Examen de Estadistica - EUETIB PDF

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Examenes de Estadistica ...

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ESTAD´ISTICA

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QP1314- Grupo T2

TEMA 6: Problemas de Contraste de Hip´ otesis realizados en clase Problema 1 El tiempo de secado de un cierto tipo de pintura sigue una distribuci´on normal con media 75 minutos y desviaci´on t´ıpica 9min. Los qu´ımicos han propuesto un nuevo aditivo dise˜ nado para disminuir el tiempo medio de secado. Se cree que con el nuevo aditivo, el tiempo de secado sigue una normal de σ = 9 min. Se considera una muestra aleatoria de tama˜ no 25, obteniendo que el nuevo tiempo medio de secado es de 70.8min. ¿ser´a cierto que el tiempo medio de secado ha disminuido con el nuevo aditivo? Soluci´ on: El contraste de hip´otesis a realizar es ⇢ H0 : µ = 75 H1 : µ < 75 Por lo tanto, calculamos el valor del estad´ıstico de prueba Z=

X  µ0 70.8  75 p = p = 2.333333334 σ/ n 9/ 25

y comprobamos que si est´ a incluido en la regi´on cr´ıtica Z < zα = z0.05 = 1.645, por lo que rechazamos la hip´otesis de que el tiempo medio de secado es el mismo a favor de la hip´ otesis alternativa de que ha disminuido.

Problema 2 Se ha probado la duraci´ on de 9 bater´ıas de una cierta marca para ordenadores port´ atiles. Los tiempos de duraci´ on obtenidos son (en horas): 11.7

12.2

10.9

11.4

11.3

12

11.1

10.7

11.6

Seg´ un el fabricante, la duraci´on media de las bater´ıas es de 12.1 horas. Se quiere saber con el 99 % de certeza si las bater´ıas de esta marca tienen una duraci´ on significativamente inferior a µ0 = 12.1, suponiendo que siguen una distribuci´ on normal. Soluci´ on: Los estad´ısitcos muestrales son: X n = 11.43333,

Sn−1 = 0.4949747

La certeza es la probabilidad de no equivocarse, por lo que la probabilidad de equivocarse es un α = 1 % El contraste de hip´otesis a realizar es ⇢ H0 : µ = 12.1 H1 : µ < 12.1

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QP1314- Grupo T2

Por lo tanto, calculamos el valor del estad´ıstico de prueba T =

X  µ0 11.43333  12.1 p = p = 4.040630764 Sn−1 / n 0.4949747/ 9

y comprobamos que si est´ a incluido en la regi´on cr´ıtica 4.040630764 = T < tα,n−1 = t0.01,8 = 2.896, por lo que rechazamos la hip´otesis de que la duraci´ on media de las bater´ıas es de 12.1 horas a favor de la hip´ otesis alternativa de que es inferior a 12.1.

Problema 3 Un fabricante de pilas el´ectricas afirma que la vida de las pilas est´ a distribuida de forma normal con desviaci´ on t´ıpica de 0.8 meses. Se secciona una muestra de 16 pilas al azar y resulta la desviaci´ on t´ıpica muestral de Sn = 0.85. ¿Se puede asegurar al nivel α = 0.05 que σ > 0.8? Soluci´ on: El contraste de hip´otesis a realizar es ⇢ H0 : σ = 0.8 H1 : σ > 0.8 y el estad´ıstico de prueba χ2 =

2 (n  1)Sn−1 nS 2 16 · 0.852 = 2n = = 18.0625. 2 σ σ 0.82

Comprobamos si el estad´ıstico est´ a en la regi´ on cr´ıtica χ2 > χ 2α,n−1 = χ20.05,15 = 25 y vemos que no, as´ı que no podemos rechazar la hip´otesis nula de que σ = 0.8.

Problema 4 Una empresa fabrica cuerdas cuya resistencia media a la rotura es de 300kg con una desviaci´ on t´ıpica de 24kg. Una muestra de 64 cuerdas fabricadas mediante un nuevo proceso dio una resistencia media de 310kg. La compa˜ n´ıa desea estudiar si efectivamente el nuevo proceso da mejores resultados que el antiguo. Soluci´ on: El proceso dar´ a mejores resultado si la resistencia media a la rotura aumenta, por lo tanto el contraste de hip´ otesis a realizar es ⇢ H0 : µ = 300 H1 : µ > 300. Calculamos el valor del estad´ıstico de prueba Z=

310  300 X  µ0 p = p = 3.333333333, σ/ n 24/ 64

y comprobamos que s´ı est´ a incluido en la regi´on cr´ıtica Z > z α = z0.05 = 1.645, por lo que rechazamos la hip´otesis de que resistencia media a la rotura es la misma a favor de la hip´ otesis alternativa de que ha aumentado.

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QP1314- Grupo T2

Problema 5 Una empresa afirma que su m´ aquina de relleno de contenedores de 500ml de un producto homog´eneo posee una desviaci´ on t´ıpica inferior a 0.8gr. El supervisor de control de calidad de la empresa quiere comprobar si eso es cierto. Para ello toma una muestra de 50 contenedores y obtiene una varianza muestral de 0.6. ¿puede asegurar entonces que la desviaci´ on t´ıpica del proceso de relleno es realmente inferior a 0.8gr? Soluci´ on: El contraste de hip´otesis a realizar es ⇢ H0 : σ = 0.8 H1 : σ < 0.8 y el estad´ıstico de prueba χ2 =

2 (n  1)Sn−1 nSn2 50 · 0.6 = 46.875. = = 0.82 σ2 σ2

2 ' Comprobamos si el estad´ıstico est´ a en la regi´on cr´ıtica 46.8750 = χ2 < χ 21−α,n−1 = χ0.95,49 2 χ0.95,50 = 34.8 y vemos que no, as´ı que no podemos rechazar la hip´ otesis nula de que σ = 0.8 y la aceptamos....