Examen 11 Noviembre 2019, preguntas y respuestas PDF

Preview

Summary

Facultad de Econom ́ıa y EmpresaEconometr ́ıa ISemestre Oto ̃no 2019, Pauta Control 1 Profesor: Fernando D ́ıaz Ayudantes: Sebasti ́an Gonz ́alez - Mauricio V ́asquezPregunta 1SeaX 1 , X 2 , ..., Xnuna m. de tama ̃no n de variables aleatorias provenientes de una distribuci ́on exponencial con par ́a...

Description

Universidad Diego Portales Facultad de Econom´ıa y Empresa

Econometr´ıa I Semestre Oto˜ no 2019, Pauta Control 1 Profesor: Fernando D´ıaz Ayudantes: Sebasti´an Gonz´alez - Mauricio V´asquez

Pregunta 1 Sea X1 , X2 , ..., Xn una m.a. de tama˜ no n de variables aleatorias provenientes de una distribuci´ on exponencial con par´ametro λ. La fdp viene dada por f (xi ) = λe−λx, para x > 0. Los primeros momentos centrales de la distribuci´on vienen dados por E(Xi ) = 1λ y V ar(Xi ) = λ12 . 1. Encuentre el estimador de momentos para λ. (10 puntos) Respuesta Sabemos que E(Xi ) =

1 λ

Por otro lado, sabemo que la esperanza del primer Pn momento poblacional viene dada por Xi E(Xi ) = i=1 n Igualando el primer momento poblacional con el primer momento muestral tenemos 1 λ

Pn

i=1

¯ =X

λˆ =

1 ¯ X

2. Determine E[X i2 ]. (10 puntos)

Respuesta La varianza se puede expresar en t´erminos de esperando de la siguiente manera: V ar(x) = E(x2 ) − [E(x)]2 Por lo tanto, podemos calcular E(x)2 como E(x2 ) = V ar(x) + [E(x)]2 E(x2 ) =

1 λ2

+ ( λ12 )2

1 λ2

+

E(x2 ) =

2 λ2

E(x2 ) =

P´ a gina 1 de 32

1 λ2

n

Xi

=

1 λ

Universidad Diego Portales Facultad de Econom´ıa y Empresa

Pregunta 2 Considere la variable aleatoria continua X con fdp fX (x) =

θ , x4

x > 1.

1. Determine el valor de θ (10 puntos) Respuesta El valor de θ vendr´a definido por: Z b Z ∞ Z b θ θ θ x−4 = 1 = 1 ⇒ l´ ı m = 1 ⇒ l´ ı m b→∞ 1 x4 b→∞ x4 1 1 Solucionando tendremos: b  1  b x−3  l´ım −θ =1 = 1 ⇒ l´ım −θ b→∞ b→∞ 3x3  1 3 1    θ 1 1 =1⇒0+ =1 − − ⇒ l´ım θ − 3 3 b→∞ 3·b 3·1 3 ⇒θ=3

2. Encuentre la E(X) y la V ar(X). (10 puntos) Respuesta Sabemos que: E[X] =

Z

b

f (x)xdx a

Donde a es el valor m´ınimo que puede tomar x y b es el valor m´aximo. Por lo que tendremos: Z b Z b Z b Z ∞ θ θ θ x−3 dx dx ⇒ l´ ı m xdx ⇒ l´ ı m xdx ⇒ l´ ı m θ E[X] = 3 4 4 b→∞ b→∞ b→∞ x x x 1 1 1 1 Solucionando: E[X] = l´ım θ b→∞

b b θ  x−3+1  − ⇒ l´ım −3 + 1  1 2x2  1 b→∞

   θ θ θ l´ım − 2 − − ⇒0+ b→∞ 2 2b 2 · 12 E[X] =

θ 2

Sobre la varianza de una variable continua se sabe que: Z b V ar[x] = f (x)x(x − E [X])2 dx = E[X 2 ] − E [X]2 a

Donde: 2

E[X ] =

Z

b 2

a

2

f (x)x dx ⇒ E[X ] =

Z

1

∞

θ 2 x dx ⇒ l´ım x4 b→∞

P´ a gina 2 de 32

Z

b 1

θ 2 x dx = l´ım x4 b→∞

Z

1

b

θ dx x2

Universidad Diego Portales Facultad de Econom´ıa y Empresa

l´ım

Z

b

b→∞ 1

l´ım

b→∞

Es decir:



b θ θx−2 dx = l´ım −  b→∞ x 1

  θ θ ⇒ E[X 2 ] = θ − − − b 1

 2 θ2 θ =θ− V ar[X] = θ − 4 2

Pregunta 3 La probabilidad de que ✭✭Colomba✮✮ gane la carrera en que participar´a el pr´oximo domingo en el hip´odromo es de 0.3 si la pista est´a seca, y de 0.5 si la pista est´a mojada. El pron´ostico del tiempo da una probabilidad de lluvia de 40 % para este domingo. 1. Encuentre la probabilidad de que ✭✭Colomba✮✮ gane la carrera. (10 puntos) Respuesta El problema puede ser representado de la siguiente forma

a Gan 0,4

ev e Llu No

Llu e

P ier

0,5

de 0,5

ve

Gan 0,6

P ier

a

0,3

de 0,7

Por lo que la probabilidad de que Colomba gane vendr´ a dada por: 0, 4 · 0, 5 + 0, 6 · 0, 3 = 0, 38 Es decir que, la probabilidad de que Colomba gane la carrera es de 38 %.

2. Suponga que usted se encuentra fuera de Chile el d´ıa domingo y le informan que ✭✭Colomba✮✮ perdi´ o la carrera. ¿Cu´al es la probabilidad de que no haya llovido ese d´ıa domingo?

P´ a gina 3 de 32

Universidad Diego Portales Facultad de Econom´ıa y Empresa

Respuesta si consideramos los siguientes eventos: A : No llueve. B : Colomba pierde. Entonces, el problema es solucionar P r[A|B]. Sabemos que: P r[A|B] =

P r[B|A] · P r [A] P r[B]

Notemos que P r[B|A] es la probabiliad de que Colomba pierda dado que la cancha est´a seca, es decir 0,7. P r[A] es la probabilidad de que no llueva: 0,6. P r[B] es la probabilidad de perder, que vendr´a dado por: 1 − probabilidad de ganar, o ,0, 6 · 0, 7 + 0, 4 · 0, 5, es decir, 0,62. Entonces, tendremos: 0, 7 · 0, 6 = 0, 6774 P r[A|B] = 0, 62 Por lo que si Colomba perdi´o la carrera, la probabilidad de que no haya llovido el d´ıa domingo es de 67,74 %.

P´ a gina 4 de 32

Universidad Diego Portales Facultad de Econom´ıa y Empresa

Econometr´ıa I Control 2. Lunes 13 de Mayo del 2019 Profesor: Fernando D´ıaz. Ayudantes: Sebastian Gonzalez, Mauricio V´ a squez.

Puntaje Total: 70 puntos. Usted dispone de toda la hora de clases para responder esta prueba. Puede utilizar apuntes y calculadora, sin embargo, el uso de celulares y otros aparatos electr´ onicos est´a prohibido.

Comente.Incluya formulas. 10 puntos c/u. a) Considere el modelo de regresi´on lineal y = Xβ + µ con regresores determin´ısticos y errores id´entica e independientemente distribuidos pero con primer momento igual a a,(µi ∼ iid(a, σ 2 ), ∀i). Entonces si: a 6= 0 ⇒ V AR( ˆβMCO ) 6= σ 2 (X ′ X)−1 , y por ende el estimador deja de ser eficiente. Respuesta Falso por dos motivos. • si E(µi ) = a y la varianza de µi = σ 2 , se tendr´ a que V AR(µ) = σ 2 · I. Entonces la varianza de 2 ′ −1 βˆMCO sigue siendo σ (X X) . • El vector de estimadores ˆβMCO no ser´ a insesgado, por lo que no se podr´a hablar de eficiencia, pues esta es una propiedad para los estimadores insesgados.

b) En el modelo de regresi´on lineal de una variable explicativa, si la variable independiente es constante, entonces los valores de los estimadores ser´an igual al par´ametro poblacional. Respuesta Falso. Los estimadores de este modelo ser´an. ¯ βˆ1 = Y¯ − βˆ2 X Pn ¯ i− Y ¯) (X − X)(Y Pn i βˆ2 = i=1 ¯ 2 (Xi − X) i=1

¯ ∀i 6= j, por lo que tendremos. Si Xi no var´ıa, entonces Xi = Xj = X n n X X ¯ = ¯ 2=0 (Xi − X) (Xi − X) i=1

i=1

por lo que ˆβ1 = Y¯ , el cual no es necesariamente el valor poblacional. Por su parte ˆβ2 se indetermina.

c) En el siguiente Modelo: Yi = δ0 + δ1 Xi + µi

P´ a gina 5 de 32

Universidad Diego Portales Facultad de Econom´ıa y Empresa La hip´otesis de que la constante es id´entica a la pendiente se resuelve en un test de significancia global unilateral, el cual toma en cuenta todos los par´ ametros estimados en su hip´ otesis y entrega la posibilidad de que la pendiente sea mayor que el intercepto. Respuesta Falso. Es un test t-student de dos colas (para permitir que sea mayor o menor), sobre los par´ amentro poblacionales que viene expresado de la siquiente forma: H0 : δ0 − δ1 = 0 H1 : δ0 − δ1 6= 0

δˆ0 − δˆ1 − 0 ∼ tα/2;n−k tc = q V ar(δˆ0 − δˆ1 )

Matem´ atico 1. 20 puntos. Considere el siguiente modelo:

εi ∼ iid(0, ω 2 ) ∀i

y = Xγ + ε; Donde se sabe que:  0, 8 −1  −1 1, 4 ′ −1  (X X) =  −0, 2 0, 2 0 0

 −0, 2 0 0, 2 0  ; 0, 12 −0, 04 −0, 04 0, 08

  16 13 ′  X y =  ; 7 21

ω ˆ 2ε = 0, 5;

X

¯ )2 + (Yˆi − Y

X

εˆ2i = 80

Determine si la siguiente oraci´ on es correcta: El modelo explica menos de la mitad de la variable real. Justifique utilizando valores concretos. Respuesta En este caso se nos est´a preguntando si el R2 es menor a 0,5 y sabemos que viene dado por: P 2 εˆi R2 = 1 − P (Yi − Y¯)2 Sabiendo que:

Por otro lado sabemos que:

X

( ˆYi − Y¯ )2 +

X

ω ˆε2 =

εˆ2i =

P

X

¯ )2 = 80 (Yi − Y

εˆi2 = 0, 5 n−k

Sabemos que (X ′ X)−1 es una matriz de dimenciones k × k, es decir que k = 4. Adem´as, n, pertenece al primer elemento de la matriz X ′ X .    P P P n X 25 P Xi2 P Xi3 P P 2i1  Xi1 15 Xi1 Xi2 P Xi1 Xi3  X ′ −1 −1 ′ i1    P P 2 = ((X X) ) = X X = P Xi2 Xi3  20 P Xi2 P Xi1 Xi2 P X i2 P 2 Xi3 Xi1 Xi3 Xi2 Xi3 X i3 10

P´ a gina 6 de 32

15 10 10 5

20 10 30 15

 10 5  15 20

Universidad Diego Portales Facultad de Econom´ıa y Empresa

Note que no es necesario calcular toda la matriz sino que su primer elemento. P 2 X εˆi = 0, 5 ⇒ εˆ2i = 10, 5 21 10 R2 = 1 − = 0, 86875 80 Por lo que la oraci´on del enunciado es falsa, pues el modelo explica el 86,875 % de la variable real.

Matem´ atico 2. 20 puntos. Un compa˜ nero suyo se encuentra interesado en realizar un estudio sobre si el aumento de inversi´ on en investigaci´on y desarrollo produce un aumento en las innovaciones, tomando datos de todas las inversiones de Am´erica Latina y Europa, y analizando el siguiente modelo: y = Xβ + µ;

µi ∼ iid(0, σ 2 ) ∀i

Adem´as, ´el le presenta la siguiente informaci´on, donde βI+D es el par´ametro asociado a la inversi´on en Investigaci´ on y Desarrollo:   1,0859 βˆ = 0,2116 P [−0, 3274 ≤ βI+D ≤ 0, 7506] = 95 %

a) Realice un test en donde se pueda establecer la significancia estad´ıstica de βI+D . Plantee expl´ıcitamente el test a utilizar, la hip´otesis nula, la hip´ otesis alternativa, criterio de rechazo, el valor calculado del estad´ıstico y el valor de tabla del estad´ıstico utilizado [15 puntos]. Respuesta El test a realizar es un test de significancia de una solo hip´ otesis: test t. H0 : βI+D = 0

El estad´ıstico de este test viene dado por:

H0 : βI+D 6= 0

nula βˆI+D − βI+D tc = q ∼ tα/2,n−k ˆ I+D ) V AR( β

El criterio de rechazo: Si |tc | > tα/2,n−k se rechaza H0 Si |tc | < tα/2,n−k no se rechaza H0 Dado H0 , entonces βI+D bajo la nula es: nula βI+D =0

Conociendo el vector ˆβ, y que existe solo una variable independiente que es la inversi´on en Investigaci´on y Desarrollo, sabemos entonces que el primer elemento del vector ser´a el intercepto y que el segundo elemento corresponder´a a ˆβI+D . βˆI+D = 0,2116

P´ a gina 7 de 32

Universidad Diego Portales Facultad de Econom´ıa y Empresa

Dado que la muestra se encuentra en toda Latino Am´erica y en Europa, las observaciones se pueden considerar lo suficientemente grande para decir que tienden al infinito. A su vez, en el intervalo de confianza se nos entregan los valores a un nivel de confianza del 95 %, por lo que α = 0, 05. n − k → ∞;

α/2 = 0, 025 ⇒ tα/2,n−k = 1, 9600

Para conocer la desviaci´ on est´ andar y poder realizar el test utilizaremos la estructura del intervalo de confianza: q q P [βˆI+D − tα/2,n−k · V AR(βˆI+D ) ≤ βI+D ≤ βˆI+D + tα/2,n−k · V AR( βˆI+D )] = 95 % 0,2116 − 1, 9600 ·

q

V AR(βˆI+D ) = −0, 3274

q ˆI+D ) = 0, 7506 0,2116 + 1, 9600 · V AR( β q ˆ I+D ) ⇒ 0, 2750 V AR( β Por lo que el estad´ıstico calculado ser´ a: tc =

0,2116 − 0 ¯ = 0, 76945 0, 2750

¯ | < 1, 9600, por lo que no se rechaza H0 . βI+D es estad´ısticamente no significativo. |0, 76945 b) La empresa ”M orales Castillo innovaciones”desea invertir US$1.000.000 en proyectos de investigaci´ on y desarrollo para obtener mayores innovaciones. ¿Es una buena inversi´ on? Explique. [5 puntos].

Respuesta No es una buena inversi´on pues podemos inferir que la inversi´on en investigaci´on y desarrollo no afecta a la innovaci´on, pues este par´ametro es estad´ısticamente no significativo.

P´ a gina 8 de 32

Universidad Diego Portales Facultad de Econom´ıa y Empresa

Econometr´ıa I Control 3. Profesor: Fernando D´ıaz. Ayudantes: Sebastian Gonzalez, Mauricio V´ a squez.

Pregunta 1. Suponga que usted est´ a interesado en determinar los factores que explican las diferencias salariales entre diferentes individuos. Para realizar su an´alisis, usted especifica la siguiente funci´on de regresi´ on: wage = β1 + β2 IQ + β3 Educ + β4 Exper + β5 T enure + β6 Black + µ

(1)

donde wage es salario, IQ es el coeficiente intelectual, Educ son los a˜ nos de educaci´on, Exper son los a˜ nos de experiencia, T enure es la antiguedad en el trabajo actual y Black es una variable dicot´omica que toma el valor de uno cuando el individuo respectivo es negro. Los resultados de la regresi´ on se presentan en la Tabla 1 y en la Figura 1 se presentan los residuos agrupados de acuerdo a la variable Black :

P´ a gina 9 de 32

Universidad Diego Portales Facultad de Econom´ıa y Empresa

1.- De acuerdo a esta informaci´on, ¿la parece a usted que existe heterocedasticidad en el modelo?¿Tiene sentido este resultado? Explique. Respuesta La variabilidad de los residuos parece ser mayor para los hombres blancos que para los hombres negros, lo cual no resulta sorpresivo. En este sentido, el gr´afico sugiere lo posibilidad de la existencia de heteroscedasticidad en el modelo. 2.- En las Tablas 2 y Tabla 3 se presentan, respectivamente, los resultados obtenidos al correr regresiones separadas para las sub muestras de individuos negros y blancos, respectivamente. En base a esta informaci´on, ¿puede testear formalmente la existencia de heteroscedasticidad en el modelo? Si puede, h´ agalo, especificando claramente el estad´ıgrafo que va a utilizar, sus grados de libertan, su distribuci´ on bajo la nula y el criterio de aceptaci´on o rechazo de la misma. Respuesta Dado que el modelo se encuentra dividido en dos submuestras, ocupamos el test de Goldfeld-Quandt, el cual es: Ho : σ12 = σ22 Ha : σ12 > σ22 Fn1 −k;n2 −k =

SRC1 /(n1 − k) SRC2 /(n2 − k)

Si F c > F critico, se rechaza nula. Para saber cu´ al tabla corresponde a σ 21 (mayor varianza observada de los errores), estim´ amos la vrianza de los errores de las tablas.

P´ a gina 10 de 32

Universidad Diego Portales Facultad de Econom´ıa y Empresa

• Tabla 2:

σ ˆT2 abla 2

• Tabla 3:

σ ˆT2 abla

3

=

=

P

µ ˆ2 8761004 = = 76182, 6435 n−k 120 − 5

P

1,16e + 08 µ ˆ2 = = 143209, 877 n−k 815 − 5 ⇒σ ˆ T2 abla

Finalmente, σ ˆ 2T abla

3

ˆT2 abla = σ12 y σ

2

Fc =

2

F810;115 Se rechaza nula, hay heterocedasticidad.

P´ a gina 11 de 32

Universidad Diego Portales Facultad de Econom´ıa y Empresa

En la Tabla 4 se presenta presenta los resultados de estimar la siguiente regresi´ on: µ ˆ2 = α1 + α2 IQ + α3 Educ + α4 Exper + α5 T enure + α6 Black + ω

(2)

Donde µ ˆ2 son los residuos al cuadrado de la regresi´on (1):

3.- ¿Puede utilizarse los resultados de esta regresi´on para testear la existencia de heteroscedasticidad? Si puede, h´agalo, especificando claramente el estad´ıgrafo que va a utilizar, sus grados de libertan, su distribuci´on bajo la nula y el criterio de aceptaci´ on o rechazo de la misma.

P´ a gina 12 de 32

Universidad Diego Portales Facultad de Econom´ıa y Empresa

Respuesta Se puede hacer con un test de Breush-Pagan: H 0 : α2 = α3 = α4 = α5 = α6 = 0 2 X 2c = N × R ∼ X(S−1)

Donde S es la cantidad de par´ametros. ⇒ Xc2 = 935 × 0,029491 = 27, 574085 X52 = 11,0705 : si α = 0,05 Xc2 > X 25 2 Sabemos que si X 2c > X(S−1) , entonces rechazo hip´ otesis nula. Por lo que, en este caso, rechazo nula: existe heterocedasticidad.

4.- ¿Son los resultados del test de heterocedasticidad consistentes con sus respuestas anteriores? Explique claramente su respuesta. Respuesta Los test si son consistentes con los resultados, todo indica la existencia de heterocedasticidad en el modelo. Sin embargo, hay que tener en consideraci´on que el test m´as poderoso es el de Breush-Pagan.

P´ a gina 13 de 32

Universidad Diego Portales Facultad de Econom´ıa y Empresa

Econometr´ıa I Semestre Oto˜ no 2019, Pauta Solemne Profesor: Fernando D´ıaz - Victor Macias Ayudantes: Sebasti´an Gonz´alez - Mauricio Vasquez - Juan Felipe Ly

Pregunta 1 Considere el siguiente modelo: Yi = α + βXi + µi donde mui es independiente e id´enticamente distribuido con media 0 y varianza σ 2 . La variable X tiene las siguientes realizaciones: X1 = 1, X2 = 2, X3 = 3, X4 = 4, X5 = 5, X6 = 6. Un econometrista estima la pendiente de esta regresi´ on usando la siguiente expresi´ on: βˆ = 18 (Y6 + Y5 − Y2 − Y1 ) 1. Muestre que este estimador es insesgado Respuesta βˆ = 18 (α + 6β + µ6 + α + 5β + µ5 − α − 2β − µ2 − α − β − µ1 ) βˆ = 18 (8β + µ6 + µ5 − µ2 − µ1 ) βˆ = β + 18 (µ6 + µ5 − µ2 − µ1 ) ˆ = β, debido a que E(µi ) = 0, ∀i E( β) Por lo tanto, el estimador es insesgado. 2. La varianza del estimador βˆ = 18 (Y6 + Y5 − Y2 − Y1 ) es: Respuesta ˆ = 1 V ar(µ6 + µ5 + −µ2 − µ1 ) V ar( β) 64 donde cov(ui , uj ) = 0, ∀i 6= j. La varianza del estimador de MCO es: ˆ MCO ) = PN V ar( β

σ2

xi ) i=1 (xi −¯

Donde

PN

Dado que

i=1 (xi σ2 16

>

−x ¯i )2 = 2σ 2 35

2

=

2σ 2 35

35 2

, entonces βˆMCO es m´ as eficiente.

P´ a gina 14 de 32

Universidad Diego Portales Facultad de Econom´ıa y Empresa

Pregunta 2 Un investigador considera que la relaci´on entre consumo (Ct ) e ingreso (It ) debe ser estrictamente proporcional. Por ello, plantea el siguiente modelo: Ct = β1 It + µt 1. Determine el estimador de MCO de β1 Respuesta El problema a resolver es:

min y la condici´on de primer orden es:

−2 Despejando βˆ1 , se tiene:

PT

i=1 (Ct

PT

i=1 (Ct

βˆ1 =

2. ¿Se cumple

PT

t=1

− βˆ1 It )2

− βˆ1 It )It = 0

PT Ct It Pt=1 T 2 t=1 It

µ ˆt = 0 Justifique su respuesta.

Respuesta PT µ ˆt = 0 no necesariamente se cumple, ya que en este caso no se tiene la ecuaci´on normal PTt=1 µ ˆ t=1 t = 0 como ocurre en el modelo que se estima con un intercepto.

Pregunta 3 Considere el modelo de regresi´on lineal simple estudiado en clases: y = αyx + βyx x + u donde αyx y βyx son par´ametros (constantes) y µ es un t´ermino de error. El siguiente modelo invierte los roles de las variables x e y : x = αxy + βxy y + v donde αxy y βxy son par´ametros (constantes) y v es un t´ermino de error. Suponga que estimamos ambos modelos por M´ınimos Cuadrados Ordinarios usando una muestra aleatoria de tama˜ no n.

P´ a gina 15 de 32

Universidad Diego Portales Facultad de Econom´ıa y Empresa 1. Muestre que el estad?grafo R2 obtenido de una regresi?n en que y es la variable dependiente (o explicada) y x es la variable independiente (o explicativa) puede expresarse como R2yx

Pn 2 [ i=1 (xi − x) (yi − y)] = Pn 2 Pn 2 i=1 (xi − x) i=1 (yi − y)

Respuesta Por definici´ on,

Pn

= Pi=1 n

donde

= βb0yx + βbyxxi

ybi

=

= Reemplazando en la definici´on de R2yx,

on El estimador βbyx es por definici´ Reemplazando arriba, obtenemos 2 Ryx

=

2 Ryx

=

2. Muestre formalmente que