Modulo 6 lezione 3 - meccanica applicata alle macchine PDF

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Meccanica Applicata Alle Macchine I Modulo 6 – Lezione 3 flessibili – applicazioni dinamiche Prof. Oliviero Giannini

Meccanica Applicata alle Macchine I -- Università Niccolò Cusano

sommario • • • • • •

Trasmissioni con cinghie trapezoidali Rendimento della trasmissione Rapporto di trasmissione Metodi di precarico Velocità limite Velocità di massimo effetto

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Trasmissioni con cinghie trapezoidali

• Nelle trasmissioni con cinghie, mentre la tensione massima nella cinghia vale T1 e quindi la cinghia scelta deve poter resistere a questa forza di trazione, solo una parte di questa tensione, per la precisione T1 - T2 = Cm/r1 = Cr/r2, è utile alla trasmissione di potenza: • la differenza, T2, e necessaria ad evitare lo slittamento globale. • Infatti, dalla: • si vede che il termine T2 - qv2 non può mai annullarsi, altrimenti anche T1 - qv2 sarebbe zero. • Tuttavia, all'aumentare del coefficiente di attrito f, T1 e T2 diminuiscono. Addirittura, per f che tende all'infinito, T2 - qv2 tende a zero. • Quindi in questo caso (che rispecchia ciò che accade nelle catene articolate e nelle cinghie dentate) la tensione nel ramo meno teso del flessibile e nulla. • È quindi evidente l'opportunità che il coefficiente di attrito assuma valori elevati. Un effetto di questo tipo può essere ottenuto utilizzando cinghie trapezoidali (o a V), in cui il contatto tra cinghia e puleggia si sviluppa sui fianchi della cinghia, come mostrato in figura

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Trasmissioni con cinghie trapezoidali • Se si indica con dFN la reazione elementare normale della puleggia su una delle due facce laterali della cinghia, la forza elementare di attrito su ciascuna delle due facce vale fdFN. • La risultante delle forze elementari di attrito vale quindi:

• La risultante delle reazioni normali elementari e diretta radialmente e vale:

• dove ψ e l'angolo di semiapertura della cinghia trapezoidale. Si ottiene quindi:

• in cui f ’ = f/ sin ψ e detto coefficiente di attrito apparente, ed è maggiore di f, essendo sin ψ minore di uno.

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Trasmissioni con cinghie trapezoidali • L'equilibrio dinamico di un tratto elementare di cinghia trapezoidale può essere ancora espresso dalle equazioni valide per cinghie piatte in cui pero compare dF’N al posto di dF N e f ’ al posto di f:

• Si ricava pertanto l'equazione differenziale:

• analoga al caso precedente. • Valgono quindi tutte le relazioni ricavate per cinghie piatte, a patto di sostituire ad f il coefficiente di attrito apparente f ’. • Per ψ= 17° è f ‘ = 3.5f. • Di conseguenza, a parità di altre condizioni, si ottengono tensioni più basse nei due rami di cinghia. • Le cinghie trapezoidali sono quindi preferibili alle cinghie piatte in quasi tutte le applicazioni: le uniche eccezioni riguardano trasmissioni con cinghie molto lunghe, necessarie quando l'interasse tra le pulegge è elevato, come può accadere in macchine tessili e agricole.

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Rendimento di una trasmissione a cinghia • Il rendimento verrà valutato trascurando le perdite dovute alla rigidezza anelastica della cinghia ed all'attrito nei perni delle pulegge. Si ha:

• Esprimendo Cm e Cr mediante le • si ottiene:

• cioè il rendimento e dato dal rapporto tra le velocità periferiche delle due pulegge. • In condizioni di funzionamento normale (assenza di slittamento globale), le velocità periferiche delle pulegge sono uguali a quelle dei rami di cinghia entranti, e quindi vp2 = v2 e vp1 = v1, da cui, ricordando anche la • si ottiene:

• Quindi il rendimento dipende dalle condizioni di funzionamento, e tende a diminuire al crescere del divario tra le tensioni T1 e T2, e cioè all'aumentare del carico.

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Rapporto di trasmissione con cinghie

• È il rapporto i tra la velocità all'ingresso della trasmissione (velocità del movente) e quella all'uscita (velocità del cedente) • Nel caso delle trasmissioni a cinghia si ha quindi, in assenza di slittamento globale:

• Risulta quindi che tale rapporto aumenta all'aumentare all aumentare del carico. carico • Il rapporto di trasmissione non è pertanto costante, ma dipende dalle condizioni di funzionamento, e solo in prima approssimazione può essere preso pari al rapporto dei raggi delle pulegge. • Questa circostanza fa sì che le trasmissioni con cinghie (sia piatte che trapezoidali) non possano essere impiegate quando occorre che il rapporto di trasmissione sia rigorosamente costante, come ad esempio per il comando della distribuzione di un motore a combustione interna, in cui e necessario mantenere nel tempo la fase tra l'albero motore e l'albero a camme. • In tali casi si può ricorrere alle catene oppure alle cinghie dentate che, avvolgendosi su pulegge scanalate, non presentano slittamenti.

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Disposizione di una trasmissione a cinghia • Nella disposizione dei vari elementi di una trasmissione a cinghia, esistono alcuni accorgimenti pratici che consentono di sfruttare vantaggiosamente l'azione del peso proprio della cinghia e di incrementare l'arco di contatto sulla puleggia più piccola. • Dalla relazione • si vede che T1 e T2 diminuiscono all'aumentare di θ*, ossia della porzione di arco di contatto su cui avvengono i microslittamenti. D'altra parte, è stato già osservato che θ* deve essere alquanto minore degli archi di contatto θ1 e θ2, come precauzione per evitare lo slittamento globale in presenza di piccole perturbazioni. • È quindi evidente la convenienza di rendere massimi gli angoli θ1 e θ2, ed in particolare il minore dei due. • Un U primo i accorgimento, i t adottato d tt t quando d gli li assii delle d ll due d pulegge l giacciono i i su un medesimo d i piano i orizzontale (trasmissioni a tiro orizzontale), consiste nel disporre in alto il ramo su cui agisce la tensione minore T2. • La freccia assunta da questo ramo di cinghia per effetto del peso proprio è infatti più elevata di quella esistente sul ramo sottoposto alla tensione maggiore T1 Ciò provoca un incremento degli archi di contatto sulle due pulegge, con effetti benefici.

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Disposizione di una trasmissione a cinghia • La disposizione inversa (ramo più teso in alto) provocherebbe invece una diminuzione degli archi di contatto, con effetti negativi. • Un altro accorgimento riguarda le trasmissioni in cui gli assi delle due pulegge sono disposti su un piano verticale, uno superiormente e l'altro inferiormente (trasmissioni a tiro verticale). In questo caso il peso proprio del flessibile tende a ridurre la tensione sulla puleggia inferiore e ad aumentarla sulla puleggia superiore, incrementando le azioni tangenziali che su questa possono svilupparsi. • Conviene C i quindi i di sistemare i iin alto l lla puleggia l i di di diametro minore, i a cui corrisponde un arco di contatto più piccolo.

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Disposizione di una trasmissione a cinghia • Molto importante e anche la scelta dell'interasse O1 O2, compatibilmente con l'ingombro previsto per la trasmissione. • Infatti, a parità di raggi r1 e r2, il valore dell'interasse influisce sugli archi di contatto θ 1 e θ 2. • In particolare, l'arco di contatto sulla puleggia di diametro inferiore può diventare molto minore di π al diminuire dell'interasse: si consiglia quindi che l'interasse sia per lo meno uguale al triplo del diametro della puleggia più grande. D'altra parte, non è neanche opportuno che l'interasse sia molto elevato, perche nelle cinghie molto lunghe possono manifestarsi fenomeni di instabilita dovuti all'innesco di vibrazioni trasversali, che possono provocare lo slittamento globale ed altri inconvenienti. • Per aumentare l'arco di contatto quando si hanno pulegge con raggi molto diversi e piccolo interasse, si ricorre spesso all'uso dei galoppini tendicinghia, di cui si discuterà più ampiamente in seguito

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Metodi per ottenere un precarico • Per il corretto funzionamento di una trasmissione a cinghia occorre garantire un precarico tra cinghia e pulegge: nascono così quelle reazioni normali di contatto che permettono lo svilupparsi di azioni di attrito tra cinghia e pulegge e quindi la trasmissione di potenza. • I principali metodi per precaricare le cinghie sono: 1. 2. 3. 4.

Galoppino tendicinghia Supporto oscillante Tenditore Forzamento iniziale

• Il forzamento iniziale e utilizzato di solito nel montaggio delle cinghie trapezoidali. • L'uso di tenditori è invece comune in apparecchi di sollevamento e di risalita (ascensori, montacarichi, seggiovie, etc.).

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Galoppino tendicinghia

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• Il galoppino e una puleggia folle, sostenuta da un braccio che può ruotare intorno all'asse di una delle pulegge (generalmente la più piccola), attorno alla quale viene rinviata la cinghia. • Oltre che al peso proprio, il galoppino e soggetto da un lato alle azioni scambiate con la cinghia e dall'altro all'azione prodotta da una molla o da un contrappeso agente su una leva solidale al braccio, come mostrato in figura • Di regola, il galoppino agisce sul ramo meno teso della cinghia. • Il galoppino garantisce una certa tensione, uguale nei due rami di cinghia, anche a pulegge ferme. Quando le pulegge ruotano trasmettendo potenza, la tensione nel ramo più teso aumenta, mentre quella nel ramo meno teso non varia

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Galoppino tendicinghia

• Supponendo di conoscere il peso PC del contrappeso, quello PG del galoppino e quello PL della leva (applicato nel baricentro GL), si considera l'equilibrio dei momenti attorno ad O1 per il sistema leva + galoppino

• dove dove, se si trascura l'attrito l attrito nel perno del galoppino, la tensione T2 e la stessa nei due tratti di cinghia ad esso contigui. • La precedente equazione consente di ricavare T 2:

• Il valore di T2 è regolabile agendo su PC o spostando il contrappeso lungo la leva al fine di variare il braccio c.

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Galoppino tendicinghia • Per un valore assegnato della coppia motrice Cm, T1 si può ricavare facendo sistema tra l'equazione precedente e la • di equilibrio alla rotazione della puleggia motrice:

• Se invece e assegnato ill valore l d della ll coppia resistente Cr, T1 si ricava dall'eq. • Di equilibrio alla rotazione della puleggia condotta. • Note T1 e T2, si può calcolare l'arco di slittamento elastico dall'eq.

• verificando che il valore ottenuto per θ* consenta di operare in condizioni di sicurezza rispetto allo slittamento globale.

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Galoppino tendicinghia

• Un vantaggio dell'uso del galoppino consiste nell'aumento dell'angolo di avvolgimento 1 rispetto al caso di sua assenza (vedi fig): ne conseguono benefici visti in precedenza, dovuti alla possibilità di incrementare l'angolo di slittamento rispetto al valore di π/2, adottato in assenza di galoppino. • In I particolare ti l sii ottiene tti una di diminuzione i i delle tensioni T1 e T2 a parità di coppia motrice, o, a parità di tensione T2, un incremento della coppia motrice trasmissibile al limite dello slittamento globale. • Uno svantaggio dell'uso di questo dispositivo deriva dal fatto che la cinghia deve invertire la propria curvatura nel passaggio attraverso il galoppino: essa e quindi soggetta a flessione alternata, cioè ad una sollecitazione di fatica.

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Supporto oscillante • In questo tipo di disposizione il supporto di una delle due pulegge e libero di ruotare attorno ad un asse parallelo all'asse della puleggia stessa ma spostato rispetto alla verticale per il baricentro del sistema supporto + puleggia. • Generalmente il supporto oscillante è quello della puleggia motrice, in modo da sfruttare ai fini del tensionamento il peso del motore, di solito calettato sullo stesso albero.

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Supporto oscillante

• Indicando con Q il peso di motore, puleggia e relativo supporto, si può scrivere l'equazione di equilibrio dei momenti attorno ad O, traccia dell'asse di rotazione del supporto:

• La coppia motrice Cm non compare in questa equazione perche interna al sistema. • Assegnato il valore della coppia motrice Cm, si possono determinare T1 e T2 facendo sistema tra l'equazione precedente e quella di equilibrio alla rotazione della sola puleggia attorno ad O1. •

Si ottiene:

• Sostituendo tali valori nella • si può calcolare l'angolo di slittamento elastico , verificando che questo non si discosti troppo dal valore di progetto di π/2. • Viceversa, con le relazioni a disposizione, si può determinare il valore di Q (o di a) necessario affinché, assegnata la coppia motrice, si ottenga un angolo di slittamento elastico θ*= π /2. • A risultati analoghi per T1, T2 e θ* si perviene se e assegnato il valore della coppia resistente Cr, anziché quello della coppia motrice.

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Tenditore

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• In questo caso una delle due pulegge può essere allontanata dall'altra puleggia mediante un opportuno contrappeso che genera una tensione iniziale nella cinghia (o fune). • Nell'esempio in figura l'asse della puleggia 1 può scorrere in direzione della congiungente i centri delle due pulegge: l'allontanamento e provocato dall'azione del contrappeso Q.

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Tenditore

• In presenza di tenditori, e possibile ricavare una relazione di equilibrio tra le tensioni nella cinghia e il valore del contrappeso. Nell'esempio indicato tale relazione si ricava imponendo l'equilibrio della puleggia 1 nella direzione di scorrimento del suo asse, e vale: • Se e noto il valore della coppia Cm, si possono nuovamente determinare T1 e T2 facendo sistema tra l'equazione precedente e quella di equilibrio alla rotazione della sola puleggia attorno ad O1, •

ottenendo:

• Utilizzando ancora l'equazione • nella quale si sostituiscono i valori di T1 e T2 ricavati nell‘equazione precedente, si può determinare l'angolo di slittamento , verificando che questo non si discosti troppo dal valore di θ* = π/2. • Viceversa, è ancora possibile determinare il valore di Q necessario affinché, assegnata la coppia motrice, si ottenga un angolo di slittamento θ*= π /2. • A risultati analoghi per T1, T2 e θ* si perviene se e assegnato il valore della coppia resistente Cr, anziché quello della coppia motrice.

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Forzamento iniziale

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• In questo tipo di disposizione, il supporto di una delle due pulegge e scorrevole (o girevole) e può essere bloccato nella posizione desiderata. • In fase di montaggio, gli assi delle due pulegge vengono dapprima avvicinati per poter avvolgere la cinghia; quindi gli assi vengono allontanati in modo da produrre nella cinghia un allungamento elastico, a cui corrisponde la tensione di forzamento (o di montaggio) T0.

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Forzamento iniziale • •

La relazione tra la tensione di montaggio T0 e quelle T1 e T2 agenti nei due rami liberi di cinghia durante il funzionamento si ricava analizzando l'allungamento dei vari tratti di cinghia. In fase di montaggio, la variazione di lunghezza della cinghia vale:

• •

avendo indicato con ltot la lunghezza totale della cinghia scarica. Sempre in condizioni di cinghia scarica, si indichi con l1 la lunghezza del tratto libero di cinghia su cui agirà la tensione T1, con l2 = l1 quella del tratto libero su cui agirà la tensione T2, con l3 quella del tratto avvolto sulla puleggia 1, e con l4 quella del tratto avvolto sulla puleggia 2. e ovviamente:

• •

Si calcolano ora le variazioni di lunghezza nei vari tratti di cinghia in condizioni di funzionamento. Nei due tratti liberi di cinghia si ottiene:

•

Nei due tratti di cinghia avvolti sulle pulegge la tensione non e costante.

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Forzamento iniziale • Considerando ad esempio il tratto l3, la variazione di lunghezza si esprime:

• in cui T è costante e pari a T1 lungo l'arco di aderenza θ1a e diminuisce esponenzialmente da T1 a T2 lungo l'arco di slittamento θ*. • Procedendo in questo modo, si potrebbe giungere ad un risultato di difficile interpretazione a causa della complessità delle espressioni matematiche. • Si considera pertanto l'ipotesi semplificativa che la tensione vari linearmente tra i valori l i T1 e T 2 lungo l i tratti t tti di cinghia i hi avvolti lti sulle ll pulegge. l Nel N l ttratto tt l3 sii ha h quindi: i di

• e sostituendo si ottiene:

• Ad un'espressione analoga si perviene considerando il tratto di cinghia l4

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Forzamento iniziale •

Poiché la variazione di lunghezza complessiva è la stessa a cinghia ferma e a cinghia in moto, deve essere:

•

e cioè:

•

da cui si ricava:

• •

che sostituisce le relazioni di equilibrio ottenute nei casi precedenti. Noto il valore della coppia Cm, si possono determinare T1 e T2 facendo sistema tra l'equazione l equazione precedente e quella di equilibrio alla rotazione della sola puleggia attorno ad O1

•

ottenendo:

•

Considerando ancora l'equazione,

•

nella quale si sostituiscono i valori di T1 e T2 ricavati nell‘equazione precedente, si può determinare l'angolo di slittamento , verificando che questo non si discosti troppo dal valore di θ*=π/2. Viceversa, è ancora possibile determinare il valore di T0 necessario affniche, assegnata la coppia motrice, si ottenga un angolo di slittamento θ*= π /2. A risultati analoghi per T1, T2 e θ* si perviene se e assegnato il valore della coppia resistente Cr, anziché quello della coppia motrice.

• •

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