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Esercitazione 10 di fisica...

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FISICA SPERIMENTALE (INGEGNERIA DELLA PRODUZIONE INDUSTRIALE) a.a. 2020-2021 Esercitazione 10 – 20/04/2021 Argomenti: Calcolo del campo elettrico e del potenziale per via diretta e mediante il teorema di Gauss Link registrazione: ESERCIZI SVOLTI 10.1 Due cariche puntiformi q1 e q2 = - 2q1 sono poste a distanza d = 6 cm. Determinare tutti i punti dello spazio in cui è possibile collocare una carica di prova q3 in modo che rimanga in equilibrio. [7.24 cm a sinistra di q1]

10.1 Un filo rettilineo AB di lunghezza L e sezione trascurabile, disposto lungo l'asse x, è uniformemente carico con densità lineare di carica . Si calcoli il campo elettrostatico generato dal filo: -

[

󰇍 (𝐶) = 𝐸

In un punto C dell’asse x a distanza l dall’estremo B In tutti i punti appartenenti all’asse y del segmento AB Nei punti dell’asse y, nell’ipotesi che L tenda all’infinito

𝜆𝐿 󰇍󰇍𝑢 󰇍󰇍 ; 𝐸󰇍 (𝑦) = 4𝜋𝜖0 𝑙 (𝑙 + 𝐿) 𝑥

𝜆𝐿

𝐿2 4𝜋𝜖0 𝑦√𝑦2 + 4

󰇍󰇍󰇍𝑦 ⇒ 𝑢

𝜆 𝑢 󰇍󰇍 2𝜋𝜖0 𝑦 𝑦

]

10.2 Calcolare il campo elettrico nel centro di una semicirconferenza di raggio R=10 cm uniformemente carica con densità =1 nC/m [𝐸󰇍(𝐶) = − 2𝜋𝜖𝜆 𝑅 𝑢󰇍󰇍󰇍󰇍𝑦 = −181 𝑁𝐶 𝑢󰇍󰇍󰇍󰇍𝑦 ] 0

10.3 Un anello sottile circolare di raggio R è uniformemente carico con una carica positiva Q. Determinare il potenziale e il campo elettrico in tutti i punti dell’asse dell’anello. Utilizzare il risultato appena trovato per determinare il campo elettrico generato da un disco piano di raggio interno R sui punti del proprio asse, carico con densità superficiale uniforme  e discuterne il limite per R tendente all’infinito. 𝑄

󰇍 (𝑧) = ;𝐸

𝑄𝑧

󰇍󰇍󰇍 ; 3 𝑢𝑧 4𝜋𝜖0 + 4𝜋𝜖0 (𝑅2 + 𝑧 2 )2 1 𝜎 𝜎𝑧 1 󰇍 𝐷𝐼𝑆𝐶𝑂 (𝑧) = 𝑠𝑔𝑛(𝑧)󰇍󰇍󰇍𝑢󰇍󰇍𝑧 ] 𝐸 󰇍󰇍󰇍󰇍𝑧 ( − )𝑢 → 2𝜖0 2𝜖0 |𝑧| √𝑅2 + 𝑧 2

[𝑉(𝑧) =

√𝑅2

𝑧2

10.4 Due lastre piane quadrate di area A=100 cm2 sono poste ad una distanza 2D=0.2 mm. Le due lastre hanno massa m=100 g e carica Q=10 nC e –Q rispettivamente. Ad un certo istante t0 = 0 le lastre vengono lasciate libere di muoversi. Determinare : a) l’intensità della forza con cui le lastre si attraggono ;

b) dopo quanto tempo a partire dall’istante iniziale le lastre si toccano. Si assuma che la quantità di carica su ciascuna lastra rimanga invariata nel tempo. [a) F =

𝑄2

2𝜖0 𝐴

= 5.68 ⋅ 10−4 𝑁; b) Δ𝑡 = 2

√𝜖0 𝑚 𝐴 𝐷 𝑄

= 0.19 𝑠

10.5 Due piani infiniti paralleli posizionati a distanza 2d presentano densità di carica superficiali positive uniformi 2 e . Una carica positiva +q di massa m viene lanciata con velocità iniziale v0 lungo l’asse y. Si determinino: - il campo elettrico e il potenziale nella regione tra i due piani - l’equazione della traiettoria della carica q - il modulo della velocità della carica per x=d 𝜎

𝜎

[E = 2𝜖 𝑢𝑥 ; 𝑉 = − 2𝜖 𝑥; 𝑥 = 0

0

𝜎𝑞

4 𝜖0 𝑚 𝑣02

𝑞𝜎𝑑

𝑦 2 ; 𝑣𝑓 = √ 𝑚 𝜖 + 𝑣02 0

10.6 Si considerino due fili rettilinei paralleli di lunghezza infinita, uniformemente carichi con densità lineare di carica + = nC/m e – , posti a distanza 2d=10 cm l'uno dall'altro, come mostrato in figura. Si determini il campo elettrico generato dalla distribuzione di carica assegnata nel punto P posto su un piano perpendicolare ai due fili, alla stessa distanza r=8 cm dai due fili (vedi figura).

.

P

r r +

2d

–

󰇍 (𝑃) = 𝜆𝑑2 𝑢󰇍󰇍󰇍𝑥󰇍󰇍 = 565 𝑁 󰇍󰇍𝑢󰇍󰇍󰇍𝑥 ] [𝐸 𝜋𝜖 𝑟 𝐶 0

10.7 Una carica positiva Q è distribuita all’interno di una sfera di raggio R. La densità di carica di volume vale (r) = ar, dove r è la distanza dal centro della sfera (0 < r < R), e a è una costante positiva. Determinare: - il valore di a - l’espressione del campo elettrico in tutto lo spazio - l’espressione del potenziale elettrico in tutto lo spazio 𝑎=

𝑄 𝑄𝑟 2 𝑄 󰇍 (𝑟) = 𝑢󰇍󰇍󰇍 𝑝𝑒𝑟 𝑟 > 𝑅; 𝑢𝑟 𝑝𝑒𝑟 𝑟 < 𝑅; 𝐸 ; 𝐸󰇍 (𝑟) = 󰇍󰇍󰇍󰇍 4 4 4𝜋𝜖0 𝑟 2 𝑟 4𝜋𝑅 𝜖0 𝜋𝑅 𝑟3 𝑄 𝑄 (4 − 3 ) 𝑝𝑒𝑟 𝑟 < 𝑅, 𝑉(𝑟) = 𝑉(𝑟) = 𝑝𝑒𝑟 𝑟 ≥ 𝑅 12𝜋𝜖0 𝑅 𝑅 4𝜋𝜖0 𝑅

10.8 Si consideri una distribuzione di carica depositata, con densità uniforme , sulla superficie di un cilindro di lunghezza indefinita e raggio R0. Una particella di massa m e carica negativa q orbita attorno al cilindro lungo una traiettoria circolare esterna al cilindro, il cui centro è posto sull’asse del cilindro stesso. Sapendo che il raggio della traiettoria è R 1, si calcolino: - Il campo elettrico determinato dalla distribuzione di carica  in tutto lo spazio - La velocità con cui la particella orbita attorno al cilindro - Il potenziale a distanza R1, assumendo nullo il potenziale sulla superficie del cilindro

󰇍 (𝑟) = 𝜎𝑅0𝑢󰇍󰇍󰇍𝑟󰇍 , 𝑟 > 𝑅0 ; 𝑣 = √𝑞𝜎𝑅0 ; 𝑉(𝑅1 ) = 𝜎𝑅0 ln (𝑅0) ] [𝐸󰇍 (𝑟) = 0, 𝑟 < 𝑅0 ; 𝐸 𝜖 𝑟 𝑅 𝜖 𝑚𝜖 0

0

0

1

10.9Calcolare il campo elettrico E generato da un parallelepipedo di sezione indefinita e di spessore 2d, sul quale è distribuita uniformemente una carica positiva con densità volumetrica  Assumendo nullo il potenziale nel centro del sistema, calcolare il potenziale sulle facce terminali del parallelepipedo. 𝐸󰇍 (𝑥) =

−𝜌𝑑 𝜌𝑑 𝜌𝑥 𝜌 2 󰇍 (𝑥) = 𝑢 𝑑 󰇍󰇍𝑢󰇍󰇍󰇍 𝑝𝑒𝑟 𝑥 < −𝑑; 𝐸󰇍 (𝑥) = 󰇍󰇍󰇍 𝑝𝑒𝑟 𝑥 > 𝑑; 𝐸 󰇍󰇍𝑢󰇍󰇍󰇍 𝑝𝑒𝑟 |𝑥| < 𝑑; 𝑉(±𝑑) = − 𝜖0 𝑥 𝜖0 𝑥 𝜖0 𝑥 2𝜖0

10.10 Determina campo elettrico e potenziale di un cilindro infinito di raggio R in cui è distribuita uniformemente della carica con densità ρ.

10.11 In un determinato volume di spazio il campo elettrico sia dato dalla seguente espressione: E(x,y,z) = axy ux + bx uy + ayz uz essendo a e b delle costanti note. Determina la distribuzione di carica elettrica che lo genera. Si tratta di un campo conservativo? [ = 20ay; no]

10.12 Determinare il campo elettrico e il potenziale generati in tutto lo spazio da una carica distribuita uniformemente con densità  nel volume di una sfera di raggio R. 3

󰇍 (𝑟) = 𝜌𝑟 𝑢 󰇍 (𝑟) = 𝜌𝑅 2 𝑢󰇍󰇍󰇍󰇍𝑟 𝑝𝑒𝑟 𝑟 > 𝑅; 󰇍 󰇍𝑟 𝑝𝑒𝑟 𝑟 < 𝑅; 𝐸 [𝐸 3𝜖 3𝜖 𝑟 0

]

0

𝜌𝑅3 𝜌 (3𝑅2 − 𝑟2 ) 𝑝𝑒𝑟 𝑟 < 𝑅, 𝑉(𝑟) = 𝑉(𝑟) = 𝑝𝑒𝑟 𝑟 ≥ 𝑅 6𝜖0 3𝜖0 𝑟...