r r F v Fv

ibB at

i2b2 B2 t m

N.B. Questa potenza è richiesta dal fatto che nel circuito compare la fem indotta E = Bbv che si oppone la passaggio di corrente. La potenza dissipata per effetto Joule vale P J = R i2 per cui

PTOT

Ri

2

6

i2 b2 B2 t m

8. Si consideri lo stesso circuito dell’esercizio precedente, sostituendo al generatore di corrente un generatore di tensione con f.e.m. = 1 V e resistenza interna nulla. Si studi il moto della sbarra e l’energia totale spesa dal generatore.

Per t = 0 vale la I legge di Ohm per cui i0 = V0 / R; per t = t la legge del circuito è i = ETOT / R = (V0 – E’) / R dove E’ = Bbv è la f.e.m. indotta ai capi della sbarretta. Dunque i

V0

Bbv R

(A)

iBb V 0 Bbv bB m dv R dt

La forza che agisce sulla sbarra vale F

dv per cui dt

V0

Bb Bbv vt m e integrando

Dalle (A) e (B) si ricava

it

V0 e R

V0 1 e Bb

B 2b 2 t mR

(B)

B2b2 t mR

Grafico della corrente

i

V0 / R

0 Teoricamente i = 0 per t

t 2

2

8 ; praticamente i = 0 per t ˜ 3 - 4t con t = Rm / B b 7

Grafico della velocità

v

v8 = V0 / bB

0

Teoricamente i = 0 per t

t

8 ; in pratica i = 0 per t ˜ 3 – 4t con t = Rm / B 2 b2

Tra l’altro per t 8 si ha v8 = V0 / bB e per questo valore della velocità si ha: E’ = V0 per cui ETOT = 0 e, quindi, i = 0; ma se i = 0 allora F = 0 e la sbarra si muove di moto uniforme. L’energia totale spesa dal generatore è somma di due termini: l’energia dissipata su R per effetto Joule e l’energia cinetica della sbarra, per cui 2

E

Ri dt 0

1 2 mv 2

1 mv 2 2

8

1 2 mv 2

mv 2

25 J

9. La spira rettangolare di figura avanza verticalmente verso l’alto con velocità v entro il campo uniforme B. Determinare la forza da applicare alla spira per mantenerla in moto uniforme. A un certo istante la spira è abbandonata a sé stessa e cade. Determinare la velocità limite raggiunta dalla spira.

r B

r v A’

B’

h

A

b

B

Avanzando verso l’alto, il lato A’B’ della spira taglia, in un tempo t, il flusso F = B · A’B’ · v · t, con induzione nella spira stessa una f.e.m.

f

d dt

B AB ' ' v e la circolazione della correntei

B A' B ' v. R

Il verso della corrente indotta è tale da produrre sul lato A’B’

F i

una forza FL che si oppone al movimento, cosicché la forza F FL

necessaria a garantire il moto uniforme della spira deve valere F = F L + P = i · B · A’B’ + mg P

Quando la spira è abbandonata a sé stessa, la corrente indotta vale sempre

i

B A' B' v , ma ora circolerà in verso opposto rispetto al caso precedente, in R

modo da produrre sul lato A’B’ una forza F ’L diretta verso l’alto, tendendo ancora una volta ad opporsi alla causa che la genera. Si avrà, dunque, P - F’ L = ma = mg - i · B · A’B’ da cui si ricava 2

a

g

B 2 A' B ' v ' e quando a Rm

0 la velocità v’ tende al valore limite

mgR

v LIM

2

B 2 A' B '

9

10. Un pendolo semplice è costituito da un filo metallico rigido di lunghezza l, di massa trascurabile in confronto a quella della sferetta appesa al suo estremo libero. Esso compie piccole oscillazioni di ampiezza 2a 0 in un piano perpendicolare a un campo magnetico uniforme B. Determinare l’espressione che dà la tensione elettrica esistente agli estremi del filo in funzione del tempo.

Sull’elemento di filo dx c’è la tensione dE = v × B · dx = v B dx

d x e per piccole dt g l. oscillazioni a = a 0 sen? t con

v

Nel pendolo v

x

Dunque v = a 0 ? x cos? t ; dE = a 0 ? x B cos? t · dx. La tensione agli estremi del filo è data da: l

E=

0

l2 2

xB cos t dx

0

0

B cos t .

Essa vale zero agli estremi della oscillazione (v = 0) ed è massima quando il pendolo passa per la verticale (v = vMAX); cambia segno ogni volta che il verso del moto si inverte. 11. Si sostituisca il filo dell’esercizio precedente con una sbarretta e si ricavi la tensione indotta agli estremi di essa.

L’equazione del moto di un pendolo composto è mgl sen 2 dove 2 3 g . 2 l I

mgl 2

. Dato che I

ml 3

2 2

0

Pertanto si ricava a = a 0 sen? t. L’area spazzata dalla sbarra nel tempo dt vale allora: dS = ½ l 2 da = ½ l 2 a 0 ? cos? t dt, per cui dF = B dS = ½ l 2 B a 0 ? cos?t dt. La tensione ai capi della sbarra vale in modulo: ¦ E¦ =

d dt

= ½ l2 B a 0 ? c o s ? t

uguale, dunque, a quella del filo del caso precedente, salvo che in esso 3g g l , mentre ora . 2 l 10

12. Si abbiano in un piano orizzontale due sbarre conduttrici di resistenza trascurabile parallele tra loro, distanti l , immerse in un campo magnetico uniforme e perpendicolare al piano contenente i due conduttori. Una sbarretta conduttrice di resistenza R può scorrere senza attrito su di esse ed è connessa mediante una carrucola a un corpo di massa m. Se al tempo t = 0 si connette il sistema con il generatore di tensione di f.e.m. = V0 si osserva che la sbarretta si mette in moto nel verso delle x crescenti. Determinare: (a) la corrente i che percorre il circuito; (b) modulo, direzione e verso della forza risultante agente sulla sbarretta; (c) la velocità di regime vr della sbarretta; (d) la corrente di regime ir che percorrerà il circuito; (e) la potenza Pg erogata in condizioni di regime dal generatore ; (f) la potenza elettrica Pe riversata nel circuito in condizioni di regime ; (g) la potenza meccanica spesa per muovere m, sempre in condizioni di regime ; (h) il rendimento meccanico ? del dispositivo se impiegato per sollevare masse; (i) il valore R0 della resistenza che dovrebbe avere la sbarretta per fermarsi a regime; discutere, poi, i casi 0 = R = R0 e R > R 0 .

V0

+

r B l

x

m

(a) E’ = - dF / dt = - B v l

i = (V0 + E’) / R = (V0 – B v l ) / R.

(b) FL = B i l = B l (V0 – B v l ) / R , per cui la risultante delle forze agenti sulla massa m vale R = FL – mg = ma ed è diretta nel verso delle x crescenti. 11

(c) v

0, cosicché dalla a = B l (V0 – B v l ) / Rm – g = 0 si

vr per a

ottiene (V0 – B vr l ) / Rm = g / B l e infine: v r

V0 Bl

g Rm . B 2l2

(d) ir = (V0 – B vr l ) / R = gm / B l . Pe = R ir 2

(e) (f) (g) Pg = V0 ir

A regime ?T = 0 (dato che vr = costante) ? U = mgx = mgvr ? t, per cui 2 Pm = ? U / ? t = mgvr e infine V0 ir = R ir + mgvr.

(h) ? = mgvr / V0 ir.

V0 Bl

(i) vr = 0

g R0 m Bl

R0

2 2

V0

Bl mg

V0 ir

i

i

V0

Bvl R

Bl v R

V0 R

i

mv q

V0/R V0 / B l

0 R=0

v = V0 / Bl = vr

R = R0

vr = 0

R > R0

a...