Esercizi vettori PDF

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Test di verifica sui vettori Rispondere alle seguenti domande 1. Definisci il modulo di un vettore. 2. Il modulo di un vettore pu`o essere negativo? 3. La componente di un vettore rispetto ad un dato asse pu`o essere negativa? 4. Definisci il versore. 5. Quali sono le componenti cartesiane del versore uˆz ? E quelle del versore uˆx ? 6. Dal prodotto scalare tra due vettori si ottiene come risultato un vettore o un numero? E dal prodotto di un numero per un vettore cosa si ottiene? 7. Il prodotto scalare tra due vettori pu`o essere negativo? ` possibile sommare uno scalare con un vettore? 8. E 9. La somma uˆz + uˆx e` un versore? 10. Il prodotto vettoriale definisce un numero o un vettore? 11. Il prodotto vettoriale `e commutativo? 12. Possiamo eseguire la divisione tra due vettori? Risolvere i seguenti esercizi 1 1. Tra i sei vettori: ~a1 = (1, 0, 0)

~a2 = (1, 1, 1)

~a3 = (1, −1, 1)

~a4 = (0, √12 , − √12 ) ~a5 = (√12 , 0, √12 ) ~a6 = (√13 , √13 , √13 ) stabilire quali sono versori, quali sono tra loro paralleli e quali ortogonali. 2. Dati i vettori ~a = (1, −1, 2) e ~b = (−2, 2, m), determinare il valore di m affinch`e: (a) siano paralleli, (b) siano perpendicolari, (c) se m = 0, calcolare la componente di ~a nella direzione di ~b e quella di ~b nella direzione di ~a. 3. Determinare il modulo e le componenti cartesiane, esprimendole nella notazione con i versori, del vettore ~c = 4 ~a − 5 ~b, con ~a = (2, 6, 1) e ~b = (−2, 3, −3). Calcolare l’angolo compreso tra ~a e ~b. 1 Gli esercizi proposti sono tratti da testi di fisica comunemente in uso tra gli studenti e da dispense di vari docenti.

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4. Dati i vettori: ~a = (0, −2, 4), ~b = (−1, 21 , 0) e ~c = (1, 3, −2), calcolare: (a) il vettore ~v = ~a × (~b + ~c), (b) il modulo del vettore ~v , (c) un versore uˆ perpendicolare a ~v . 5. Dati i vettori ~a = 3 uˆx + uˆz e ~b = bx uˆx + by uˆy , determinare le componenti cartesiane di ~b sapendo che ~a · ~b = 3 e che ~a × ~b = uˆy . −→ 6. I punti A = (9, 5, 3) e B = (−2, 7, 3) definiscono il vettore AB. Calcolare le componenti −→ cartesiane del versore uˆ opposto ad AB. 7. Stabilire se i vettori: ~a = (1, 0, −1), ~b = (−1, 1, 0) e ~c = (2, 0, −3), sono complanari. La condizione di complanarit`a `e espressa dalla relazione ~a · (~b × ~c) = 0. ~ = cos(ω t) uˆx + sin(ω t) uˆy , dove ω `e una costante, se ne determini la sua 8. Dato il vettore A ~ derivata rispetto a t, e si dimostri che `e perpendicolare ad A.

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