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VARIE PROVE D ESAME SVOLTE SULLA CONSOLIDAZIONE...

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ESERCIZI Compressibilità edometrica e consolidazione dei terreni Esercizio 1 Una fondazione rettangolare flessibile di dimensioni B x L trasmette una pressione verticale uniforme di intensità p alla profondità D dal piano campagna. Il terreno di fondazione è costituito, dall'alto verso il basso, da uno strato di sabbia fine di spessore H1, da uno strato di argilla di spessore H2, quindi da sabbia e ghiaia fino a grande profondità. La falda freatica è alla profondità Zw da piano campagna. Il terreno è saturo anche sopra falda. La sabbia ha un indice dei vuoti medio e1, e gravità specifica dei costituenti solidi Gs,1. L'argilla ha gravità specifica dei costituenti solidi Gs,2, indice di compressione Cc e indice di ricompressione Cr. Stimare il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei casi in cui: a) l'argilla sia normalmente consolidata (OCR = 1) ed abbia un contenuto in acqua medio wa. b) l'argilla sia debolmente sovraconsolidata (OCR = 1.5 ) c) l'argilla sia fortemente sovraconsolidata (OCR = 5) Dati: H1 = B= 10 m 10 m e = L= 20 m 0.76 1 Gs,1 = D= 4m 2.65 p= Zw = γw =

200 kPa 3m 3 9.8 kN/m

H2 =

2.5 m

Gs,2 = Cc =

2.7 0.300

Cr = wa =

0.040 43 %

Soluzione: Il peso di volume saturo della sabbia del primo strato è: γ1,sat = γ w (Gs,1 + e1) / (1 + e1) = 18.99 kN/m3 La tensione litostatica verticale efficace alla profondità D è: σ'v0,D = γ 1,sat Zw + (γ1,sat - γw) (D - Zw) = 66.15 kPa La tensione verticale netta trasmessa dalla fondazione alla profondità D è: ∆p = p - σ'v0,D = 133.85 kPa Nel caso a) di argilla N.C. l'indice dei vuoti medio dell'argilla è: ea = (wa / 100) Gs,2 = 1.161 ed il peso di volume saturo dell'argilla è: γ2a,sat = γ w (Gs,2 + ea) / (1 + ea) = 17.51 kN/m3 La profondità del punto medio dello strato di argilla dal piano campagna è: Za = H1 + H2 / 2 = 11.25 m La tensione litostatica verticale efficace alla profondità Za è: σ'v0,a = γ 1,sat Zw + (γ 1,sat - γw) (H1 - Zw) + (γ2a,sat - γ w) H2 / 2 = 130.91 kPa L'incremento di tensione verticale, alla profondità del punto medio dello strato di argilla in corrispondenza del centro dell'area caricata, prodotto dalla pressione trasmessa dalla fondazione, si ottiene, nell'ipotesi di semispazio elastico omogeneo e isotropo, con l'equazione: ∆σ'v,a = (2∆p/π) [arctan(ab/zR3) + (abz/R3) (1/R1 2 + 1/R22)] in cui:

a=B/2= b=L/2= z = Za - D =

5m 10 m 7.25 m

2

2 0,5

R1 = (a + z ) = 2 2 0,5 R2 = (b + z ) =

8.81 m 12.35 m

R3 = (a2 + b2 + z2 )0,5 =

13.33 m

∆σ'v,a = 85.78 kPa La riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla N.C. è: ∆ea = Cc log[(σ'v0,a + ∆σ'v,a) / σ'v0,a] = 0.066 Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei caso a) di terreno normalmente consolidato (OCR = 1) vale: ∆H2,a = H2 ∆ea / (1 + ea) = 7.60 cm Nel caso b) di argilla debolmente sovraconsolidata con OCR = 1.5 la pressione di consolidazione è: σ'c,b = OCR σ'v0,a = 196.37 kPa l'indice dei vuoti in corrispondenza della pressione di consolidazione è: ec,b = ea - Cc log(σ'c,b / σ'v0,a) = 1.108 e l'indice dei vuoti medio iniziale è: eb = ec,b + Cr log(σ'c,b / σ'v0,a) = 1.115 N.B. In realtà si è commesso un piccolo errore di approssimazione, poiché all'indice dei vuoti e b corrisponde un peso di volume saturo dell'argilla: 3 γ 2b,sat = γ w (G s,2 + e b ) / (1 + e b ) = 17.68 kN/m e quindi la tensione litostatica verticale efficace, alla profondità Z a è:

σ ' v0,b = γ 1,sat Z w + ( γ 1,sat - γ w ) (H 1 - Z w ) + ( γ 2b,sat - γ w ) H 2 / 2 = lievemente maggiore di σ ' v0,a = 130.91 kPa

131.12 kPa

La riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla debolmente sovraconsolidato OCR = 1.5 è ∆eb = (eb - ec,b) + Cc log[(σ'v0,b + ∆σ'v,a) / σ'c,b] = 0.020 Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei caso b) di terreno debolmente sovraconsolidato (OCR = 1,5) vale: ∆H2,b = H2 ∆eb / (1 + eb) = 2.35 cm Nel caso c) di argilla fortemente sovraconsolidata con OCR = 5 la pressione di consolidazione è: σ'c,c = OCR σ'v0,a = 654.56 kPa l'indice dei vuoti in corrispondenza della pressione di consolidazione è: ec,c = ea - Cc log(σ'c,c / σ'v0,a) = 0.951 e l'indice dei vuoti medio iniziale è: ec = ec,c + Cr log(σ'c,c / σ'v0,a) = 0.979 N.B. In questo caso l'errore di approssimazione è un po’ maggiore. Infatti all'indice dei vuoti e c corrisponde un peso di volume saturo dell'argilla: 3 γ 2c,sat = γ w (G s,2 + e c ) / (1 + e c ) = 18.22 kN/m e quindi la tensione litostatica verticale efficace, alla profondità Z a è: σ ' v0,c = γ 1,sat Z w + ( γ 1,sat - γ w ) (H 1 - Z w ) + ( γ2c,sat - γ w ) H 2 / 2 =

131.80 kPa

poco maggiore di σ ' v0,a = 130.91 kPa La riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla fortemente sovraconsolidato OCR = 5 è ∆ec = Cr log[(σ'v0,c + ∆σ'v,a) / σ'v0,c] = 0.009 Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei caso c) di terreno fortemente sovraconsolidato (OCR = 5) vale: ∆H2,c = H2 ∆ec / (1 + ec) = 1.11 cm grafico edometrico:

linea OCR = 1,5 linea OCR = 5

e

130.91 654.56 130.91 196.37 130.91 654.56

1.161 0.951 1.115 1.108 0.979 0.951

1.2

1.1

e

linea NC:

σ'v (kPa)

punti

σ'v (kPa)

e

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

130.91 216.69 216.69 130.91 196.37 216.69 216.69 216.69 216.69 130.91 216.69 216.69

1.161 1.161 1.115 1.115 1.108 1.108 1.115 1.095 0.979 0.979 0.979 0.971

1.0

0.9 100

1000

σ'v (kPa)

Esercizio 2 Con riferimento alle condizioni stratigrafiche e geotecniche nel seguito descritte stimare il cedimento di compressione edometrica, il cedimento per compressione secondaria al tempo t e il cedimento totale al tempo t dello strato di argilla. q Dati: q= 50 kPa zw = 2.5 m zw HS = 7m HA = γw =

HS Sabbia

HA

Argilla

Sabbia

t= Sabbia sopra falda sotto falda Argilla γsat =

5m 3 9.81 kN/m 10 anni

19.24 kN/m

e0 = wL =

0.9 50 %

σ'p =

125 kPa

C s = Cc / 6 t100 =

3.5 anni

Cα = Soluzione: a metà dello strato di argilla: σ'v0 = γ zw + ( γsat, sabbia - γw) (HS - zw) + ( γsat, arg. - γw) HA / 2 =

16.5 kN/m3 3 18.81 kN/m

γ= γsat = 3

0.0118

105.3 kPa

OCR = σ'p / σ'v0 = 1.19 si stima l'indice di compressione con la correlazione di Terzaghi e Peck (1967): Cc = 0,009 (wL - 10) = 0.36

C s = Cc / 6 = 0.06 cedimento di compressione edometrica: ∆Hed = HA /(1 + e0) (Cs log(σ'p / σ'c0) + Cc log [( σ'v0 + q) / σ'p]) = cedimento di compressione secondaria: ∆Hs = HA Cα log(t / t100) = 2.7 cm cedimento totale: ∆H = ∆Hed + ∆Hs = 12.8 cm

10.1 cm

Esercizio 3 Sono eseguite prove edometriche su due provini di argilla, A e B. L'indice dei vuoti dell'argilla A si riduce da 0.572 a 0.505 per un incremento di pressione da 120 kPa a 180 kPa. L'indice dei vuoti dell'argilla B si riduce da 0.612 a 0.597 per lo stesso incremento di pressione. Lo spessore del provino A è 1.5 volte quello del provino B. Ciononostante il tempo necessario per ottenere il 50% della consolidazione è 3 volte maggiore per il provino B che per il provino A. Quale è il rapporto fra i coefficienti di permeabilità dei provini A e B? Dati: A B e0 = 0.572 0.612 e1 = 0.505 0.597 σ'0 (kPa) = 120 120 σ'1 (kPa) =

180

HA =

1.5 HB

t50(A) = Soluzione: av = ∆e/∆σ' =

180

0.3333333 t50(B) 1.12E-03

mv = av/(1+e0) =

7.10E-04

M = 1/mv =

1408

2

2.50E-04 m /kN 2 1.55E-04 m /kN 6448 kPa

2

6.75 cv(B)

cv(A) = (t50(B)/t50(A)) (HA/HB) cv(B) = k = cv mv γw kA/kB = (cv(A)/cv(B)) (mv(A)/mv(B)) =

31

Esercizio 4 Durante la prova edometrica un campione di argilla satura ha subito una riduzione di altezza da 19.913 mm a 19.720 mm a causa di un incremento della pressione verticale da 150 kPa a 300 kPa. Determinare gli indici dei vuoti corrispondenti alle due pres3 H0 = 20 mm γs = sioni, essendo: 26.68 kN/m 3 γd = 13.58 kN/m Dati: H1 (mm) = H2 (mm) = H0 (mm) = Soluzione: e0 =

19.913 19.72

σ'v1 = σ'v2 =

150 kPa 300 kPa

3

γs = γd =

26.68 kN/m 3 13.58 kN/m

20 0.965

e1 =

0.956

e2 =

0.937

Esercizio 5 Un rilevato a sezione trapezia, di peso di volume γ(ril.) = 20 kN/m3, ha la seguente geometria: base maggiore 2a = 24 m base minore 2a' = 16 m altezza h= 2m ed è fondato su uno strato di argilla omogenea satura N.C. avente le seguenti caratteristiche:

H= γ= e0 = Cc =

14 m (a profondità maggiori il terreno è pressoché incompressibile) 19 kN/m3 0,8 - 0.01 z(m) 0.332 (valore medio di calcolo) 2 cv = 3.40E-07 m /s (valore medio di calcolo) la falda freatica è alla quota del p.c. Calcolare: 1) il cedimento edometrico in corrispondenza della mezzeria (suddividere in 10 sottostrati) 2) i tempi necessari affinché si realizzino il 20%, il 50% e il 70% del cedimento edometrico calcolato. Soluzione pressione trasmessa dal rilevato in superficie: p = γ(ril.) h = 40 kPa ∆z = H / 10 = spessore del sottostrato: 1.4 m σ'v = (γ - γ w) z pressione litostatica verticale efficace: ∆σ'v = 2p / [(a - a') π] [a arctan(a/z) - a' arctan(a'/z)] incremento di pressione verticale in asse: s-strato i

zi (m)

e0, i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.7 2.1 3.5 4.9 6.3 7.7 9.1 10.5 11.9 13.3

0.793 0.779 0.765 0.751 0.737 0.723 0.709 0.695 0.681 0.667

σ'v, i (kPa) ∆σ'v, i (kPa) ∆Hi (cm) 6.4 19.3 32.2 45.0 57.9 70.8 83.7 96.5 109.4 122.3

39.99 39.84 39.32 38.37 37.04 35.44 33.71 31.93 30.18 28.50 ∆H =

22.25 12.70 9.13 7.10 5.75 4.76 4.00 3.40 2.93 2.54 74.55

cm

Hdr = H/2 = altezza di drenaggio: 7m 2 t = Tv Hdr / cv tempo di consolidazione: Um (%) Tv t (sec) t (gg) t (anni) 20 0.0314 4.53E+06 52 0.143 50 0.196 2.82E+07 327 0.896 70 0.403 5.81E+07 672 1.842 Esercizio 6 Sono eseguite prove edometriche su due provini di argilla, A e B. a e1 = L'indice dei vuoti dell'argilla A si riduce da e0 = 0.572 per un incremento di pressione da σ'0 = σ'1 = a 120

0.505 180

a e1 = L'indice dei vuoti dell'argilla B si riduce da e0 = 0.612 0.597 per lo stesso incremento di pressione. Lo spessore del provino A è 1.5 volte quello del provino B. Ciononostante il tempo necessario per ottenere il 50% della consolidazione è maggiore per il provino B che per il provino A. Quale è il rapporto fra i coefficienti di permeabilità dei provini A e B? Soluzione: k = cv mv γw kA / kB = (cv mv)A / (cv mv)B cv = Tv H2 / t av = ∆e / ∆σ' mv = av / (1 + e0) ed essendo:

Tv (A) = Tv (B)

e

∆σ' (A) = ∆σ' (B)

risulta:

kPa.

3

volte

kA / kB = (cv mv)A / (cv mv)B = (HA/HB)2 (tB/tA) (∆eA/∆eB) (1+e0)B/(1+e0)A HA/HB = tB/tA =

1.5 3

∆eA = ∆eB =

0.067 0.015

(1+e0)A = (1+e0)B =

1.572 1.612

kA / kB =

30.9

Esercizio 7 In un sito avente le condizioni stratigrafiche e geotecniche indicate in figura è posto un riporto di grande estensione e di spessore costante. Calcolare e rappresentare in grafico il decorso dei cedimenti edometrici nel tempo del piano campagna originario. dati: profondità della falda da p.c. originario Riporto HR zw = 1.2 m 3 kN/m γw = 9.81 Sabbia sciolta H1 Strato di riporto HR = 3.2 m z Argilla limosa H2 kN/m 3 γR = 18 H3

Sabbia sciolta

Strato 1: sabbia sciolta H1 = 4.3 m 3 kN/m sopra falda γ1 = 17.8 3 kN/m sotto falda γ1 = 18.1

H4

Limo argilloso

DR =

Sabbia e ghiaia addensate

40

%

Cc/(1+e0) = 0.007 Strato 2: argilla limosa N.C. H2 = 4.5 m kN/m 3 γ2 = 19.5 w= wL =

36.5 40.4

% %

Strato 4: limo argilloso NC H4 = 6.2 m 3 kN/m γ4 = 19.2

wP =

25.2

%

Cc = e0 =

0.33 0.96

w=

25

%

cv =

wL = wP =

31.2 17.5

% %

Cc = e0 =

0.216 0.74

Strato 3: sabbia sciolta H3 = 3.8 m 3 kN/m γ3 = 18.5 DR =

2

2.50E-06 m /s

cv =

2

3.52E-07 m /s

Cc/(1+e0) =

60

%

0.005

Soluzione ∆H = H0 Cc/(1+e0) log[( σ'v0 + ∆σ'v)/σ'v0] Calcolo dei cedimenti di consolidazione La pressione verticale efficace iniziale σ'v0 è calcolata a metà di ciascuno strato: Strato σ'v0,1 = γ1 zw + γ'1 (H1/2 - zw) = 29.24 kPa 1 σ'v0,2 = σ'v0,1 + γ'1 H1/2 + γ'2 H2/2 = 2 68.86 kPa 3

σ'v0,3 = σ'v0,2 + γ'2 H2/2 + γ'3 H3/2 =

107.18

kPa

σ'v0,4 = σ'v0,3 + γ'3 H3/2 + γ'4 H4/2 = 4 152.80 kPa L'incremento di pressione verticale efficace è eguale per tutti gli strati e vale: ∆σ'v = γR HR = 57.6 kPa I cedimenti per consolidazione edometrica valgono dunque: ∆H (cm) σ'v0 H0 (cm) Cc/(1+e0) ∆σ'v Strato 1 2 3 4

430 450 380 620

0.007 0.168 0.005 0.124

57.6 57.6 57.6 57.6

29.24 1.42 68.86 20.00 107.18 0.35 152.80 10.69 Totale = 32.47 cm La consolidazione edometrica degli strati 1 e 3, incoerenti e molto permeabili, è immediata. Il decorso dei cedimenti nel tempo per gli strati 2 e 4 è calcolato nel modo seguente: per un assegnato valore del tempo t si calcola il fattore tempo Tv = t cv / H2 essendo H l'altezza di drenaggio, pari a metà dello spessore dello strato, quindi il grado di consolidazione medio Um = f(Tv) infine il cedimento occorso al tempo t, ∆H(t) = Um ∆H. Utilizzando come unità di misura del tempo il giorno: 1 giorno = 24 x 3600 = 86400 sec -1 2 2 cv/H2 = 6.01E-03 g strato 2: cv = 3.52E-07 m /s = 3.04E-02 m / giorno -1 2 2 cv/H2 = 2.25E-02 g strato 4: cv = 2.50E-06 m /s = 2.16E-01 m / giorno Per il calcolo del grado di consolidazione medio si utilizza l'equazione approssimata 0.5 2.8 0.179 Um = (4Tv/ π) / [1+(4Tv/π) ] di Sivaram e Swamee (1977): Strato 3 ∆H3 (cm) 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35

e quindi complessivamente: t (giorni) ∆H (cm) 0.1 -2.90 0.2 -3.37 0.5 -4.29 1 -5.34 2 -6.81 5 -9.73 10 -13.00 20 -17.41 50 -24.11 100 -28.68 200 -31.50

Strato 2 Um (%) 2.8 3.9 6.2 8.7 12.4 19.6 27.7 39.1 61.1 81.6 95.3

Tv 0.0006 0.0012 0.0030 0.0060 0.0120 0.0300 0.0601 0.1201 0.3004 0.6007 1.2015

0.1

1

∆H2 (cm)

Tv

Strato 4 Um (%)

∆H2 (cm)

0.55 0.78 1.24 1.75 2.47 3.91 5.53 7.82 12.22 16.32 19.06

0.0022 0.0045 0.0112 0.0225 0.0450 0.1124 0.2248 0.4495 1.1238 2.2477 4.4953

5.3 7.6 12.0 16.9 23.9 37.8 53.2 73.1 94.5 99.0 99.7

0.57 0.81 1.28 1.81 2.56 4.04 5.69 7.82 10.11 10.58 10.66

10

0 -10 ∆H (cm)

t (giorni) 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 100 200

Strato 1 ∆H1 (cm) 1.42 1.42 1.42 1.42 1.42 1.42 1.42 1.42 1.42 1.42 1.42

-20 -30

-40 t (giorni)

100

1000

0

50

100

150

200

0

∆H (cm)

-10

-20 -30 -40 t (giorni)

Esercizio 8 La platea di un fabbricato industriale di grande estensione trasmette una pressione uniforme sul terreno di fondazione, costituito da uno strato di argilla satura di spessore H, sovrastante uno strato rigido di sabbia e ghiaia di grande spessore. Lo strato di argilla, prima della costruzione del fabbricato, aveva mediamente peso di volume γ1 e contenuto naturale in acqua w1.

Al termine del processo di consolidazione i valori medi del peso di

volume e del contenuto naturale in acqua dello strato di argilla risultarono rispettivamente γ2 e w2. Stimare il cedimento finale della fondazione nell'ipotesi che le deformazioni trasversali siano trascurabili. Tracciare la curva dei cedimenti nel tempo nell'ipotesi di drenaggio da entrambi i lati. Dati: 3 3 γ1 = γ2 = 19.5 kN/m 19.9 kN/m w1 =

w2 = γw =

29.2 %

H= 2.5 m 2 cv = 5.0E-07 m /sec Soluzione: Ps = posto: 1 kN Pw1 = w1 Ps / 100 = 0.292 kN P1 = Ps + Pw1 = 1.292 kN 3 V1 = P1 / γ 1 = 0.0663 m ∆V = V1 - V2 = εv = (∆V/V1) 100 = εa = εv = ∆H = (εa/100) H1 = ∆H (t) / ∆H = U U (%) 20 40 60 80 90 95

e1 = 0.815699 Pw2 = w2 Ps / 100 = P2 = Ps + Pw2 =

3

Vw1 = Pw1 / γw =

Tv 0.0314 0.126 0.286 0.567 0.848 1.129

0.0298 m 3 0.0026 m 3.982 % 3.982 % 0.100 m = Tv = f(U) ∆H (t) [cm] t (gg) 1.99 3.98 5.97 7.96 8.96 9.46

26.6 % 3 9.81 kN/m

1.14 4.56 10.34 20.51 30.67 40.83

V2 = P2 / γ 2 =

0.266 kN 1.266 kN 3 0.0636 m

Vw2 = Pw2 / γw =

0.0271 m

ipotesi edometrica 10.0 cm t = Tv (H/2)2 / cv

3

cedimento finale

t (gg) 0

10

20

30

40

50

0

∆ H (cm)

2

4

6

8

10

Esercizio 9 Deve essere realizzato un rilevato autostradale di grande larghezza su un deposito di argilla molle. Si ipotizzi che lo strato di argilla sia drenato da entrambi i lati e che il carico sia applicato istantaneamente. Si trascuri la consolidazione secondaria. In esercizio, l'estradosso del rilevato (pavimentazione esclusa), dovrà essere alla quota H dal p.c. iniziale. La pavimentazione stradale può tollerare un assegnato cedimento massimo. Stimare: 1. dopo quanto tempo dall'applicazione del carico può essere messa in opera la pavimentazione, 2. Il cedimento atteso dopo un assegnato tempo t dall'applicazione del carico. Per la messa in opera del rilevato occorre un tempo tR. Si ipotizzi che il carico sia applicato per intero e istantaneamente al tempo tR / 2. Stimare: 3. dopo quanto tempo dall'inizio della costruzione del rilevato può essere messa in opera la pavimentazione, 4. dopo quanto tempo dall'inizio della costruzione si avrà il cedimento il cedimento calcolato al punto 2. Per mettere in opera la pavimentazione dopo un tempo tP dall'inizio della costruzione, minore del tempo calcolato al punto 3, si applica un sovraccarico addizionale elevando temporaneamente il rilevato. 5. Stimare l'incremento temporaneo di altezza del rilevato. Dati: quota dell'estradosso del rilevato dal p.c. iniziale: peso di volume del terreno del rilevato:

H= γR =

spessore dello strato di argilla molle:

HA =

coefficiente di compressibilità medio dell'argilla: coefficiente di consolidazione medio dell'argilla: cedimento massimo ammissibile per la posa in opera della pavimentazione: tempo al quale è richiesta la stima del cedimento: tempo di costruzione del rilevato: tempo dall'inizio costruzione per la messa in opera la pavimentazione: Soluzione: Sussistono le condizioni di carico edometrico.

mv = cv =

5m 3 21.6 kN/m 8m 2 0.5 m /MN 2 10 m /anno

S= t= tR =

50 mm 5 mesi 3 mesi

tP =

15 mesi
...