Esercizi - Meccanica applicata alle macchine - Meccanica delle vibrazioni - a.a. 2015/2016 PDF

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Esercizi - Meccanica applicata alle macchine - Meccanica delle vibrazioni - a.a. 2015/2016...

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Esercizio Il sistema torsionale illustrato in figura 1-a, è costituito da un disco avente momento di inerzia I=0,068 kgm 2, sospeso ad un alberino in ottone (G=40 GN/m2) avente diametro d=10 mm e lunghezza l=380 mm. Il disco, immerso in un fluido viscoso, per effetto di una eccitazione, oscilla liberamente secondo la legge riportata nel grafico di figura 1-b. Dopo aver scritto l’equazione del moto e l’espressione del moto libero, si determini: 1. il decremento logaritmico; 2. il coefficiente di smorzamento; 3. la frequenza naturale del sistema.

(a)

(b) Figura 1: Sistema torsionale smorzato

 e   rispettivamente la deformazione Indicando con ,  angolare dell’alberino, la velocità angolare e la relativa accelerazione, tutte positive nel senso orario, e detta k t la rigidezza torsionale dell’albero stesso, l’equazione del moto del sistema del moto del sistema è:

I     k t  0

(1)

L’integrale generale della (1), che esprime il moto libero di vibrare, risulta pari a:  ( t ) e t  C  cos  s t   0 

(2)

essendo: 

2

2I ; 

s 

kt    1     2n    I  2I   

2

(3)

Per il calcolo della la pulsazione naturale n è necessario calcolare la rigidezza torsionale kt che, per un albero a sezione cilindrica, detto I p il momento di inerzia polare della sua sezione, vale: 4 4  d  0,010 10 4  9,82 10  m 32 32 G I p 40 10 9 9,82 10  10  103 Nm kt  L 0,380

Ip 

(4)

La pulsazione naturale risulta, quindi, pari a: n 

kt 103   39 rad/s I 0,068

(5)

Per determinare il decremento logaritmico  si deve particolarizzare la (2) negli istanti ti e ti+Ts (figura 1-b) ottenendosi: 5 e  3 e

ti 

C  cos  s t i   0 

 t i  Ts 

C cos( s t i  Ts )  0 

Dividendo membro a membro tali relazioni si ha: 5 e Ts 3



che può essere scritta nella forma equivalente:

(6)

ln

5 Ts   3

(7)

dove il periodo Ts, stante la (3) vale: Ts 

2  s

2 1 2  n      

2

2



1 1520    

2

(8)

Sostituendo tale quantità nella (7), si ottiene: ln

5 1   3 

2  1 1520     

2

(9)

Elevando a quadrato primo e secondo membro, e sviluppando, si ottiene la seguente equazione: 397 2  0,397 0

(10)

 0,316 s

(11)

da cui si ottiene:

Il valore dello smorzamento è determina applicando la (3), e risulta pari a: 

2I 2 0,068 0,43 Nms  0,316 

(3)

La pulsazione naturale, invece, per la (5), vale: 1 39 fn   n  6,21 Hz 2 2

(5)...