Esercizi Economia Industriale PDF

Preview

Summary

Esercizi di economia industriale ...

Description

1) Individua gli eventuali equilibri di Nash: Alto

Sinistra

Destra

(10, 12)

(15, 0)

Basso (20, 20)

(30, 19)

La coppia (20, 20) è anche un equilibrio di Nash in azioni dominanti, perché basso domina su alto per il giocatore riga e sinistra domina destra per il giocatore colonna. 2) Individua gli eventuali equilibri di Nash: Sinistra

Centro Destra

Alto

(7, 0)

(0, 1)

(4, 0)

Centrale

(9, 0)

(6, 2)

(5, 0)

Basso

(8, 0)

(5, 10)

(4, 3)

(6, 2) è l’unico equilibrio di Nash che è anche un equilibrio in azioni dominanti 3) Individua gli eventuali equilibri di Nash: Sinistra

Centro Destra

Alto

(1, 0)

(1, 2)

(0, 1)

Basso

(3, 3)

(0, 1)

(2, 0)

(1, 2) e (3, 3) sono equilibri di Nash ma, in questo caso, non in azioni dominanti. Alto è risposta ottima a Centrale e Centrale è una risposta ottima ad alto, stessa cosa vale per l’altro equilibrio di Nash individuato. 4) Individua l’equilibrio del mercato e i profitti del monopolista sia nel caso di assenza di discriminazione sia nel caso di applicazione di discriminazione di III grado. Il mercato è diviso in due gruppi: il primo (H) con più elevata disponibilità a pagare e il secondo (L) con minore disponibilità a pagare. I costi marginali per l’impresa sono costanti e pari a 2. 𝑄𝐻 = 18 − 3𝑃 𝑄𝐿 = 10 − 2𝑃 - Senza discriminazione 𝑄 = 𝑄𝐻 + 𝑄𝐿 = 18 − 3𝑃 + 10 − 2𝑃 = 28 − 5𝑃 28 1 28 2 𝑃= − 𝑄 → 𝑅𝑀𝑔 = − 𝑄 5 5 5 5 28 2 − 𝑄 𝐶𝑀𝑔 = 𝑅𝑀𝑔; 2 = 5 5 𝑄 = 9 𝑒 𝑃 = 3,8 𝜋 = (3,8 − 2) ∗ 9 = 𝟏𝟔, 𝟐 - Con discriminazione di III grado 18 1 𝐻 1 − 𝑄 𝑃𝐻 = 𝑃𝐿 = 5 − 𝑄𝐿 3 3 2 𝐿 18 2 𝑅𝑀𝑔 = 5 − 𝑄𝐿 𝑅𝑀𝑔𝐻 = − 𝑄𝐻 3 3 5 − 𝑄𝐿 = 2 18 2 𝐻 − 𝑄 =2 3 3 𝑄𝐿 = 3 𝑒 𝑃𝐿 = 3,5 𝐻 𝐻 𝑄 =6𝑒𝑃 =4 𝜋 𝐻 + 𝜋 𝐿 = (4 − 2)6 + (3,5 − 2)3 = 𝟏𝟔, 𝟓

5) Calcolare l’equilibrio, i profitti e l’indice di Lerner di un mercato caratterizzato da 14 imprese identiche che competono sulla quantità. Considerando la generica impresa i-esima i dati sono: 1 𝐶𝑇 = 200 + 50𝑞𝑖 ; 𝐶𝑀𝑔 = 50 𝑒 𝑝𝑖 = 290 − ∑ 𝑞𝑖 3 14

1

𝑖=1

14

All’equilibrio 𝑞𝑖 = 𝑞1 quindi:

1 𝑅𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑔; 290 14 − 3 ∑ 𝑞𝑖

1 𝑞𝑖 = (240 − 3 ∑ 𝑞𝑖 1

14 𝑖=1

−

𝑞 = 50 2 3 𝑖 14

1 ∑ 𝑞𝑖 3 2 𝑖=1 ) ∗ 2 = 360 − 𝑖=1

13 ∗ ∑ 𝑞1 = 360 − 2 𝑞1 → 𝑞 = 48 2 𝑖=1 1 𝑝 ∗ = 290 − (14 ∗ 48) = 66 3 𝜋𝑖 = (66 − 50) ∗ 48 − 200 = 568 𝑃 − 𝐶𝑀𝑔 66 − 50 = = 0.24 𝑃 66

𝑞1 = 360 −

6) Due imprese competono sulla quantità in un mercato con la seguente funzione di domanda: 𝑃 = 260 − 2𝑞1 − 2𝑞2. Il costo marginale è uguale per le imprese ed è pari a 20. Determinare l’equilibrio in una competizione alla Cournot; prezzo, quantità e profitti nel caso in cui le imprese colludessero; l’output dell’impresa 2 nell’ipotesi in cui l’altra impresa produca l’output collusivo. 𝑅𝑀𝑔1 = 𝐶𝑀𝑔1 → 260 − 4𝑞1 − 2𝑞2 = 20 240 1 𝑞1 = − 𝑞2 → 𝑅1 (𝑞2 ) 4 2 All’equilibrio 𝑞1 = 𝑞2 , sostituisco quest’informazione nella funzione di reazione dell’impresa 1 e derivo la 𝑞2 1 2 𝑞1 = 60 − 𝑞1 ; 𝑞1 = 𝑞2 = 60 ∗ = 40 3 2 𝑃 = 260 − 2 ∗ 40 − 2 ∗ 40 = 100 𝜋1 = 𝜋2 = (100 − 20) ∗ 40 = 3200

-

Equilibrio di Cournot:

-

In caso di collusione le imprese producono lo stesso livello di output del monopolista, massimizzando la somma dei loro profitti. Si procede dunque con il fissare un 𝑞1 e un 𝑞2 tali da massimizzare 𝜋1 (𝑞1 , 𝑞2 ) + 𝜋2 (𝑞1 , 𝑞2 ) (260 − 2𝑞1 − 2𝑞2 ) ∗ 𝑞1 − 20𝑞1 + (260 − 2𝑞1 − 2𝑞2 ) ∗ 𝑞2 − 20𝑞2 Per via della simmetria e dei costi marginali uguali per le due imprese 𝑄 = 𝑞1 = 𝑞2 dunque semplifico l’equazione Calcolo la derivata di (260 − 2𝑄) ∗ 𝑄 − 20𝑄 e l’azzero: 260 − 4𝑄 − 20 = 0 → 𝑄 = 60 𝑞1 = 𝑞2 = 30 𝑃 = 260 − 120 = 140 𝜋1 = 𝜋2 = (140 − 20) ∗ 30 = 3600

-

Se 𝑞2 = 30, dalla funzione di reazione ricavo 𝑞1 → 𝑅1 (𝑞2 ) = 60 − 15 = 45 Altro modo di calcolare: l’impresa 1 affronta (260 − 2𝑞1 − 60)𝑞1 – 20𝑞1 ; 200 − 4𝑞1 = 20; 𝑞1 = 180/4 = 45

7) Consideriamo un monopolista che opera in due mercati caratterizzati dalle seguenti funzioni di domanda: 𝑞1 𝑒 𝑃2 = 100 − 𝑞2 𝑃1 = 100 − 2 𝑞1 + 𝑞2 = 𝑄 𝑒 𝐶𝑇(𝑄) = 𝑄 2 -

-

𝜋(𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝜋1 (𝑝1 𝑞1 ) + 𝜋2 (𝑝2 𝑞2 ) − 𝐶𝑇 (𝑄) = (100 −

Derivare l’espressione delle funzioni di profitto del monopolista

𝑞1 ) 𝑞 + (100 − 𝑞2 )𝑞2 − (𝑞1 + 𝑞2 )2 2 1

Calcolare 𝑞1 e 𝑞2 d’equilibrio Essendo una discriminazione di III grado: 𝑅𝑀𝑔1 = 𝐶𝑀𝑔 = 𝑅𝑀 𝑔2 𝑅𝑀𝑔1 = 100 − 𝑞1 ; 𝑅𝑀𝑔2 = 100 − 2𝑞2 ; 𝐶𝑀𝑔 = 2(𝑞1 + 𝑞2 ) 100 − 2𝑞2 𝑞1 = 100 − 𝑞1 = 2(𝑞1 + 𝑞2 ) 𝑞1 = 25 → 𝑃1 = 87,5 3 { ;{ ;{ 2 100 − 2𝑞2 = 2(𝑞1 + 𝑞2 ) 𝑞2 = 12,5 → 𝑃2 = 100 − 12,5 = 87,5 100 − 2𝑞2 = 2𝑞2 + (100 − 2𝑞2 ) 3 2

-

Determinare i profitti del monopolista discriminante

𝜋 = (87,5 ∗ 25) + (87,5 ∗ 12,5) − (25 + 12.5)2 = 1875 Equilibrio in caso di utilizzo di impianti diversi per i due mercati, determina inoltre la natura dei rendimenti di scala associati alle funzioni di costo 𝐶𝑇1 = 𝑞12 𝑒 𝐶𝑇2 = 𝑞22 100 500 𝑅𝑀𝑔1 = 𝐶𝑀𝑔1 ; 100 − 𝑞1 = 2𝑞1 → 𝑞1 = 𝑒 𝑃1 = 6 𝑅𝑚𝑔2 = 𝐶𝑀𝑔2 ; 100 − 2𝑞2 = 2𝑞2 → 𝑞2 = 3 25 𝑒 𝑃2 = 75 1002 500 100 ∗ ) − 2 + (75 ∗ 25) − 252 = 2916 𝜋=( 6 3 3 𝑄2 2 𝐶𝑇 = 𝑄 𝐶𝑀𝑒 = = 𝑄 𝐶𝑀𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 𝑖 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖 𝑠𝑜𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖 𝑄 𝐶𝑀𝑒 1 𝑆= = < 1 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖 𝑑𝑖 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖 𝐶𝑀𝑔 2

8) Il proprietario di un locale notturno ha fra i suoi clienti sia studenti che adulti. La domanda di consumazioni di uno studente tipo è data da 𝑄 𝑆 = 18 − 3𝑃, mentre quella di un adulto tipo è 𝑄 𝐴 = 10 − 2𝑃. Vi è lo stesso numero di studenti e adulti. Il costo marginale di una consumazione è 2€. Vogliamo determinare i profitti del monopolista che applica il block pricing: su ciascun mercato bisogna uguagliare costi marginali e prezzo e fissare un prezzo dato dalla disponibilità a pagare complessiva dei due gruppi. 1 1 𝑃 = 6 − 𝑄𝑆 𝑒 𝑃 = 5 − 𝑄𝐴 2 3 1 𝑆 1 2 = 6 − 𝑄 𝑒 2 = 5 − 𝑄𝐴 2 3 𝑄 𝑆 = 12 𝑒 𝑄 𝐴 = 6

𝑊𝑇𝑃𝐴 =

4 ∗ 12 + 12 ∗ 2 = 48 2 𝜋=

4 ∗ 12 3 ∗ 6 + = 33 2 2

𝑊𝑇𝑃 𝑆 =

3∗ 6 + 2 ∗ 6 = 21 2

9) Consideriamo l’esercizio precedente con alcune variazioni: i consumatori con domanda bassa hanno una domanda inversa di 𝑃 = 12 − 𝑄𝐻 , mentre quelli con domanda elevata ne hanno una di 𝑃 = 16 − 𝑄 𝐿 e il costo marginale è uguale a 4. Supponete che ci siano 𝑁𝐻 clienti con domanda elevata e 𝑁𝐿 clienti con domanda bassa. Dimostrate che l’impresa servirà soltanto i consumatori con domanda bassa, ossia offrirà entrambi i pacchetti solamente se il numero di clienti con domanda bassa è almeno pari al numero di clienti con domanda elevata. In altre parole si deve avere: 𝑁𝐻 ≤1 𝑁𝐿 affinché i clienti con domanda basa siano serviti.

Supponete che il monopolista offra due tariffe di entrata e due prezzi diversi. Uno è rivolto ai consumatori a domanda bassa e l’altro è rivolto ai consumatori ad alta domanda. Denotiamo con (𝐹𝐿 , 𝑃𝐿 ) la combinazione tariffa 3

consumatori ad altaunitario domanda. d’entrata e prezzo pagata dai consumatori a bassa domanda e con (𝐹𝐻 , 𝑃𝐻 ) la combinazione pagata dai Bisogna ora verificare la condizione di compatibilità degli incentivi: sappiamo che

1 2 𝐹𝐿 = 2 (16 − 𝑃𝐿 ) Inoltre, il monopolista deve porre 𝑝𝐻 ad un livello tale per cui i clienti a domanda elevata non acquistano il menù tariffa + prezzo unitario offerto ai clienti a domanda bassa. Perciò, ne consegue che: 1 1 1 (16 − 𝑃𝐻 )2 − 𝐹𝐻 = (16 − 𝑃𝐿 )2 − (12 − 𝑃𝐿 )2 2 2 2 1 1 1 𝐹𝐻 = (16 − 𝑃𝐻 )2 − (16 − 𝑃𝐿 )2 + (12 − 𝑃𝐿 )2 2 2 2 1 𝜋 = 𝑁𝐻 [(𝑃𝐻 − 4)(16 − 𝑃𝐻 ) + 𝐹𝐻 ] + 𝑁𝐿 [(𝑃𝐿 − 4)(12 − 𝑃𝐿 ) + (12 − 𝑃𝐿 )2 ] 2

Perciò, i profitti del monopolista sono dati da:

Derivando π rispetto a 𝑃𝐿 e 𝑃𝐻 e uguagliando a zero otteniamo le seguenti espressioni: 𝑁𝐻 𝑃𝐻 = 4 𝑒 𝑃𝐿 = 4 (1 + ) 𝑁𝐿 Sostituendo i prezzi ottimale nella funzione di profitto, otteniamo il massimo profitto che il monopolista può ottenere servendo entrambi i gruppi. In particolare osserva che: 1 1 𝑁𝐻 𝑁𝐻 2 𝑁𝐻 𝑁𝐻 2 1 𝑁𝐻 2 𝜋1 = [72 − (12 − (8 − 4 ) + (8 − 4 ) ] 𝑁𝐿 ) + (8 − 4 ) ] 𝑁𝐻 + [4 𝑁𝐿 𝑁𝐿 𝑁𝐿 2 𝑁𝐿 2 2 𝑁𝐿 È anche vero che servendo solo i clienti a domanda elevata i suoi profitti saranno: 1 𝜋2 = 𝑁𝐻 (16 − 4)2 = 72𝑁𝐻 2 Perciò il monopolista servirà entrambi i gruppi se e solo se 𝜋1 ≥1 𝜋2 Si può verificare che: 𝑁𝐻 𝜋1 ≥ 1 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑒 ≤1 𝜋2 𝑁𝐿 Il monopolista abbassa (𝐹𝐻 , 𝑃𝐻 ) per rendere meno costoso il vincolo di compatibilità degli incentivi (Dupuit).

10) Due imprese A e B operano in una città lineare di lunghezza unitaria, lungo la quale il numero dei consumatori è 𝑁 che possono comprare un’unità o nessuna, sostenendo un costo di trasporto 𝑡. (𝟏) 𝑉 + 𝐾𝑆𝐴𝑒 − 𝑡𝑥 − 𝑃𝐴 𝑉: utilità di base 𝑡𝑥: costo trasporto 𝑃𝐴 : prezzo 𝐾: costante 𝑆𝐴𝑒 : quota di mercato attesa per l’impresa A che cattura la presenza di effetti di rete; nel modello di Hotelling questo termine è nullo. (𝟐) 𝑉 + 𝐾𝑆𝑒𝐵 − 𝑡(1 − 𝑥) − 𝑃𝐵

Dato che i beni sono omogenei, al netto dell’effetto di rete ovvero se le quote di mercato fossero uguali, il surplus lordo è uguale per i due beni. Ipotizziamo infine che il CMg delle due imprese sia uguale e pari a zero. Se K fosse uguale a zero, all’equilibrio sappiamo che 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 = 𝑡 e ovviamente 𝑆𝐴 = 𝑆𝐵 = 1/2 Ipotizziamo adesso che K sia maggiore di zero e che sia inferiore a t → 𝑡 > 𝐾 > 0 e determiniamo l’equilibrio di mercato, il prezzo, la quota di mercato e i profitti realizzati.

Per prima cosa determiniamo la posizione del consumatore indifferente 𝑥, attraverso la quale possiamo individuare quanti consumatori acquisteranno i due beni a seconda che si trovino a sinistra o a destra del consumatore indifferente. Per determinare la posizione bisogna uguagliare i surplus netti: (𝟏) = (𝟐) 4

𝑒 𝑉 + 𝐾𝑆𝐴𝑒 − 𝑡𝑥 − 𝑃𝐴 = 𝑉𝑒 + 𝐾𝑆𝐵 − 𝑡(1 − 𝑥) − 𝑃𝐵 2𝑡𝑥 = 𝐾 (𝑆𝐴𝑒 − 𝑆𝐵 ) + 𝑡 + (𝑃𝐵 − 𝑃𝐴 ) La posizione 𝑥 dipende dalle aspettative del consumatore su quelle che saranno le quote di mercato per le due imprese. Per risolvere dobbiamo ipotizzare che quando questo consumatore osserva una qualsiasi coppia generica di prezzi, è in grado di formarsi una aspettativa razionale su quelle che saranno le due quote di mercato. Egli sa che se la sua posizione è 𝑥 tutti i consumatori a sinistra compreranno A e tutti gli altri B; è in grado quindi di prevedere che: 𝑆𝐴𝑒 = 𝑥 𝑒 𝑆𝐵𝑒 = 1 − 𝑥

Sostituiamo dunque:

2𝑡𝑥 = 𝐾 (𝑥 – 1 + 𝑥) + 𝑡 + (𝑃𝐵 − 𝑃𝐴 ) 2𝑡𝑥 – 2𝐾𝑥 = 𝑡 − 𝐾 + (𝑃𝐵 − 𝑃𝐴 ) 𝑡 − 𝐾 + (𝑃𝐵 − 𝑃𝐴 ) 𝑥 = 2𝑡 − 2𝑘 1 (𝑃𝐵 − 𝑃𝐴 ) ( 𝟑) 𝑥 = + 2 2( 𝑡 − 𝑘 )

 ≡ 𝑁𝐴 Domanda per impresa A: 𝑥𝑁  ≡ 𝑁𝐵 Domanda per impresa B: (1 − 𝑥)𝑁

1 (𝑃 − 𝑃𝐴 ) 𝜋𝐴 = 𝑃𝐴 𝑥 𝑁 = 𝑁 𝑃𝐴 [ + 𝐵 ] 2 2(𝑡 − 𝑘) (𝑃 − 2𝑃𝐴 ) 𝑑𝜋𝐴 1 + 𝐵 =0 = 𝑁 𝑁 𝑑𝑃𝐴 2 2(𝑡 − 𝑘) )  (𝑡 − 𝑘) + (𝑃𝐵 − 2𝑃𝐴 )𝑁 (2𝑁 1 = 0 → 𝑃𝐴 = [(𝑡 − 𝑘) + 𝑃𝐵 )] 2(𝑡 − 𝑘) 2 𝑡 −𝑘 1 𝑃𝐴 = + 𝑃𝐵 ≡ 𝑅𝐴 (𝑃𝐵 ) 2 2

Deriviamo l’equilibrio partendo da 𝑃𝐴∗ = 𝑃𝐵∗

𝑡−𝑘 1 ∗ + 𝑃𝐵 2 2 𝑃𝐴∗ = 𝑃𝐵∗ = 𝑡 − 𝑘 (𝟒) 𝑃𝐴∗ =

La quota di mercato è suddivisa equamente tra le imprese e la posizione del consumatore indifferente è 1/2. Le imprese competono in maniera più forte in presenza di esternalità di rete perché c’è un margine inferiore: si ha incentivo a fissare prezzi più bassi, in questo caso ridurre i costi di trasporto. Sottrarre un consumatore non solo fa aumentare i ricavi, ma aumenta anche la disponibilità a pagare di tutti i consumatori che hanno già acquistato, per effetto dell’esternalità di rete. Questo maggiore incentivo a sottrarre consumatori ai rivali aumenta la pressione competitiva sui prezzi e il prezzo è inferiore alla situazione di assenza di esternalità di rete: 𝑃𝐴∗ = 𝑃𝐵∗ = 𝑡 − 𝑘 𝑖𝑛 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡à 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 = 𝑡 𝑖𝑛 𝑎𝑠𝑠𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡à

11) Tutti i 1000 cittadini di Tavullia abitano uniformemente distribuiti lungo via Centrale, lunga 10 chilometri. Ogni giorno ciascun cittadino acquista un frullato di frutta da uno dei due negozi posizionati alle due estremità di via Centrale. I clienti si spostano in scooter per andare e tornare dai negozi; gli scooter consumato €0,50 di benzina per chilometro. I clienti acquistano i frullati dal negozio che offre il prezzo più basso, dato dal prezzo del negozio più le spese di spostamento per l’andata e il ritorno dal negozio. Gino è il proprietario del negozio all’estremità occidentale, mentre Wilmer di quello all’estremità orientale.

a. Se sia Gino che Wilmer fanno pagare un frullato 1€, quanti ne venderanno ciascuno in una giornata? Se Gino fa pagare un frullato 1€, mentre Wilmer €1,40, quanti ne venderanno ciascuno in una giornata? b. Se Gino fa pagare un frullato €3, quale prezzo consentirebbe a Wilmer di vendere 250 frullati al giorno? E 500 frullati al giorno? E 750 frullati al giorno? E 1000 frullati al giorno? c. Se Gino fa pagare p1 mentre Wilmer fa pagare p2, quale è la posizione del consumatore per il quale è indifferente recarsi al negozio di Gino o a quello di Wilmer? Quanti clienti vanno da Wilmer e quanti da Gino? Quali sono le funzioni di domanda alle quali Gino e Wilmer fanno fronte? 5

d. Riscrivete la funzione di domanda di Gino con p1 sul lato sinistro. Quale è la funzione dei ricavi marginali di Gino? e. Ipotizzate che il costo marginale di un frullato sia costante e pari a €1 sia per Gino che per Wilmer. Inoltre, ciascuno di essi paga una tassa di €250 al giorno per poter vendere i frullati. Trovate i prezzi di equilibrio, le quantità vendute e i profitti. a. Se entrambi fanno pagare €1 ciascuno serve la stessa domanda pari a 500.

Se 𝑃𝐺 = 1 𝑒 𝑃𝑊 = 1,4 bisogna individuare la posizione del consumatore indifferente:

b. 𝑆𝑒 𝑃𝐺 = 3

𝑉 − 𝑃𝐺 − 𝑥𝑡 = 𝑉 − 𝑃𝑊 − (10 − 𝑥)𝑡 1 + 𝑥 = 1,4 + 10 − 𝑥 2𝑥 = 10,4 𝑥 = 5,2 𝐷𝐺 = 100 ∗ 5,2 = 520 𝑒 𝐷𝑊 = 480 [10 − 𝑃𝐺 + 𝑃𝑊 ] 𝑥 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 2

[10 − 𝑃𝐺 + 𝑃𝑊 ] 2 [10 − 𝑃𝐺 + 𝑃𝑊 ] [10 + 𝑃𝐺 − 𝑃𝑊 ] 1000 ∗ = 𝐷𝑊 = 10 − 2 2 10 10 + 3 − 𝑃𝑊 1000 𝐷𝑊 = ∗ → 𝐷𝑊 = 50(13 − 𝑃𝑊 ) = 250 𝑒 𝑃𝑊 = 8 2 10 Se volesse venderne 500 𝐷𝑊 = 50(13 − 𝑃𝐵 ) = 500 𝑒 𝑃𝑊 = 3 Se volesse venderne 750 o 1000, il valore di prezzo non esiste tale che la domanda di Wilmer sia maggiore di 650. 𝑥 =

c. Se Gino fa pagare pG mentre Wilmer fa pagare pW

d. Ricavi marginali:

𝑃𝐺 + 𝑥 = 𝑃𝑊 + (10 − 𝑥) → 2𝑥 − 10 = 𝑃𝑊 − 𝑃𝐺 → 𝑥 = 5 + 1000 𝐷𝐺 = 𝑥 = 500 + 50(𝑃𝑊 − 𝑃𝐺 ) 10 𝐷𝑊 = 1000 − 𝐷𝐺 = 500 − 50(𝑃𝑊 − 𝑃𝐺 )

𝑃𝑊 − 𝑃𝐺 2

𝐷𝐺 50 𝐷𝐺 𝑅𝑀𝑔𝐺 = 10 + 𝑃𝑊 − 25 𝑃𝐺 = 10 + 𝑃𝑊 −

e. Con CMg sia unitario e CF=250: 𝜋𝐺 = (𝑃𝐺 − 1)𝐷𝐺 = (𝑃𝐺 − 1)(500 + 50(𝑃𝑊 − 𝑃𝐺 )) 𝑑𝜋𝐺 = 500 + 50𝑃𝑊 − 100𝑃𝐺 − 50 = 0 𝐷𝑃𝐺 −𝑃𝐺 + 1 + 10 = 0 → 𝑃𝐺 = 𝑃𝑊 = 11 𝜋 = (11 − 1)500 − 250 = 4750

12) Tornate nella cittadina di Tavullia che hai suoi 1000 abitanti uniformemente distribuiti in via Centrale, lunga 10km. Ogni giorno ciascun cittadino acquista un frullato di frutta da uno dei due negozi posizionati alle due estremità di via Centrale. I clienti si spostano in scooter per andare a tornare dai negozi: gli scooter consumano €0,50 di benzina per km. I clienti acquistano i frullati dal negozio che offre il prezzo più basso, dato dal prezzo del negozio più le spese di spostamento per l’andata e il ritorno dal negozio. Gianni è il proprietario del negozio all’estremità occidentale, mentre Oscar di quello all’estremità orientale. Il costo marginale di un frullato sia costante e pari a €1 per entrambi i negozi. Inoltre, ciascuno di essi paga una tassa di €250 al giorno per poter vendere i frullati. a. Gianni fissa il suo prezzo p1 per primo e poi Oscar fissa il suo p2. Dopo che i prezzi sono stati pubblicati, i clienti prendono lo scooter e acquistano dal negozio con il prezzo più basso, comprensivo delle spese di spostamento. Quali prezzi stabiliranno i due negozi? b. Quanti clienti servirà ciascun negozio e quali saranno i loro profitti? 6

La differenza rispetto al modello standard di Stackelberg è individuare la domanda non esplicitata: bisogna

individuare 𝐷𝐺 e 𝐷𝑂 attraverso la posizione del consumatore indifferente. Sappiamo che la posizione del consumatore indifferente 𝑥 che sostiene un costo di trasporto pari a x è data da: 𝑝1 + 𝑥 = 𝑝2 + (10 − 𝑥) 1 𝑥 = 2 (𝑝2 − 𝑝1 + 10) 1000 1 𝐷2 (𝑝2 , 𝑝1 ) = [10 − 2 (𝑝2 − 𝑝1 + 10)] = 500 + 50(𝑝1 − 𝑝2 ) 10 𝐷1 = 500 + 50(𝑝2 − 𝑝1 ) Siamo in grado di scrivere le funzioni di profitto per le due imprese: 𝜋1 (𝑝1 , 𝑝2 ) = (𝑝1 − 1)[500 + 50(𝑝2 − 𝑝1 )] (𝟏) 𝜋2 (𝑝1 , 𝑝2 ) = (𝑝2 − 1)[500 + 50(𝑝1 − 𝑝2 )](𝟐)

𝑑𝜋2 (𝑝1 , 𝑝2 ) = (𝑝2 − 1)(−50) + 500 + 50(𝑝1 − 𝑝2 ) = 0 𝑑𝑝2 −50𝑝2 + 50 + 500 + 50𝑝1 − 50𝑝2 = 0

𝑝2 =

100𝑝2 = 550 + 50𝑝1

11 1 + 𝑝1 (𝟑)𝑓𝑢𝑛𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑟𝑒𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑙𝑙𝑜𝑤𝑒𝑟 𝑅2 (𝑝1 ) 2 2

1 𝜋1 (𝑝1 , 𝑅2 (𝑝1 )) = (𝑝1 − 1) [500 + 50 ( (11 + 𝑝1 ) − 𝑝1 )] = (𝑝1 − 1)[775 − 25𝑝1 ] 2 𝑑𝜋1 = (𝑝1 − 1)(−25) + 775 − 25𝑝1 = 0 𝑑𝑝1

Sostituiamo la (3) nella (1):

𝑝1 =

800 = 16 𝑝𝑟𝑒𝑧𝑧𝑜 𝑑𝑖 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎 1 (𝟒) 50

Se sostituiamo la (4) nella (3) vediamo che il prezzo di equilibrio sarà: 𝑝2 =

11 + 8 = 13,5 (𝟓) 2

𝐷1 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 500 + 50(13,5 − 16) = 375

𝐷2 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 500 + 50(16 − 13,5) = 625 𝜋1 = 375(16 − 1) − 250 = 5375

𝜋2 = 625(13,5 − 1) − 250 = 7562,5

Risulta un evidente svantaggio della prima mossa

13) Un’impresa ha due fornitori d’acqua. Uno di essi è Norda mentre l’altro è Pellegrino (prodotti differenziati). Il settore marketing di ciascuna impresa ha messo a punto la seguente matrice dei profitti sulla base di prezzi di un contenitore da 8 litri per ciascuna delle imprese. I profitti della Pellegrino sono indicati per primi in ciascuna coppia a. Qual è l’equilibrio di Nash se le due imprese stabiliscono i prezzi simultaneamente? b. Qual è l’equilibrio di Nash se la Norda deve stabilire i prezzi per prima, prestando fede all’impegno, e la Pellegrino è libera di rispondere al meglio al prezzo della Norda? c. Dimostrate che la scelta del prezzo per primi è uno svantaggio per la Norda

7

Prezzi della Pellegrino

Prezzi della Norda 3

4

5

6

3

24, 24

30, 25

36, 20

42, 12

4

25, 30

32, 32

41, 30

48, 24

5

20, 36

30, 41

40, 40

50, 36

6

12, 42

24, 48

36, 50

48, 48

Eliminiamo le azioni dominate: Per Pellegrino 6 è azione dominata da 5 Per Norda 6 è azione dominata da 5 Per Pellegrino 4 domina 3 Per Norda 4 domina 5 e 4 domina 3 Se Norda sceglie 4 Pellegrino sceglie 4 non 5 quindi 4,4 è equilibrio di Nash. Quale è l’equilibrio di Nash se Norda deve stabilire i prezzi per prima in maniera credibile vincolandosi ad esso. Se Norda sceglie 3, la risposta ottima di Pellegrino è 4 Se Norda sceglie 4, la risposta ottima di Pellegrino è 4 Se Norda sceglie 5, la risposta ottima di Pellegrino è 4 Se Norda sceglie 6, la risposta ottima di Pellegrino è 5

Prezzi della Pellegrino

Prezzi della Norda 3

4

5

6

3

24, 24

30, 25

36, 20

42, 12

4

25, 30

32, 32

41, 30

48, 24

5

20, 36

30, 41

40, 40

50, 36

6

12, 42

24, 48

36, 50

48, 48

In questa versione l’equilibrio di Nash è 50, 36 che massimizza i profitti. Norda realizza profitti minori del second mover: svantaggio della prima mossa. 14) Supponete che l’impresa 1 possa scegliere di produrre il bene A o il bene B o entrambi i beni o niente. L’impresa 2, invece, può produrre soltanto il bene C o niente. I profitti delle imprese corrispondenti a ciascuna situazione dei beni in vendita sono i seguenti: Scelta del prodotto
...