Examen de muestra/práctica 2014, preguntas y respuestas PDF

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Econometría Departamento de Economía Universidad Diego Portales Primera Prueba Solemne Semestre II 2014 Profesores: Andrés Elberg, Álvaro Miranda Ayudantes: Dino Matilla, Stefano Zecchetto Problema 1: Propiedades Estadísticas de un Estimador (25 pts) Una econometrista está interesada en estimar el s...

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Econometría Departamento de Economía Universidad Diego Portales Primera Prueba Solemne Semestre II 2014 Profesores: Andrés Elberg, Álvaro Miranda Ayudantes: Dino Matilla, Stefano Zecchetto

Problema 1: Propiedades Estadísticas de un Estimador (25 pts) Una econometrista está interesada en estimar el siguiente modelo de regresión simple: y = β0 + β1x + u Para ello dispone de una muestra aleatoria de tamaño ! " n# y hace los siguientes supuestos sobre la distribución condicional del error: E [ u| x] = 0 y E u2 " x = σ 2 . a) Explique el significado de ambos supuestos acerca de la distribución condicional del error. (5 pts.) Respuesta

El supuesto sobre el primer momento de la distribución condicional del error, E [ u| x] = 0 , dice que los determinantes no observables de y contenidos en el error son (media) independientes de la variable x. Esto significa que ninguno de los factores no observables se encuentra correlacionado con x ni con ninguna función ! " de # x. El supuesto sobre el segundo momento de la distribución condicional del error, E u2 " x = σ 2 , en combinación con el primer supuesto, implica que la varianza condicional del error es constante: V ar [ u| x] = σ 2 . Este supuesto, conocido como el supuesto de homocedasticidad, significa que la varianza del error no depende de los valores que toma la variable x. b) Denote el estimador MCO de la pendiente del modelo porβb1 . Calcule su esperanza condicional (en los valores de la variable independiente x). ¿Es βb1 un estimador insesgado del parámetro β 1 ? (5 pts.) Respuesta El estimador MCO del parámetro β 1 está dado por: Pn (xi − x) yi b β 1 = Pi=1 n 2 i=1 (xi − x) 1

Para expresar el estimador en términos de los errores u sustituimos en la expresión anterior la ecuación de regresión: Pn i=1 (xi − x) (β 0 + β 1 xi + ui ) b β1 = Pn 2 i=1 (xi − x) Pn (xi − x) ui = β 1 + Pi=1 2 n i=1 (xi − x)

Aplicamos el operador de esperanza condicional, Pn h " i (xi − x) E [ ui | x] " E βb1 " x = β 1 + i=1 Pn 2 i=1 (xi − x) = β1

donde la última igualdad usa el supuesto E [ u| x] = 0 . Obtenemos que la esperanza condicional del estimador MCO es igual al verdadero parámetro β 1 ; es decir, el estimador MCO es un estimador insesgado del verdadero parámetro β 1 . La econometrista considera los siguientes estimadores alternativos de β 1 : Pn xi y i e β 1 = Pi=1 n 2 i=1 xi Pn yi β 1 = Pi=1 n x i=1 i

c) Calcule el sesgo de ambos estimadores. ¿Son estimadores insesgados del parámetro β 1 ? (7 pts) Respuesta Procediendo del mismo modo que en b) obtenemos, Pn + β 1 xi + ui ) i=1 xi (β e P0n β1 = 2 i=1 xi Pn Pn Pn β 0 i=1 xi + β 1 i=1 xi2 + i=1 xi ui Pn = 2 i=1 xi Pn Pn xi xi ui = β 0 Pni=1 2 + β 1 + Pi=1 n 2 i=1 xi i=1 xi

Aplicando el operador de esperanza condicional, Pn Pn h " i xi " i=1 xi E [ ui | x] i=1 e Pn E β 1 " x = β 0 Pn 2 + β1 + 2 x i=1 i i=1 xi P n h "" i xi E βe1 " x = β 0 Pi=1 n 2 + β1 x i=1 i 2

PorPtanto, vemos que el estimador βe1 no es un estimador insesgado de β 1 . El sesgo es igual a n xi . β 0 Pi=1 n x2 i=1

i

Procediendo análogamente para el estimador β 1 obtenemos, Pn i=1 (β 0 + β 1 xi + ui ) Pn β1 = i=1 xi Pn ui nβ = Pn 0 + β 1 + Pni=1 i=1 xi i=1 xi Aplicando el operador de esperanza condicional, ! " # E β1" x

! " # E β1" x

= =

nβ Pn 0 i=1

xi

nβ Pn 0 i=1

xi

+ β1 + + β1

Pn E [ ui | x] i=1 Pn i=1 xi

Por tanto, el estimador β 1 tampoco es un estimador insesgado del parámetro β 1 . El sesgo es nβ igual a Pni=10 xi . d) Calcule la varianza de ambos estimadores. Compárelas con la varianza del estimador de MCO. ¿Qué estimador presenta una menor varianza? (Nota: la siguiente relación puede ser útil en Pn Pn 2 sus cálculos: i=1 (xi − x) = i=1 x2i − nx2 > 0) (8 pts) Respuesta

" i " V ar e β1" x h

= =

Pn

x2i V ar [ ui | x] Pn 2 ( i=1 xi2)

i=1

σ2 Pn

i=1

! " # V ar β 1 " x

= =

3

x2i

Pn

V ar [ ui | x] Pn 2 ( i=1 xi )

i=1

nσ 2 Pn 2 ( i=1 xi )

h " i ! " # " Vemos que V ar βe1 " x ≤ V ar β 1 " x . Para verificarlo, σ2 Pn

2 i=1 xi

n X

xi

i=1

!2

n2 x 2

nσ 2 Pn 2 ( i=1 xi )

≤

≤ n

n X

xi2

i=1

≤ n

n X

xi2

i=1 n X

x2i − nx2

≥ 0

i=1

La varianza condicional del estimador MCO es h " i " β 1 " x = Pn V ar b

σ2 2

(xi − x) h " i h " i Pn Pn 2 b 1 "" x ≥ V ar βe1 "" x . Es claro que i=1 (xi − x) ≤ i=1 x2i , por lo tanto V ar β i=1

Problema 2: Estimación de un Modelo de Regresión Simple (15 pts.) Considere la siguiente relación: y i = β 0 + β 1 xi + ui donde xi es una variable exógena y el subíndice i denota un miembro de la población de interés. La relación anterior en una muestra aleatoria de tamaño n puede expresarse como y = Xβ + u donde

y

β

2

6 6 6 = 6 6 4 =

2

y1 y2 .. . yn

β0 β1

2

3

7 6 7 6 7 6 7 X =6 7 6 5 4 3

2

1 1 .. .

x1 x2 .. .

1

xn 3

u1 6 u2 7 7 6 7 6 u = 6 ... 7 7 6 5 4 un 4

3 7 7 7 7 7 5

Ud. puede asumir que se cumplen las siguientes condiciones: E ( u| X)

= 0 = σ2I n

E ( uu0 | X)

donde I n es la matriz identidad de dimensión n. Ud. dispone de la siguiente información de una muestra aleatoria de tamaño n = 100. 2 3 4 0 5−1 0, 01 0 = XX 0 0, 02 n X

yi

=

20

y 2i

=

102

i=1

n X i=1

n X

= 0

y i xi

i=1

Calcule lo siguiente o explique por qué no dispone de suficiente información para hacerlo: a) El estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) del vector β (5 pts.) Respuesta El estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) del vector β está dado por: 4 5−1 0 βb = X 0 X Xy

En términos de la información proporcionada en el problema, 2 0

Xy

=

2

1 x1

1 x2

2 Pn

i=1

= 4 P n 2

= 4

20 0

yi

i=1 xi yi 3

5

5

... ... 3

5

1 xn

36 6 6 6 6 4

y1 y2 .. . yn

3 7 7 7 7 7 5

Luego, b β

=

2

0, 01 0 0 0, 02

2

3

= 4

Es decir, βb0 = 0, 2 y βb1 = 0

0, 2 0

3

2

20 3 5 4 0

5

b) El coeficiente de determinación, R2 . (5 pts.) Respuesta En un modelo de regresión simple podemos escribir el R2 como sigue: Pn 2 2 (xi − x) R2 = b β1 Pi=1 2 n i=1 (yi − y) b 1 = 0 el R2 asociado a la estimación es igual a cero. Dado que β

c) El estimador insesgado de la varianza de los errores, σ b 2 . (5 pts.) Respuesta

El estimador de la varianza de los errores, σ b 2 está dado por Pn b2i 2 i=1 u σ b = n−k−1 Pn bi2, es igual a la suma total de Sabemos que la suma de los residuos al cuadrado, i=1 u cuadrados menos la suma explicada de cuadrados. De b) sabemos que la suma explicada de cuadrados es igual a cero (R2 = 0), luego, n X i=1

u b2i

=

n X

(yi − y)

2

i=1

=

n X

yi2 − ny 2

i=1

= 102 − 100 · =

98

σ b2

=

6

Luego, 98 100 − 2

= 1 6

20 100

72

Problema 3: Determinantes del Consumo de Cigarrillos (40 pts.) Un estudio sobre el consumo de cigarrillos en EE.UU. utiliza datos de 46 estados en 1992. La siguiente ecuación presenta la función de regresión muestral obtenida de una estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO): ln Cb = 4, 30 − 1, 34 ln P + 0, 17 ln Y (0,91)

(0,32)

(−)

donde C es el consumo de cigarrillos, expresado en número de cajetillas por año, P es el precio real por cajetilla e Y es el ingreso disponible real per cápita. En paréntesis se muestran los errores estándar correspondientes a los coeficientes estimados. a) Interprete cada uno de los coeficientes estimados. ¿Tienen los signos que Ud. esperaría a priori? Explique. (5 pts.) Respuesta b β = 4, 3: El valor predicho del logaritmo natural del número de cajetillas de cigarrillos 0

consumidas por año si ln P = 0 y ln Y = 0 es igual a 4,3.

b β 1 = −1, 34: Un aumento de un 1% en el precio real de una cajetilla de cigarrillos manteniendo constante el ingreso disponible real per cápita está asociado a una caída de un 1,34% en el número de cajetillas de cigarrillos consumidas por año. Tiene el signo esperado a priori porque por ley de la demanda esperamos que, ceteris paribus, se demande menos de un bien cuyo precio sube. b β 2 = 0, 17: Un aumento de un 1% en el ingreso disponible real per cápita manteniendo constante el precio real de una cajetilla de cigarrillos está asociado a un aumento de un 0,17% en el número de cajetillas de cigarrillos consumidas por año. Tiene el signo esperado a priori porque esperamos que, en la medida que un bien es normal, aumentos en el ingreso disponible estén asociados a aumentos en el consumo del bien. b) ¿Cree Ud. que el parámetro asociado a la variable ln Y captura el efecto causal de cambios en el ingreso sobre cambios en el consumo de cigarrillos? Fundamente su respuesta. (5 pts.) Respuesta No. Para que β 2 capture el efecto causal de cambios en el ingreso disponible sobre el consumo de cigarrillos debiese ocurrir que cambios en el ingreso disponible no estén asociados a cambios en otros determinantes del consumo de cigarrillos no considerados explícitamente en la ecuación de regresión. Es decir, la variable ln Y debiese no estar correlacionada con otros factores contenidos en el error. Podemos pensar en numerosas variables que afectan el consumo de cigarrillos y que pueden estar correlacionadas con el ingreso. Por ejemplo, individuos de mayor ingreso tieden a tener una mayor educación y por tanto ser más conscientes de los daños asociados al tabaquismo. Si esto es así, entonces β 2 no sólo va a estar capturando el efecto de un mayor ingreso sino que también el efecto de una mayor educación. 7

c) El coeficiente de determinación R2 asociado a la estimación es igual a 0,3. Explique el significado de este estadígrafo. ¿Le parece que este es un buen modelo para predecir el consumo de cigarrillos? (5 pts.) Respuesta El coeficiente de determinación mide la fracción de la variabilidad total de la variable dependiente (medida por la suma total de cuadrados) que es explicada por el modelo. El valor 0, 3 significa que el modelo explica sólo un 30% de la variabilidad total del consumo de cigarillos. Esto sugiere que existen factores no observables (o al menos no incluidos en el modelo) que explican el consumo de cigarrillos. Parece no ser un modelo apropiado para ser usado en predicción. 2

d) Calcule el coeficiente de determinación ajustado R . Suponga que Ud. está considerando excluir la variable ln Y del modelo. ¿Qué indicador de bondad de ajuste convendría utilizar 2 para comparar ambos modelos: el R2 ó el R ? Explique. (5 pts.) Respuesta

R

2

6

7 4 5 n−1 = 1− 1 − R2 n−k−1 6 7 45 (1 − 0, 3) = 1− 43 = 0, 2674

Para comparar la bondad de ajuste del modelo estimado con aquella del modelo que excluye la 2 variable ln Y lo correcto es utilizar el coeficiente de determinación ajustado R . Esto, porque 2 2 a diferencia del R , el R penaliza la pérdida de grados de libertad asociada a la inclusión de más variables al modelo. El R2 en cambio nunca disminuye con la inclusión de nuevas variables al modelo y, por tanto, no es un buen indicador para comparar modelos anidados. e) Suponga que Ud. estima un modelo de regresión auxiliar en que la variable dependiente es ln P y la variable independiente es ln Y (además de incluir un término constante). ¿Qué relación esperaría encontrar entre el R2 asociado a esta estimación y la varianza del estimador del parámetro asociado a ln P en la regresión original? (5 pts.) Respuesta La varianza del estimador del parámetro asociado a ln P está dada por la siguiente expresión: h " i " V ar b β 1 " ln P, ln Y =

σ2 ST C1 (1 − R12)

Donde σ 2 es ka varianza del error, ST C1 es la suma total de cuadrados de la variable ln P y R12 es el coeficiente de determinación de una regresión de la variable ln P sobre la variable b . ln Y . Vemos que cuanto mayor es R12 mayor es la varianza de β 1 8

f) Testee la hipótesis que la demanda por cigarrillos tiene una elasticidad unitaria (es decir, que ante un aumento en un 1% del precio real de los cigarrillos, la cantidad consumida de cigarrillos disminuye en un 1%). Use un test de dos colas y un nivel de significancia de un 1%. En su respuesta explicite: Hipótesis nula y alternativa, estadístico de prueba pertinente, su distribución bajo la hipótesis nula y región crítica. (5 pts.) Respuesta Hipótesis nula y alternativa: H0

: β 1 = −1 vs.

H1

: β 1 6= −1

Estadístico de prueba: T =

βb1 + 1 8 9 ee βb 1

El estadístico de prueba se distribuye t-student con 43 (= 46-2-1) grados de libertad. El valor del estadístico de prueba es T calc

=

−1, 34 + 1 0, 32

= −1, 0625 Los valores críticos para un test al 1% de significancia son el percentil 0,5 y el percentil 99,5 de la distribución t − student con 43 grados de libertad: t0,005;43 ≈ 2, 7 La región crítica se encuentra a la izquierda de -2,7 y a la derecha de 2,7. Concluimos que no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula de elasticidad unitaria al 1% de significancia. g) El p-valor asociado al estadístico de prueba del test de significancia de la variable ln Y es igual a 0,067. En base a este dato, ¿Es la variable ln Y significativa a un nivel de significancia del 5%? ¿Es significativa a un nivel de significancia del 10%? Explique. (5 pts.) Respuesta En términos del p-valor, la regla de decisión consiste en rechazar la hipótesis nula si el pvalor es menor que el nivel de significancia del test. Si este es el caso entonces el valor del estadístico de prueba se encontrará dentro de la región crítica. Aplicando esta regla al problema obtenemos que la hipótesis nula de insignificancia de la variable ln Y no puede rechazarse a un nivel de significancia del 5% (0,067 > 0,05) pero se rechaza a un nivel de significancia del 10% (0,067 < 0,10).

9

h) Suponga que se espera que el ingreso disponible real per cápita crezca, en promedio, un 10%. Utilice la ecuación de predicción anterior para calcular en qué porcentaje debiese aumentar el precio real de los cigarrillos de manera que el consumo esperado de cigarrillos se reduzca en un 5%. (5 pts.) Respuesta Usando la ecuación de predicción podemos calcular la tasa de crecimiento del consumo de cigarrillos diferenciando la ecuación: b d ln C dCb b C

= −1, 34d ln P + 0, 17d ln Y

= −1, 34

dY dP + 0, 17 P Y

Sustituyendo los valores entregados, −0, 05 dP P

=

−1, 34

dP + 0, 17 · 0, 1 P

= 0, 05

Por tanto, el precio real de los cigarrillos debiese aumentar un 5% de manera que el consumo esperado de cigarrillos se reduzca en un 5%.

10...