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PRIMER INFORME DE LABORATORIOEXPERIENCIA N°2: TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON.TEOREMA DE MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA.APELLIDOS Y NOMBRES:DOCENTE:Ing. Hernán CortézCURSO-SECCIÓN:Laboratorio de Circuitos Eléctricos – ML 121 – EINSTITUCIÓN:Universidad Nacional de IngenieríaFECHA DE REALIZACIÓN DEL E...

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PRIMER INFORME DE LABORATORIO EXPERIENCIA N°2: TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON. TEOREMA DE MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA.

APELLIDOS Y NOMBRES:

DOCENTE: Ing. Hernán Cortéz CURSO-SECCIÓN: Laboratorio de Circuitos Eléctricos – ML 121 – E INSTITUCIÓN: Universidad Nacional de Ingeniería FECHA DE REALIZACIÓN DEL EXPERIMENTO: 05-04-2019 FECHA DE PRESENTACIÓN: 12-04-2019

2019 - I

Facultad de Ingeniería Mecánica 2019-I

ÍNDICE 1. Objetivos..........................................................……………………………………………….. ……….2 2. Fundamento teórico..................................................................……………………………..……….2 3. Elementos a utilizar...................................................................……………………………..……….6 4. Parte I: Teoremas de Thevenin y Norton..................................……………………………..……….7 4.1 . Procedimiento....................................................................... …………………….. ……….7 .

4.2 . Cálculos y resultados............................................................ …………………….. ……….8 4.3 . Cuestionario.......................................................................... …………………….. ……….9 5. Parte II: Teorema de Máxima Transferencia de Potencia.........…….....…………………..……….16 .

5.1 . Procedimiento.................................................................................................................16 5.2 . Cuestionario....................................................................................................................17 6. Conclusiones.............................................................................……..……………………..……….29 7. Recomendaciones............ ................................................ .......…………………………..……….29 .

.......

8. Referencias Bibliográficas.......................................................…………………………….. ……….30

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1. OBJETIVOS: ●

Analizar y verificar en forma experimental los teoremas propuestos, reduciendo los circuitos a su mínima configuración como circuitos equivalentes Thevenin y Norton a partir de los datos tomados en el laboratorio.

●

Analizar y verificar en forma experimental el teorema propuesto, comprobando en forma analítica y en forma gráfica, la importancia de la eficiencia a partir de los datos tomados en el laboratorio.

2. FUNDAMENTO TEÓRICO [1]: LEY DE OHM Los materiales en general poseen el comportamiento característico de oponer resistencia al flujo de la carga eléctrica. Esta propiedad física, o capacidad para resistir a la corriente, se conoce como resistencia y se representa con el símbolo R. La resistencia de cualquier material con un área de sección transversal uniforme A depende de ésta y su longitud. Se puede representar la resistencia (medida en el laboratorio), en forma matemática, como

R= ρ

l A

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donde ρ se llama resistividad del material, en ohm-metros. Los buenos conductores, como el cobre y el aluminio, tienen baja resistividad, mientras que los aislantes, como la mica y el papel, tienen alta resistividad. TEOREMA DE THEVENIN De acuerdo con el teorema de Thevenin, el circuito lineal de la figura 1a) puede remplazarse por el de la figura 1b). (La carga en la figura 1 puede ser un solo resistor u otro circuito.) El circuito a la izquierda de las terminales a-b en la figura 1b) se conoce como circuito equivalente de Thevenin y fue desarrollado en 1883 por el ingeniero de telégrafos francés M. Leon Thevenin (1857-1926).

Fig. 1. Reemplazo de un a) circuito lineal de dos terminales por su b) circuito equivalente de Thevenin El teorema de Thevenin establece que un circuito lineal de dos terminales puede remplazarse por un circuito equivalente que consta de una fuente de tensión VTh en serie con un resistor RTh, donde VTh es la tensión de circuito abierto en las terminales y RTh es la entrada o resistencia equivalente en las terminales cuando las fuentes independientes se apagan.

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Para hallar la tensión equivalente de Thevenin VTh y la resistencia RTh supóngase que los dos circuitos de la figura 1 son equivalentes y tienen la misma relación tensión-corriente en sus terminales. Si las terminales a-b están en circuito abierto (mediante la eliminación de la carga), ninguna corriente fluye, así que la tensión de circuito abierto entre las terminales a-b de la figura 1a) debe ser igual a la fuente de tensión VTh de la figura 1b), ya que ambos circuitos son equivalentes. Así, VTh es la tensión de circuito abierto entre las terminales, es decir,

V Th=v OC

(2)

Fig. 2. Cálculo de VTh y RTh. De nueva cuenta, con la carga desconectada y las terminales a-b en circuito abierto, se apagan todas las fuentes independientes. La resistencia de entrada (o resistencia equivalente) del circuito apagado en las terminales a-b de la figura 2a) debe ser igual a R Th en la figura 1b), porque ambos circuitos son equivalentes. Así, RTh es la resistencia de entrada en las terminales cuando las fuentes independientes se apagan, como se muestra en la figura 2b); es decir,

RTh =R en

(3)

Para aplicar esta idea en el cálculo de la resistencia de Thevenin R Th se deben considerar dos casos. 



CASO 1: Si la red no tiene fuentes dependientes, se apagan todas las fuentes independientes. RTh es la resistencia de entrada que aparece entre las terminales a y b, como se advierte en la figura 2b). CASO 2: Si la red tiene fuentes dependientes, se apagan todas las fuentes independientes. Como en el caso de la superposición, las fuentes dependientes no se desactivan, porque son controladas por las variables del circuito. Se aplica una fuente de tensión v o en las terminales a y b y se determina la corriente resultante i o. Así, RTh = vo/io. Alternativamente, puede insertarse una fuente de corriente io en las terminales a-b, y hallar la tensión v o. Los dos métodos dan el mismo resultado. En ambos puede suponerse cualquier valor de v o e io. Por ejemplo, puede usarse vo = 1 V o io = 1 A, o incluso valores no especificados de vo o io.

El teorema de Thevenin es muy importante en el análisis de circuitos. Ayuda a simplificar un circuito. Un circuito complicado puede remplazarse por una sola fuente de tensión independiente y un solo resistor. Esta técnica de remplazo es una eficaz herramienta en el diseño de circuitos. TEOREMA DE NORTON El teorema de Norton establece que un circuito lineal de dos terminales puede remplazarse por un circuito equivalente que consta de una fuente de corriente I N en paralelo con un resistor RN, donde

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Facultad de Ingeniería Mecánica 2019-I IN es la corriente de cortocircuito a través de las terminales y R N es la resistencia de entrada o resistencia equivalente en las terminales cuando las fuentes independientes están desactivadas.

Fig. 3. a) Circuito original, b) circuito equivalente de Norton. Así, el circuito de la figura 3a) puede remplazarse por el de la figura 3b). Para encontrar la corriente de Norton IN, se determina la corriente de cortocircuito que fluye de la terminal a a la b en los dos circuitos de la figura 3. Es evidente que la corriente de cortocircuito de la figura 3b) es I N. Ésta debe ser igual a la corriente de cortocircuito de la terminal a a la b de la figura 3a), ya que ambos circuitos son equivalentes. Así,

I N =i SC

(4)

Fig. 4: Cálculo de la corriente de Norton. como se indica en la figura 4. Las fuentes dependientes e independientes se tratan igual que en el teorema de Thevenin. Obsérvese la estrecha relación entre los teoremas de Norton y de Thevenin:

IN=

V Th V Th

(5)

Esto es en esencia la transformación de una fuente. Por esta razón, a la transformación de fuentes suele llamársele transformación de Thevenin-Norton. Puesto que VTh, IN y RTh se relacionan de acuerdo con la ecuación (5), para determinar el circuito equivalente de Thevenin o de Norton se requiere hallar:   

La tensión de circuito abierto voc entre las terminales a y b. La corriente de cortocircuito isc por las terminales a y b. La resistencia equivalente o de entrada Ren en las terminales a y b cuando todas las fuentes independientes están apagadas.

Se pueden calcular dos de las tres siguiendo el método que implique el menor esfuerzo y emplearlas para obtener la tercera aplicando la ley de Ohm. Además, las pruebas en circuito

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Facultad de Ingeniería Mecánica 2019-I abierto y en cortocircuito son suficientes para hallar cualquier equivalente de Thevenin o Norton de un circuito que contenga al menos una fuente independiente. MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA [1] En muchas situaciones prácticas, un circuito se diseña para suministrar potencia a una carga. Hay aplicaciones en áreas como comunicaciones en las que es deseable maximizar la potencia suministrada a una carga. Ahora se abordará el problema del suministro de la máxima potencia a una carga dado un sistema con pérdidas internas conocidas. Cabe señalar que esto dará por resultado pérdidas internas significativas, mayores que o iguales a la potencia suministrada a la carga. El equivalente de Thevenin es útil para hallar la máxima potencia que un circuito lineal puede suministrar a una carga. Supóngase que se puede ajustar la resistencia de carga R L. Si el circuito entero se remplaza por su equivalente de Thevenin exceptuando la carga, como se muestra en la figura 7, la potencia suministrada a la carga es 2

2

p=i R L =(

V Th ) RL RTh + R L

(6)

Fig.8. Circuito empleado para la transferencia de máxima potencia. En un circuito dado, VTh y RTh son fijos. Al variar la resistencia de carga R L, la potencia suministrada a la carga varía como se indica gráficamente en la figura 4.49. En esta figura se advierte que la potencia es mínima para valores pequeños o grandes de RL, pero máxima respecto de algún valor de RL entre 0 y . Ahora se debe demostrar que esta máxima potencia ocurre cuando R L es igual a RTh. Esto se conoce como teorema de máxima potencia. La máxima potencia se transfiere a la carga cuando la resistencia de la carga es igual a la resistencia de Thevenin vista desde la carga (RL = RTh), y se obtiene de la siguiente manera: 2 V Th pmáx = 4 RTh

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3. ELEMENTOS A UTILIZAR:

Fuente de tensión DC

01 Multímetro

01 Maqueta Resistiva

Conductores para conexiones

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4. PARTE I: TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON 4.1. PROCEDIMIENTO: 1. Armar los circuitos mostrados a continuación en las Figuras 1 y 2.

Fig. 1. Circuito C-T.

Fig. 2. Circuito a-b.

2. Conectar la fuente de tensión en los bornes a-b. 3. Medir las resistencias de los resistores del circuito. 4. Encender la fuente de tensión y regularla a 20 voltios.  Cálculo del voltaje Thevenin (ETH).

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Facultad de Ingeniería Mecánica 2019-I 5. Desconectar el resistor RL y dejar los bordes C-T a circuito abierto. Luego, medir la tensión en los bornes C-T (ETH).  Cálculo de la corriente de Norton (LN) 6. Cortocircuitar los bornes C-T, luego insertar el multímetro (trabajando con micro o miliamperímetro DC) en dichos bornes y medir la corriente.  Cálculo de la Resistencia Equivalente (REQ). 7. Con los bornes C-T a circuito abierto, retirar la fuente y cortocircuitar los bornes a-b, luego medir con el Multímetro (trabajando como ohmímetro) la resistencia entre los bornes C-T (REQ). 8. Conectar la fuente en los bornes C-T a una tensión de 20 voltios, midiendo la corriente que entrega dicha fuente (I) la resistencia equivalente será: REQ = 20 / I. 4.2. CÁLCULOS Y RESULTADOS: 1. Primer circuito (C-T): Tabla 1. Resultados de mediciones en el primer circuito.

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2. Segundo circuito (a-b): Tabla 2. Resultados de mediciones en el segundo circuito.

4.3. CUESTIONARIO: 1. Hacer un diagrama del circuito usado, indicando las mediciones efectuadas en la carga en los pasos 1, 2, 3 Circuito N°1:

E=20V R 1=4.966 K Ω

R 2=14.68 K Ω R 3=3.8412 K

R 4=5.582 K Ω R 5=2.56 k Ω

RL=6.77 k Ω

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Fig. 3. Diagrama del primer circuito (C-T).

Circuito N°2:

E 2=20 V R 1=4.966 K Ω

R 2=14.68 K Ω R 3=3.8412 K Ω

R 5=2.56 k Ω R 6=5.582 K Ω

R 7=2.56 k Ω

Fig. 4. Diagrama del segundo circuito (a-b).

2. Con las mediciones efectuadas armar el circuito Thevenin y Norton equivalentes y verificar la tensión y corriente en la carga. Explicar los errores que se puedan tener. Circuito N°1:

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Facultad de Ingeniería Mecánica 2019-I Fig. 5. Diagrama del circuito Thevenin.

Fig. 6. Diagrama del circuito Norton.

Circuito N°2:

Fig. 7. Diagrama del circuito Thevenin.

Fig. 8. Diagrama del circuito Norton.

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Facultad de Ingeniería Mecánica 2019-I 3. Con los datos de las resistencias medidas, hallar las incógnitas de RL en forma directa. Hallar teóricamente el circuito Thevenin y Norton, verificando los teoremas propuestos. Explicar las posibles causas de error.

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Fig. 9. Diagrama del circuito Thevenin.

Fig. 10. Diagrama del circuito Norton.

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Porcentaje de error: Circuito N°1: Comparamos las corrietes calculadas:

I de Norton dellaboratorio=1.0913 mA I de Norton teórico=1.082 mA Calculamos el porcentaje de error:

% error=

Ilab − Iteo ∗100= 0.85% Iteo

Posibles causas de error:  El porcentaje de error es mínimo por ende se puede concluir que el experimento fue realizado correctamente. Circuito N°2:

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Facultad de Ingeniería Mecánica 2019-I Comparamos las corrietes calculadas:

I de Norton dellaboratorio=0.6186 mA I de Norton teórico=7.8046 mA Calculamos el porcentaje de error:

% error=

Ilab − Iteo ∗100=92.074 % Iteo

Posibles causas de error:  Pese a haber usado la misma tabla de resistencia que en el circuito 1 el error es demasiado grande, esto se puede dar porque las conexiones realizadas no coincidían con las de la guía, errores al armar el circuito. 4. Investigar sobre las limitaciones para aplicar los teoremas de Thevenin y Norton en Circuitos Eléctricos.  



La red eléctrica original, sin la carga, y que puede contener tanto fuentes dependientes como independientes, debe ser una red completamente lineal. El circuito equivalente puede emplearse para calcular la respuesta de cualquier circuito externo conectado al par de terminales considerado, pero no brinda información alguna acerca de la red a la que representa, es decir, que sólo permite determinar el flujo de energía en el circuito exterior. Para el teorema de Norton rigen las mismas limitaciones. [4] Si la red eléctrica original contiene al menos una fuente dependiente, el teorema no podrá ser aplicado a aquella parte del circuito donde se encuentren tanto la incógnita del problema como la variable de dependencia de la fuente dependiente.

5. Busque algunas aplicaciones de los teoremas usados y explicar las ventajas que ofrece. Dentro de las aplicaciones del teorema de Thevenin, se puede hacer referencia a dos tipos:  

Aplicación fundamental: determinación del estado de régimen de una rama del circuito en particular. Aplicación ineludible: existencia de un elemento no lineal en el circuito a resolver. [3]

Otra aplicación es el destacar la determinación del estado de régimen de una rama del circuito en particular. En cuanto a las ventajas, estas son las que los teoremas ofrecen:  



El nuevo y más simple circuito permite llevar a cabo cálculos rápidos de voltaje, corriente o potencia que el circuito es capaz de entregar a la carga RL. Este nuevo circuito también ayuda a elegir el mejor valor para la resistencia de carga, ya sea el valor de RL para el cual la potencia es máxima o el valor de RL para el cual la fuente se comporta de forma cercana a la fuente real, usando el concepto de línea de carga. Los teoremas de Thevenin y Norton permiten encontrar el circuito equivalente mucho más rápida y fácilmente aún en circuitos más complicados.

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Facultad de Ingeniería Mecánica 2019-I  

Los teoremas de Thevenin y Norton son válidos aún si la red B es no lineal; la única que debe ser lineal es la red A. Estos teoremas se pueden aplicar a cualquier elemento del circuito. [2]

6. ¿Cómo se aplican los Teoremas de Thevenin y Norton en circuitos que presentan fuentes controladas? Supongamos que nos interesa calcular el estado de régimen de un dipolo conectado entre A y B a una red que posee fuentes independientes y fuentes controladas:

Fig. 11. 1) Cálculo de ETh (o IN:) Para ello desconectamos (o cortocircuitamos) la rama AB, dejando todas las fuentes del circuito (independientes y controladas) (fig. 6 a).

Fig. 12. 2) Cálculo de RTh: Pasivamos exclusivamente las fuentes independientes. A los efectos de que las fuentes controladas puedan actuar, se conecta una fuente genérica de valor Eaux, que entrega al dipolo una corriente de valor Iaux. Recordando que la resistencia vista desde un par de bornes se podía calcular como RAB = UAB/IAB será

RTh =

E aux

(6)

I aux

3) Se construye el dipolo equivalente Nota: A los efectos del cálculo de Rth, y recordando que los dipolos de Thévenin y Norton son equivalentes externos, también pudimos haber calculado Icc a partir de:

RTh =R N =

ETh IN

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Facultad de Ingeniería Mecánica 2019-I 5. PARTE II: TEOREMAS DE MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA 5.1. PROCEDIMIENTO: 1. Armar los circuitos mostrados a continuación en las Figuras 13 y 14.

Fig. 13. Circuito 1.

Fig. 14. Circuito 2.

2. Conectar la fuente de tensión en los bornes a-b. 3. Medir las resistencias de los resistores del circuito, y el rango de resistencia del potenciómetro (RL). 4. Encender la fuente de tensión y regularla a 20 voltios. 5. Manteniendo la tensión anterior, variar la resistencia variable (RL) desde 0 Ohmios hasta su valor máximo, tomando por lo menos 10 valores de voltaje y corriente en la rama donde se encuentra RL. 5.3. CUESTIONARIO: 1. Hacer un diagrama del circuito utilizado y en un cuadro aparte, dar los valores de VL e IL obtenidos por medición directa, y el correspondiente valor de R L determinado indirectamente.

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Facultad de Ingeniería Mecánica 2019-I CIRCUITO 1

0 KOhms

25 KOhms

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50 KOhms

75 KOhms

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100 KOhms

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POTENCIA MÁXIMA:

CIRCUITO 2

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0 KOhms:

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