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Nombre: Santiago Ramírez PérezNombre: John Jairo Paternina FuentesProblema 1. Considere una empresa de generación que posee una planta eólica. Laenergía de salida Y en MWh depende en gran medida de la velocidad del viento V (enm/s) y está dada por la siguiente expresión:��(��)= {��,�� ≤ �������� ∗ (...

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Nombre: Santiago Ramírez Pérez Nombre: John Jairo Paternina Fuentes

Problema 1. Considere una empresa de generación que posee una planta eólica. La energía de salida Y en MWh depende en gran medida de la velocidad del viento V (en m/s) y está dada por la siguiente expresión: 𝟎, 𝐕 ≤ 𝟓 𝐕−𝟓 𝐘(𝐕) = { 𝟑𝟎𝟎 ∗ ( ) , 𝟓 < 𝐕 ≤ 𝟏𝟓 𝟏𝟎 𝟑𝟎𝟎, 𝐕 > 𝟏𝟓

Esta empresa firmará un contrato para vender x kWh diarios a un precio p = $90/MWh. Cuando Y < x, se debe comprar la cantidad x−Y en la bolsa de energía a un precio aleatorio Z (en $/MWh). Cuando Y > x, se debe vender la cantidad Y −x en la bolsa de energía al mismo precio Z. Considere el hecho de que V ∼ U(0, 20) y Z son variables aleatorias independientes. Además, la marginal de Z es como sigue: 𝐤 ∗ (𝐳 − 𝟔𝟎), 𝐬𝐢 𝟔𝟎 ≤ 𝐳 < 𝟏𝟎𝟎 𝐟𝐙 (𝐳) = {𝐤 ∗ (𝟏𝟒𝟎 − 𝐳), 𝐬𝐢 𝟏𝟎𝟎 ≤ 𝐳 < 𝟏𝟒𝟎 𝟎,

a) Determine la utilidad media E [U] en términos de x e indique el rango de valores de x tal que E [U] > 0. μ = 90x − z ∗ (x − y) + z ∗ (y − x)

μ = 90x − z ∗ x + z ∗ y + z ∗ y − zx μ = 90x + 2 ∗ z ∗ y − 2 ∗ z ∗ x V ∼ U(0,20)

5

μy = ∫ 0 ∗ −∞

1 , 0 < v < 20 fv (y) = {20 0, en otro caso

15 20 1 1 v−5 1 dv + ∫ 300 ∗ ( ) ∗ dv + ∫ 300 ∗ dv 20 20 20 10 5 15

μy = 0 + 75 + 75 μy = 150 ∞

100

fx (x) = (∫

60

fx (x) = ∫ Fx (x)dx = 1 −∞

140

k ∗ (z − 60) ∗ dz + ∫

100

k ∗ (140 − z) ∗ dz) = 1

fx (x) = (800k + 800k) = 1 1600k = 1

μz = ∫

100

60

k=

1 1600

140

z ∗ k ∗ (z − 60) ∗ dz + ∫

100

z ∗ k ∗ (140 − z) ∗ dz

130 170 = 100 + 3 3 E(μ) = μ = 90x + 2 ∗ μz ∗ μy − 2 ∗ μz ∗ x μz =

E(μ) = 90x + 2 ∗ 100 ∗ 150 − 2 ∗ 100 ∗ x E(μ) = 90x + 30000 − 200x E(μ) = 30000 − 110x

como debe ser mayor a 0 entonces despejamos x: 30000 − 110x > 0 30000 > 110x 30000 >𝑥 110

𝐱 < 𝟐𝟕𝟐. 𝟕𝟐𝟕𝟑

b) ¿Cuál debe ser la cantidad a contratar x tal que P (U > p x) = 0.7?

2. Considere una empresa de generación que posee dos plantas hidráulicas. La energía total en MWh que puede ser obtenida de la planta 1 y la planta 2 en un día cualquiera es Y1 ∼ N (16, 16) y Y2 ∼ N (16, 25). Asuma que Y1 y Y2 son variables aleatorias independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que cada planta produzca por lo menos 20 MWh en un día cualquiera? μ1 = 16, μ2 = 16, σ21 = 16, σ2 2 = 25 P(y1 ≥ 20, y2 ≥ 20)

Por independencia: P(y1 ≥ 20) ∗ P(y2 ≥ 20)

P(y1 ≥ 20, y2 ≥ 20) = [1 − P(y1 ≤ 20)] ∗ [1 − P(y2 ≤ 20)]

P(y1 ≥ 20, y2 ≥ 20) = [1 − P (z ≤

20 − 16 20 − 16 )] )] ∗ [1 − P (z ≤ 5 4

P(y1 ≥ 20, y2 ≥ 20) = [1 − P(z ≤ 1)] ∗ [1 − P(z ≤ 0.8)] P(y1 ≥ 20, y2 ≥ 20) = [1 − Φ(1)] ∗ [1 − Φ(0.8)]

Según la tabla, Φ(1) = 0.8413 y Φ(0.8) =0.7881, reemplazando estos valores tenemos: P(y1 ≥ 20, y2 ≥ 20) = (1 − 0.8413) ∗ (1 − 0.7881) 𝐏(𝐲𝟏 ≥ 𝟐𝟎, 𝐲𝟐 ≥ 𝟐𝟎) = 𝟎. 𝟎𝟑𝟑𝟔

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en total ambas plantas produzcan al menos 40 MWh en un día cualquiera? Y ∼ N (μ1 + μ2 , σ21 + σ2 2 ) Y ∼ N( 32, 41)

Para este caso necesitamos hallar P(Y ≥ 40):

P(Y ≥ 40) = 1 − P(Y ≤ 40)

P(Y ≥ 40) = 1 − P (z ≤

40 − 32 ) √41

P(Y ≥ 40) = 1 − P(z ≤ 1.2494) P(Y ≥ 40) = 1 − Φ(1.25) P(Y ≥ 40) = 1 − 0.8944 𝐏(𝐘 ≥ 𝟒𝟎) = 𝟎. 𝟏𝟎𝟓𝟔

c) ¿Cuánta energía diaria podría ofrecer esta empresa a sus clientes tal que pueda cumplir con el compromiso al menos el 95 % de los días?...