EVAU ESPAÑA TODAS LAS UNIVERSIDADES 2020 PDF

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Son todas las pruebas de evau de matemáticas de todas las universidades de España...

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EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD CONVOCATORIA DE JULIO DE 2020 EJERCICIO DE: MATEMÁTICAS II TIEMPO DISPONIBLE: 1 hora 30 minutos PUNTUACIÓN QUE SE OTORGARÁ A ESTE EJERCICIO: (véanse las distintas partes del examen)

En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. Cada pregunta vale 2 puntos en total y puede contener distintos apartados, cuyas puntuaciones se indican. El estudiante debe indicar claramente, cuáles han sido las preguntas elegidas. Preguntas elegidas (indique un máximo de 5, antes de entregar el examen): …………………………………………………… (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar).

1) Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

x  y  (m  1)z  2  ( x  m  1) y  2z  1 2 x  my  z   1  Discuta el sistema según los valores de

2) Dadas las matrices

 1 0 3 0 2 1  1 1  , B    y C    : A    1 0 1   1 0 1  1 0 

a) (1 punto) Calcule, si es posible, b) (1 punto) Compruebe que,

3)

.

Resuelva el sistema matricial

4) Se considera la recta

A  B 

t 1

.

C 3  I , donde I

es la matriz identidad, y calcule

C16 .

 0 3 3   X  2 Y   0  2 0    2 X  3Y   7 6  1  14 3 7     

z 1 x  r 2 x  y  3

a) (1,25 puntos) Calcule la ecuación del plano que contiene a la recta r y que pasa por el punto (0,0,1). b) (0,75 puntos) Se considera el paralelepípedo definido por los vectores , calcule el volumen de dicho paralelepípedo.

CONTINÚA AL DORSO

, y

Sabiendo que

5) Calcule el siguiente límite:.

6) Se considera la siguiente función:

x2 f (x )  1  e x

. Estudie la existencia de asíntotas verticales,

horizontales y oblicuas y calcúlelas cuando existan.

7) Se considera la siguiente función

f ( x)  ln(2 x  1)

a) (1,25 puntos) Estudie su dominio, así como sus intervalos de crecimiento y decrecimiento b) (0,75 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a f (x) en el punto de abscisa x=

8) Calcule la siguiente integral:

1 2

2   x  ln x dx .

9) Según estadísticas del Instituto Nacional de Estadística, la probabilidad de que un varón esté en paro es del 12%, mientras que la de que una mujer lo esté es del 16%. Además, la probabilidad de ser varón es del 64% y la de ser mujer del 36%. a) (0,75 puntos) Hemos conectado por redes sociales con una persona ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y esté en paro? b) (0,75 puntos) Si se elige una persona al azar ¿cuál es la probabilidad de que esté en paro? c) (0,5 puntos) Hemos conectado por redes sociales con una persona que nos ha confesado estar en paro ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? Nota informativa: las estadísticas anteriores (y los experimentos) están realizados con personas en disposición de trabajar.

10) De los estudiantes universitarios españoles, uno de cada 5 abandona sus estudios. Se seleccionan 5 estudiantes universitarios españoles al azar, de modo independiente a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que uno o ninguno de dichos estudiantes abandonen sus estudios? (No es preciso finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando y desarrollando los números y operaciones básicas que la definen, pero sin hacer los cálculos finales). b) (1 punto) ¿Qué es más probable, que todos abandonen sus estudios, o que ninguno lo haga? Razone la respuesta de modo numérico.

EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD CONVOCATORIA DE JULIO DE 2020

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN EJERCICIO DE: MATEMÁTICAS II

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN CUESTIONES GENERALES: Como norma general se deben valorar positivamente la exposición lógica, ordenada y coherente de las respuestas. Si en el desarrollo de un problema se detecta un error numérico, que no sea manifiestamente inconsistente con la cuestión, y el desarrollo posterior es coherente con dicho error, no se debe dar especial relevancia a éste, siempre y cuando el problema no haya quedado reducido a uno trivial o el resultado sea manifiestamente inconsistente con el problema a resolver. En determinados apartados se dan puntuaciones para la solución por alguno de los métodos más habituales. En todo caso, la resolución de un apartado utilizando un método distinto otorgará la puntuación máxima, siempre que el método sea correcto y lo sea también su solución. De acuerdo con las normas generales que aparecen en la información pública, los correctores pueden bonificar hasta con un máximo de un punto, el buen uso de la lengua o el desarrollo técnico de los ejercicios. 1. ( 2 ptos ) Para clasificar el sistema puede usarse cualquier método. Se detalla la puntuación para la clasificación mediante el método de Rouché-Frobenius. Cálculo del determinante 0,75 ptos. Estudio de casos para los cuales el sistema es compatible determinado 0,25 ptos. Estudio del caso para el cual el sistema es incompatible 0,5 ptos. Estudio del caso para el cual el sistema es compatible indeterminado 0,5 ptos. Por errores de cálculo leves que no simplifiquen el estudio del sistema se restará un máximo de 0,25 puntos (sea cual sea el método de resolución que se use).

2-a. (1 pto) Cálculo de

A Bt , 0,4 pts. Cálculo de la inversa, 0,6 pts. 3

16

2-b. (1 pto) Comprobación de que C  I , 0,5 pts. Cálculo razonado de C : 0,5 pts. (En el caso poco 16 probable de que un alumno calcule las sucesivas potencias C, hasta llegar a C , se considerará igualmente válido, así como cualquier otro razonamiento que le lleve a la solución correcta). 3. (2 ptos) Por errores de cálculo leves, se podrá penalizar hasta con 0,5 ptos. el problema. 4-a. (1,25 ptos ) El plano puede darse en cualquiera de sus formas, que deben valorarse por igual. 4-b. (0,75 ptos) Los pasos en el cálculo deben estar claros y la calificación debe tenerlos en cuenta. 5. (2 ptos) Los pasos en el cálculo del límite deben estar claros, y la calificación debe tenerlos en cuenta. Cualquier método se considerará válido (incluida la fórmula del límite del número e). 6. (2 ptos) Comprobación del valor donde el denominador se anula, 0,2 pts. Estudio de cada uno de los 3 casos donde hay una posible asíntota, 0,6 pts cada uno. El estudio completo debe incluir: la indicación de la no existencia de asíntota vertical en x=0, la existencia de asíntota horizontal y=0 (cuando x   ) y la justificación de no existencia de asíntota oblicua cuando x   . 7-a. (1.25 ptos) Indicación correcta del dominio, 0,25 pts. Cálculo de la derivada de la función 0,5. ptos. Estudio de intervalos de crecimiento/decrecimiento: 0,5 pts. 7-b. (0.75 ptos) Cálculo de la pendiente de la recta tangente 0,2. ptos. Cálculo del punto de tangencia 0,2 ptos. Expresión de la recta tangente 0,35 ptos. Cualquier expresión de la ecuación de la recta se considerará válida. 8. (2 ptos) Los pasos en el cálculo de la integral deben estar claros y la calificación debe tenerlos en cuenta.

Si se olvidan añadir la constante de integración al resultado final, se penalizará con 0,3 ptos. 9-a. (0,75 ptos) Cualquier estrategia usada para determinar la probabilidad es igualmente válida, siempre que sea coherente y correcta. Si se identifica correctamente la probabilidad a calcular, identificando los sucesos, pero no se sabe calcular la probabilidad, la puntuación máxima será de 0,2 pts. 9-b. (0,75 ptos) Cualquier estrategia usada para determinar la probabilidad es igualmente válida, siempre que sea coherente y correcta. Si se identifica correctamente la probabilidad a calcular, identificando los sucesos, pero no se sabe calcular la probabilidad, la puntuación máxima será de 0,2 pts. 9-c. (0,5 ptos) Cualquier estrategia usada para determinar la probabilidad es igualmente válida, siempre que sea coherente y correcta. Si se identifica correctamente la probabilidad a calcular, identificando los sucesos, pero no se sabe calcular la probabilidad, la puntuación máxima será de 0,2 pts). 10-a. (1 pto) Si el estudiante indica que el número de estudiantes que abandona sus estudios es una binomial, indica correctamente los valores de n y p, y plantea bien la probabilidad a calcular, aunque no recuerde las fórmulas, se le podrá asignar una puntuación de hasta 0,5 puntos (igualmente sería válido plantear el problema con el número de estudiantes que no abandonan sus estudios, aunque no será lo habitual). Si el estudiante indica correctamente las probabilidades, pero no especifica el valor concreto de los números combinatorios, se podrá penalizar hasta con 0,2 ptos. Nota: se puede otorgar la puntuación completa a la expresión correcta de la probabilidad, aunque el estudiante no haga referencia a la binomial. 10-b. (1 pto) Expresión correcta de cada una de las probabilidades pedidas: 0,8 ptos, la mitad para cada caso. Razonamiento de cuál de ellas es mayor: 0,2 ptos (se puede hacer calculando el valor numérico de ambas probabilidades o bien razonando que son dos potencias con distinta base y el mismo exponente, y que la de base mayor da un resultado mayor).

on de Bachillerato Prueba de evaluaci´ para el acceso a la Universidad (EBAU) Curso 2019-2020

´ TICAS II MATEM A Despu´es de leer atentamente el examen, responda razonadamente cuatro preguntas cualesquiera a elegir entre las ocho que se proponen. ´ a sobre 2,5 puntos. TIEMPO Y CALIFICACI ON: 90 minutos. Cada ejercicio se calificar´ a El estudiante deber´a indicar la agrupaci´ on de preguntas que responder´a. La selecci´on de preguntas deber´ realizarse conforme a las instrucciones planteadas, no siendo v´ alido seleccionar preguntas que sumen m´as de 10 puntos, ni agrupaciones de preguntas que no coincidan con las indicadas, lo que puede conllevar la on de alguna pregunta que se salga de las instrucciones. anulaci´

Bloque 1.A Un estudiante ha gastado 57 euros en una papeler´ıa en la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos. a) ¿Es posible determinar de forma u ´nica el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? (1.25 puntos) b) Adem´as, si los precios del libro, la calculadora y el estuche hubieran sido, respectivamente, un 50 %, un 80 % y un 75 % de los precios iniciales de cada art´ıculo, el estudiante habr´ıa pagado un total de 34 euros. Calcula el precio inicial de cada art´ıculo. (1.25 puntos) ! ! 2 2 1 3 m 2 1 0 B= m 3 −1 2 m ∈ IR. (1 punto) para que sea posible la ecuaci´on A · X = B ? (0.5 puntos) c) Calcula la matriz X del apartado anterior para m= 0. (1 punto)

m 1 Bloque 1.B Dadas las matrices A= 1 a) Discute el rango de A seg´ un los valores de b) ¿Qu´e dimensiones ha de tener la matriz X

Bloque 2.A Sea la funci´on f : IR −→ IR,

f(x) = x3 − 6x2 + 9x.

a) Halla los puntos de corte de la funci´on con el eje de abscisas y, si existen, los m´aximos y m´ınimos relativos y los puntos de inflexi´on. (1 punto) b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. Esboza una gr´afica de la funci´on. (1 punto) c) Calcula la recta tangente a la gr´ afica de la funci´ on en el punto de abscisa x = 2. (0.5 puntos) Bloque 2.B Sea la funci´on f (x) = 4 − x2 a) Su gr´afica determina con el eje de abscisas un recinto limitado D . Calcula su a´rea. (1 punto) b) La gr´afica de la funci´on g(x) = 3x2 divide D en tres partes D1 , D2 y D3 . Haz un dibujo de los tres recintos. (0.75 puntos) c) Calcula el ´area del recinto D2 que contiene al punto P (0, 1). (0.75 puntos)

Universidad de Oviedo Prueba de evaluaci´on de Bachillerato para el acceso a la Universidad 2019-2020

on de Bachillerato Prueba de evaluaci´ para el acceso a la Universidad (EBAU) Curso 2019-2020

Bloque 3.A Dados el punto A(2, 1, 1) y la recta

r:



x+y =2 y+z =0

a) Calcula un vector director de la recta r. (0.75 puntos) b) La ecuaci´on del plano π que contiene al punto A y a la recta r. (0.75 puntos) c) La ecuaci´on de la recta s contenida en π que pasa por A y es perpendicular a r. (1 punto) Bloque 3.B Sea el prisma triangular(tri´angulos iguales y paralelos) de la figura, con A(1, 0, 0), B ′ (−1, 2, 2), C (0, 3, 0) y C ′ (0, 4, 2). Y los planos π , al que pertenecen los puntos A, B, C y π ′ , al que pertenecen los puntos A′ , B ′ , C ′ . Calcula: a) Las coordenadas de los puntos restantes: A′ , B. (0.75 puntos) ′ b) La distancia entre los planos π y π . (0.75 puntos) c) El volumen del prisma triangular. (1 punto) Bloque 4.A En un espacio muestral se tienen dos sucesos: A y B. Se conocen las siguientes probabilidades: P (A ∩ B) = 0.3, P (A/B ) = P (B/A) y P (A) = 0.2 ( A suceso contrario). Calcula: a) P (B/A). b) P (B). c) ¿Son los sucesos independientes?

(1 punto) (1 punto) (0.5 puntos)

Bloque 4.B Los 5 defensas, 3 medios y 2 delanteros de un equipo de f´ utbol se entrenan lanzando penaltis a su portero. Los defensas marcan gol la mitad de las veces, los medios las 2/3 partes de las veces y los delanteros las 3/4 partes de las veces. a) Se elige un jugador al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que meta el penalti? (1.25 puntos) b) Se supone que la probabilidad del apartado anterior es del 60 %. El equipo realiza en una semana 600 lanzamientos. En cada lanzamiento se elige un jugador al azar y regresa al grupo pudiendo ser elegido nuevamente. Calcula la probabilidad de que como mucho se metan 400 goles aproximando la distribuci´on por una normal. (1.25 puntos) (Algunos valores de la funci´on de distribuci´on de la distribuci´on normal de media 0 y desviaci´on t´ıpica 1: F (3.25) = 0.9994, F (3.2917) = 0.9995, F (3.3333) = 0.9996, F (3.375) = 0.9996, F (3.4167) = 0.9997)

Universidad de Oviedo Prueba de evaluaci´on de Bachillerato para el acceso a la Universidad 2019-2020

Model 2 Contestau de manera clara i raonada quatre q¨ uestions qualssevol, escollides d’entre les dues opcions, A i B, proposades. Disposau de 90 minuts. Cada q¨ uesti´o es puntua sobre 10 punts. La qualificaci´o final s’obt´e de dividir el total de punts obtinguts entre 4. Nom´es es tindran en compte les respostes clarament justificades i raonades usant llenguatge matem` atic o no matem` atic, segons correspongui. Es valoraran negativament els errors de c`alcul. Podeu utilitzar calculadora de qualsevol tipus, cient´ıfica, gr`afica o programable, per`o no s’autoritza l’´ us de les que puguin emmagatzemar o transmetre informaci´ o. ´ A OPCIO 1. Donat el sistema d’equacions lineals   x + y = 1, ax + z = 0,  x + (1 + a)y + az = a + 1,

determina el par`ametre a, i resol sempre que es pugui, de manera que el sistema: (a) tengui soluci´ ou ´nica,

(4 punts)

(b) tengui infinites solucions,

(4 punts)

(c) no tengui soluci´o.

(2 punts)

2. Considera la funci´o f : IR → IR donada per y = f (x) = x3 − 3x. (a) Calcula l’equaci´o de la recta tangent a la gr`afica de la funci´o al punt d’abscissa x = −1. (2 punts) (b) Fes un esb´os de la gr`afica de y = f (x) i calcula: els punts de tall amb els eixos, els extrems relatius i el comportament de la funci´ o a l’infinit. (4 punts) (c) Calcula l’` area del recinte limitat per la gr`afica de la funci´o donada i la recta y = 2.(4 punts)

Model 2. Opci´ o A. Segueix. 3. Considera el punt P = (2, −1, 1) i la recta r donada per  2x − 3y + 4z − 1 = 0 (r) x + 2y − 3z − 2 = 0 (a) Calcula l’expressi´o de l’equaci´o cont´ınua de la recta r.

(2 punts)

(b) Calcula l’equaci´ o del pla, Π, perpendicular a la recta r que passa pel punt P .(2 punts) (c) Calcula el punt, Q, d’intersecci´o del pla Π amb la recta r.

(3 punts)

(d) De totes les rectes que passen pel punt P = (2, −1, 1), calcula aquella que talla perpendicularment a la recta r. (3 punts) 4. El nombre d’hores de vida d’un cert bacteri (tipus A) es distribueix segons una normal de mitjana 110 hores i desviaci´o t´ıpica de 0,75 hores. Calcula la probabilitat que, escollint a l’atzar un bacteri: (a) el seu nombre d’hores de vida sobrepassi les 112,25 hores.

(4 punts)

(b) el seu nombre d’hores de vida sigui inferior a 109,25 hores.

(4 punts)

D’un altre bacteri (tipus B) se sap que el nombre d’hores de vida es distribueix segons una normal de mitjana 110 hores, per`o es desconeix la seva desviaci´o t´ıpica. Experimentalment s’ha comprovat que la probabilitat que un bacteri tipus B visqui m´es de 125 hores ´es 0,1587. Calcula la desviaci´o t´ıpica de la distribuci´o del nombre d’hores de vida dels bacteris tipus B. (2 punts)

Model 2 ´ B OPCIO 1. Una empresa t´e tres mines: A, B i C, i en cada una, el mineral extret cont´e els elements qu´ımics: n´ıquel (Ni), coure (Cu) i ferro (Fe), en diferent concentraci´o. Les concentracions s´on: • Mina A: Ni (1%), Cu (2%), Fe (3%), • Mina B: Ni (2%), Cu (5%), Fe (7%), • Mina C: Ni (1%), Cu (3%), Fe (1%). Per obtenir 7 tones de n´ıquel, 18 de coure i 16 de ferro en total, quantes tones de mineral s’han d’extreure de cada mina? (a) Planteja un sistema d’equacions que interpreti l’enunciat.

(4 punts)

(b) Classifica el sistema.

(2 punts)

(c) Resol el sistema.

(4 punts)

2. Considera la funci´o f (x) =

3 . x2−x

(a) Calcula el seu domini i els intervals de creixement i decreixement.

(3 punts)

(b) Calcula una primitiva qualsevol de f (x).

(4 punts)

(c) Calcula l’` area delimitada per la gr`afica de la funci´ o y = f (x), l’eix OX i les rectes x = 2 i x = 3. (3 punts) 3. Donada la recta r i el pla π (r)

z+2 x−1 y+1 = = , 2 3 −1

(π)

3x − my + z = 1,

es demana si existeix algun valor del par`ametre m per al qual (a) el pla i la recta s´on paral·lels.

(4 punts)

(b) o b´e, el pla cont´e la recta.

(3 punts)

(c) o b´e, el pla i la recta es tallen exactament en un punt.

(3 punts)

En cada cas, si existeix, cacula’l.

Model 2. Opci´ o B. Segueix. 4. Una empresa de fabricaci´ o d’impressores t´e dos centres de producci´o, la f`abrica europea (E) i la f`abrica asi`atica (A). L’1 % de les impressores de la f`abrica E i el 3% de les impressores de la f`abrica A es produeixen amb un defecte. El mercat d’un determinat pa´ıs s’abasteix d’impressores procedents de la f`abrica E en un 80%, mentre que la resta prov´e de la f`abrica A. (a) Quina ´es la probabilitat que una impressora d’aquest pa´ıs tingui el defecte?(4 punts) (b) Si el pa´ıs t´e, aproximadament, dos milions d’impressores fabricades per aquesta empresa, quantes tindran el defecte? (2 punts) (c) Si s’escull a l’atzar una impressora d’aquest pa´ıs i resulta ser una impressora defectuosa, quina ´es la probabilitat que provingui de la f` abrica E? (4 punts)

Taula de la distribuci´ o normal N (0, 1)

EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD (EBAU) FASE GENERAL CURSO 2019–2020

MATERIA: MATEMÁTICAS II

(3) Convocatoria:

Instrucciones: -

Configure su examen con cuatro preguntas seleccionadas libremente de los grupos A o B. En caso de presentar más de cuatro preguntas, sólo se corregirán las cuatro primeras. En el desarrollo de cada pregunta, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarla. Se califica todo el proceso. Se puede utilizar cualquier calculadora científica no programable ni con conexión a Internet.

GRUPO A 𝑙𝑛𝑥

1. Consideremos la función 𝑓(𝑥) =𝑥 2 , don...