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Problemas de Aplicación IIProblemas de Intervalo de confianza para la Media con Varianza Conocida y Desconocida Deseamos estimar el promedio de edad de cierta población. Tomamos una muestra de tamaño 100 en la cual se obtuvo una media muestral de 35. La variable considerada tiene distribución normal...

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Inferencia Estadística

2020

Problemas de Aplicación II Problemas de Intervalo de confianza para la Media con Varianza Conocida y Desconocida 1. Deseamos estimar el promedio de edad de cierta población. Tomamos una muestra de tamaño 100 en la cual se obtuvo una media muestral de 35. La variable considerada tiene distribución normal con una varianza igual a 3. Calcular el intervalo de confianza al 95 % e indicar la imprecisión. R [34.66; 35.34] 2. Una compañía de seguros emplea 300 agentes de ventas. En una m.a de 29 cuentas de gastos de representación en una semana de mes de julio; los auditores encontraron un gasto promedio de $500, con una desviación típica de $50. a) ¿Cuál es el valor de estimador puntual para la cantidad promedio de gastos? b) Establezca un I.C de 99% para la cantidad promedio de gastos R. [475.58; 524.42] 3. Los contenidos de una muestra de 5 latas de café instantáneo de un productor han dado los siguientes pesos netos en gramos: 280; 290; 285; 275; 284 a) Encuentre un I.C del 95% para la media de los contenedores de todas las latas de café del productor. b) ¿Con que grado de confianza se estima que el contenido promedio de café tenga los limites de confianza de 277,432 y 288,168? R. [275,81; 289,79] b) 90% c) Es posible considerar la media poblacional de los contenedores de las latas igual a 280.5 gr d) El estimador puntual para la media poblacional es Solución n=5 latas x  282.8 s  5.63 a) 1-α=0.95 α=0.05 t0  t

0.05 ;4 1 2

 t 0.975; 4  2.776

5.63 5.63   ; 282. 8  2.776  5 5     275.81 ; 289.79

   282.8  2.776 

b) 288. 168  282.8  t0  5. 63 t0  2.132  5

1

 2

 0.95    0.1  1    0. 9 ó 90 %

4. Una muestra aleatoria de 100 hogares de una ciudad indica que el promedio de los ingresos mensuales es de $500. Encuentre un I.C del 95% para la media poblacional de los ingresos de todos los hogares de esa ciudad. Suponga σ=$100 R. [480.4; 519.6] 5. Una maquina de empaquetar bolsa de café, esta regulada para embalar bolsas cuyos pesos se distribuye normalmente con media 500 gr. y desviación estándar de 10 gr. Supongamos que la maquina esta desregulado y deseamos saber el nuevo promedio µ. Una m.a de 25 paquetes arroja una media de 485 gr. Hallar el intervalo de confianza del 95% para µ. Que puedes observar comenta. R. [481.08; 488.92]. 6. Se quiere conocer la permanencia de pacientes en el hospital Loayza, con el fin de estudiar una posible ampliación del mismo. Se tiene datos referidos a la estancia expresados en días de 600 pacientes,  obteniéndose los siguientes resultados: x  12 .3 días y s  8 días. Hallar el I.C de 95% para la estancia media. R. [11.66; 12.94]. 7. Un fabricante produce focos cuya duración tiene una distribución normal. Si una m.a de 9 focos cuyas vidas útiles en horas son: 775, 780, 800, 795, 790, 785, 795, 780, 810. a) Estimar la duración media de todos los focos del fabricante mediante un I.C del 95%. R. 8 g.l . b) Si la media poblacional se estima en 790 horas con una confianza del 98% ¿Cuál es el error máximo de estimación si se quiere con un nivel de confianza del 98%? R. 10.79 1

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8. Para determinar el rendimiento anual de ciertos valores, un grupo de inversionistas tomo una m.a de 49 

tales valores encontrando una media de 8.71 y una desviación estándar s  2.1. Estimar el verdadero rendimiento anual promedio de tales valores mediante un I.C del 95%. R. [8.12; 9.30] 9. El ingreso mensual de cada una de las 500 microempresas de servicios de una ciudad, es una V.A con media µ desconocida. Con el fin de simplificar la recaudación de impuestos la Sunat ha dispuesto que ha esta empresas se las grave mensualmente con un 10% de sus ingresos. De una muestra al azar de 50 

microempresas se obtuvo un ingreso mensual promedio de $1000 y s  $80 . a) Estimar el monto medio de los ingresos de las microempresas de la ciudad con un I.C del 95%. b) Estimar el monto medio de la recaudación a esta microempresas con un I.C del 95%. R. [97.894; 102.106] c) Si el propósito de la Sunat es lograr mensualmente una recaudación total de $52000 a estas empresas. ¿Es factible que se cumplan sus metas?; ¿Por que? a) 1000±21.06 c) [48947; 51053] 10. Un auditor escoge una m.a de 15 cuentas por cobrar de un en total de 400 cuentas de una compañía y encuentra las siguientes cuentas en dólares: 730, 759, 725, 740, 754, 745, 750, 753, 730, 780, 725, 790, 719, 775, 700. Utilizando un intervalo de confianza del 95%, estime a) El monto promedio por cunetas por cobrar. b) El monto total de todas las cuentas por cobrar. R. 14 g.l; 11. Las cajas de cereal producidos en una fabrica, deben tener un contenido de 16 onzas. Un inspector toma una m.a que arroja los siguientes pesos en onzas: 15.7, 15.8, 16.3, 15.8, 16.1, 15.9, 16.2, 15.9, 15.8, 15.66. Indicar si es razonable que el inspector, usando un grado de confianza de 95%, ordene que multen al fabricante. 12. Para la campaña de navidad una fábrica debe manufacturar 2000 juguetes de cierto tipo. Si una m.a de 36 tiempos de fabricación en horas x1, x2, x3,…, x36, de tales juguetes ha dado X i  108 y X i 2  325,4





a) Estimar el tiempo medio por juguete con un I.C del 97%. c) Estimar el tiempo total que se requiere para fabricar los 2000 juguetes con un I.C del 97% 13. Una muestra de 35 alambres de acero escogidas al azar de una remesa muy grande muestra una resistencia media a la tracción de 1500 lb. y una desviación típica de 20 lb. a) Si se usa esta media de muestra para estimar la resistencia media a la tracción de toda la remesa, con un nivel de confianza de 95%, determinar el error de muestreo b) ¿Qué tamaño de muestra se requiere, si el error estimado en a) ha de ser reducido a la mitad sin cambiar el nivel de confianza?

Intervalo de confianza para la Diferencia de Medias con varianza Conocida y Desconocida 1. Un agente de compras de una compañía esta tratando de decidir si comprar la marca A o la marca B de cierto tipo de focos ahorradores de energía. Para estimar la diferencia entre las dos marcas se lleva acabo un experimento con dos muestras aleatorias independientes de 10 focos de cada marca resultando las medias de vida útil respectivas de 1230 horas, 1190 horas. Estimar la verdadera diferencia de las dos medias de vida útil, mediante un intervalo de confianza del 95% ¿Es acertada la decisión del agente si adquiere cualquiera de las dos marcas? Suponga que las dos poblaciones tienen distribución normal, con desviaciones estándares de 120 y 60 horas respectivamente. R [-43.16; 123.16] 2. Una m.a de tamaño 36 se selecciona de una población N (µ 1; 9) donde su media muestral es de 70. Otra m.a de tamaño 30 es seleccionada de otra población N (µ 2; 16) cuya media muestral es de 60. Determinar el I.C para µ 1; µ 2; con un 96% de nivel de confianza. 2

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3. El encargado de compras de una cadena de restaurantes tiene que escoger entre dos variedades de arroz A y B. Se selecciona dos muestras independientes de 10 bolsas de arroz de 1kg da cada tipo de arroz y se encuentra los siguientes porcentajes de gramos quebrados por kilo: A: 6, 5, 6, 7, 4, 7, 6, 4, 3, 6 y B: 7, 6, 7, 9, 5, 8, 7, 6, 10, 8 Estimar mediante un I.C del 95% la diferencia promedio de porcentajes de granos quebrados por kilo de arroz de las dos variedades. ¿Se puede aceptar que no hay diferencias significativas entre las medias poblacionales? Suponga que los porcentajes de granos quebrados por kilo en cada variedad se distribuyen normalmente con la misma varianza poblacional. 4. Para comparar dos métodos de enseñanza de las matemáticas, se aplicaron a 200 alumnos elegidos al azar el método tradicional y a otra muestra de 250 alumnos con el método nuevo resultando las calificaciones promedias respectivas de 13 y 15. Suponga que las varianzas poblacionales respectivas son 9 y 16. a) determinar el I.C del 95% para la diferencia de medias. b) ¿Podemos afirmar que el método nuevo es superior al antiguo? R. [1,35; 2,65] 5. Se quiere estimar la diferencia entre los promedios de tiempos (en min.) que utilizan los hombres y mujeres para realizar un test de aptitud. Se aplica el test a 20 hombres y 25 mujeres dando las medias respectivas de 110 y 100 puntos. Suponga que las dos poblaciones son normales con varianza iguales a 100 y 64 respectivamente. a) Determina el I.C del 97% para la diferencia de las medias. R. [4,03; 15,97]. b) ¿Es valida la afirmación que la diferencia de media es igual a 15,06?. 6. Se quiere estimar la diferencia entre los promedios de tiempos (en min.) que utilizan los operarios para realizar determinada tarea. Suponga que las poblaciones de los dos tiempos se distribuyen normalmente con varianza común. Estime la diferencia entre los dos promedios poblaciones mediante un I.C del 95% si el registro de 16 tiempos de cada operario ha dado: x  38; s x  6; y  35; s y  4. R. [-0.68; 6.68].

7. El encargado de compras de una cadena de restaurantes tiene que escoger entre dos variedades de arroz A y B. Se selecciona dos muestras independientes de 10 bolsas de arroz de 1kg da cada tipo de arroz y se encuentra los siguientes porcentajes de gramos quebrados por kilo: A: 6, 5, 6, 7, 4, 7, 6, 4, 3, 6 y B: 7, 6, 7, 9, 5, 8, 7, 6, 10, 8 Estimar mediante un I.C del 95% la diferencia promedio de porcentajes de granos quebrados por kilo de arroz de las dos variedades. ¿Se puede aceptar que no hay diferencias significativas entre las medias poblacionales? Suponga que los porcentajes de granos quebrados por kilo en cada variedad se distribuyen normalmente con la misma varianza poblacional. 8. Para comparar los gastos promedios mensuales de los alumnos de 2 universidades particulares se escogen dos m.a de 10 y 9 alumnos respectivamente resultando los siguientes gastos en dólares: Muestra I: 400, 410, 420, 380, 390, 410, 400, 405, 405,400. Muestra II: 390, 395, 380, 390, 400, 380,370, 390, 380. Mediante un I.C del 95% para la diferencia de promedios de los gastos mensuales, ¿se puede inferir que los gastos promedios son iguales? Suponga que ambas poblaciones son normales independientes con varianzas desconocidas e iguales. R. [6,45; 25,33] no. 9. Una compañía esta tratando de decidir cual de los tipos de neumáticos va a comprar. Es deseo del directorio de la compañía comprar los neumáticos de marca G a menos que haya alguna evidencia de que la marca F resulte mejor. Se hace un experimento en el que se utilizan 12 neumáticos de cada marca. Cuyos resultados son: Marca F x1  40000 km; s1  5000 km Marca G x2  39000 km; s2  3000 km a) ¿Bajo que supuestos se puede resolver el problema con I.C 95%? b) ¿Qué marca de neumático decidiría comprar la compañía? R. [-2491.06; 4491.06]

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Problemas de Aplicación III Tamaño de Muestra para la estimación de la media 1. Un grupo de 50 animales experimentales reciben una cierta clase de raciones por un periodo de 2 semanas. Sus aumentos de peso arrojan los valores media y desviación estándar muestral 420 gr. y 60 gr. respectivamente. ¿Qué tamaño de muestra debe tomarse, si de desea que la media difiera de µ por menos de 10 gr. con 0.95 de probabilidad? R n=138 2. El gerente de Electrolima quería estimar la facturación mensual promedio de luz eléctrica en el mes de julio en casas unifamiliares en el distrito de Lince. Con base a estudios efectuados en otros distritos se supone que la desviación estándar es de $20. El gerente quería estimar la facturación promedio de julio con aproximación de $5 del promedio real con 99% de confianza ¿Qué tamaño de muestra se necesita? R n=106.

3. La asociación de ahorro y préstamo “La Tacaña” desea determinar la cantidad promedio que tiene sus clientes en sus cuentas de ahorro. La desviación típica de todas las cuentas de ahorro es estimada por el gerente en s/. 4000. a) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para afirmar con confianza 0,95 que el error en estimación no exceda en s/. 200. n=1537 b) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para afirmar con confianza 0,95 que el error en estimación no exceda en s/. 400. n=384 4. Un investigador desea hacer una encuesta en un gran sector del área metropolita para determinar el ingreso familiar promedio de los 30000 hogares de ese sector. El investigador desea que el valor del estimador de la media de la muestra a s/. 3000 de la media verdadera con un grado de confiabilidad del 99%. Se va utilizar una desviación estándar 1000 de la población ¿Qué tamaño debe tener la muestra que necesita? 5. Una tienda de departamentos desea estimar, con un nivel de confianza de 0,98 y un error máximo de 0,98 y un error máximo de 0,5 el verdadero valor medio en dólares de las compras a crédito por mes realizadas por sus clientes. Dado que la desviación típica es de $ 1,5, determinar el tamaño de muestra R. n=49.

6. Un analista de investigación de mercados escoge una muestra aleatoria de 100 clientes de un conjunto de 500 clientes de una gran tienda. El encuentra que los clientes de la muestra gastaron en la tienda un promedio de $2500 con desviación poblacional de $300 ¿Cuál es el tamaño de muestra si se tiene una confianza del 97% con un error de estimación no mayor de $50? R. n=127. Tamaño de Muestra para la estimación de la proporción 7. La oficina de planificación familiar de cierta provincia quiere estimar el porcentaje de familias con más de 4 hijos. ¿Qué tamaño de muestra se requiere para asegurar con una confianza del 95% que el error de la estimación de tal porcentaje no se mayor que 0.05? R n=384 8. El director de un colegio nacional desea calcular la proporción de los 1000 alumnos del ultimo año que piensan seguir estudios en la universidad ¿Qué tamaño debe tener la muestra que necesita tomar el director si su estimación debe estar a 0.04 del valor verdadero, con 99% de confianza?. El año anterior, el 70% de los alumnos dijeron que tenían planeado seguir estudios en la universidad. R n=466

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