Exponentiale si logaritmi PDF

Preview

Summary

Exponentiale si logaritmi...

Description

Pag.1

ln e 1

REFERAT

Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică 1. Funcţia exponenţială 1) Puteri cu exponent natural nenul; 2) Semnul puterii cu exponent natural; 3) Puterea produsului şi a câtului a două numere reale; 4) Înmulţirea puterilor care au aceaşi bază; 5) Ridicarea unei puteri la altă putere; 6) Împărţirea puterilor cu aceeaşi bază; 7) Compararea puterilor; 8) Funcţia putere. 9) Puteri cu exponent negativ; 10) Funcţia putere de exponent negativ. 2. Logaritmi 1) Radicalul unui număr pozitiv; 2) Funcţia radical; 3) Radicalul de ordin impar al unui număr negativ ; 4) Proprietăţile radicalilor ; 5) Operaţii cu radicali ; 6) Ecuaţii iraţionale. 3. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale şi logaritmice 1) Puteri cu exponent raţional pozitiv; 2) Puteri cu exponent raţional negativ; 3) Funcţia putere de exponent raţional 4. Sisteme inecuaţii exponenţiale şi logaritmice. Inecuaţii. 5. Aplicaţii. Evaluare. Test de evaluare

Pag.2

ln e 1

REFERAT

Funcţia exponenţială 1). Puteri cu exponent real a). Puteri cu exponent real pozitiv Fie a > 1. Se numeşte puterea x a lui a un număr real y care, pentru orice număr natural n , satisface inegalităţile : , ,, a x n  y  a xn , unde numărul real x>0 are reprezentărie zecimale x şi x prin lipsă şi repectiv prin ados cu o eroare mai micş decât 10  n . Numărul y dat de definiţia precedentă se notează a x şi se citeşte a la puterea x. Fie 0 < a < 1 şi x un număr real pozitiv. Se numeşte puterea x a lui a un număr , ,, real y care, pentru orice număr natural n , satisface inegalităţile : a xn  y a xn . Atenţie ! Oricare ar fi a > 0 şi x > 0 are loc a x > 0. b). Puteri cu exponent real negativ Dacă a > 0 şi x > 0 este un număr real negative, atunci prin definiţie are loc: 1 ax   x . a Prin convenţie se scrie a 0 1 . c). Proprietăţi ale puterilor cu exponent real 1. a x a y  a x  y ; 2. a x : a y  a x  y ; 3. ( a x ) y a x y ; 4. ( a b) x a x b x ; 5. a x : a x ( a x ) : (b x ) . 2). Funcţia exponenţială Definiţie. Funcţia f:R(0,+), f(x) = a x , unde a > 0, a  1 se numeşte funcţia exponenţială de bază a. Proprietăţi 1). a). Dacă a >1, atunci pentru x > 0 avem a x >1 ar loc a x > 1, iar pentru x < 0 are loc a x < 1. b). Dacă 0 0 are loc a 0 1 3). Pentru a > 1, funcţia exponenţială f:R(0,+), f(x) = a x este strict crescătoare, iar pentru 0 < a < 1, funcţia este strict descrescătoare. 4). Funcţia exponenţială f:R(0,+), f(x) = a x , a > 0, a  1 este bijectivă.

ln e 1

Pag.3 REFERAT

Demonstraţie.Se arată că f este injectivă. Fie, x1 , x2  R astfel încât x1  x2 . Atunci are loc x1  x2 sau x1  x2 . Să presupunem, de exemplu, că x1  x2 . Atunci, după monotonia funcţiei exponenţiale, rezultă că : 1). Dacă a > 1, atunci f ( x1 )  f ( x2 ) şi deci f ( x1 )  f ( x2 ) . 2). Dacă 01, atunci f ( x1 )  f ( x2 ) şi deci f ( x1 )  f ( x2 ) . Analog, rezultă pentru x1  x2 . Deci f este injectivă. Surjectivitatea nu se poate demonstra în clasa a X-a. Dar, dacă se foloseşte graficul, se observă că oriceparalelă dusă prin puncteale codomeniului (0, +) graficul funcţiei este interesctat în cel puţin un punct. 5). Funcţia exponenţială f:R(0,+), f(x) = a x , a > 0, a  1 este inversabilă. Inversa funcţiei exponenţiale se numeşte funcţie logaritmică. 3). Graficul funcţiei exponenţiale Graficul funcţiei exponenţiale se construieşte prin puncte. Exemplu.  1 Să se construiască graficul funcţiei f:R(0,+), f(x) = a x , pentru a  2,  . 2 



Se întocmeşte un tablou de valori pentu cele două cazuri : x f(x)

 +

3 1 8

2 1 4

1 1 2

0

1

1

2

2 4

3 8

ln e 1

Pag.4 REFERAT

x

 +

f(x)

3

2

 27

1

 4

0

1 1

 2

2

3

1 2

4

27

Graficele celor două funcţii sunt reprezentate mai jos :

f(x)=

f(x)= y

y 27

27

F

E

B 3

4 2 C

2 1 O

D

B

1 1

2

3

x

3 2

1

4 2 C 1

D

O 1

E 2

3

x

Analizând cele două grafice, constatăm că ele au următoarele proprietăţi : 1. Graficele se găsesc deasupra axei Ox ; 2. Trec prin punctul de coordonate (0, 1) ; 3. Graficul fiecărei funcţii este construit dintr-o singură ramură care ,,urcă’’ 4. Graficul se apropie din ce în ce mai mult de axa Ox pozitivă dacă dacă 01 este un număr real, atunci dintre două puteri cu exponent raţional pozitivale ale acestui număr, este mai mare acela al cărei exponent este mai mare. 3. Dacă 0 < a 0 astfel încât x2 x1  u . Atunci a x 1  a x 2 a x1  a x1 u a x1 (1 a u ) şi deoarece u > 0 după proprietatea funcţiei exponenţiale rezultă că au  1 . Aşadar, a x1  0  1  au  0, de unde a x1 (1  au )  0 . Înseamnă că a x1  a x2 0  a x1  a x2  f ( x1 )  f ( x2 )  f strict crescătoare.   

E3. C32-1. Să se aducă la forma cea mai simplă



8



4

1 3

  

8 26

.

E3. C3-1. Rezolvare. Avem succesiv:   





8

4

  3 1 2 2 

1 3

  

13  3

  

8 26

=  

6 26



8



 1 = 2 2 

13 3

  

13  1

  



8 26

8 26

=

 1  8 2   

=

13

   

3

8

   

13 8  2 26

26

1 8  2 2

8 26

=  1 

=

2

2 4

 3   2  

1 13  2 3

=  1 

  

8 26

=

2 2

. 2 2  2  2 E4. C3-1. Să se compare m şi n dacă este adevărată inegaitatea: ( 3  2 ) m ( 3  2 )n . E4. C3-1. Rezolvare. Baza fiind subunitară 0  3  2  1 , pentru adevărul inegalităţii rezultă m  n. E5. C3-1. Să se afle mulţimea valorilor lui x pentru care: (0,01)3 ( 10 )x  1 . E5. C3-1. Rezolvare. Avem succesiv : 

3

=

1 13 =  8  2 3   



1

1  x  1  x   10 2 1  (10 2 )3 10 2  1  100  

(0,01)3 ( 10 )x  1  



 2 3

10

1 x 2

10

x

x

  6    6   0  x  ( ,12) .  1 10 2  100 2 x

1 1  E6. C3-1. Sunt echivalente inegalităţile      9

3 

x 1

şi 2 x  x  1 ?

Fişă de studiu S1. C3-1. Să se afle care număr din perechile de numere este mai mare: a). ( 0,5)  13 şi 213 ; b). 5 3 şi 5 2 , 5 ; c). 11 6 3 şi 15 6 7 . S2. C3-1. Să se afle mulţimea valorilor lui x pentru care este adevărată inegalitatea : x 1  a). 3x 729 b).    3  1 ; c). 32 ( 3 2 ) x  0,25 .

 81 

S3. C3-1. Să se compare m şi n dacă este adevărată inegalitatea: m

n

 5   5  m n  ; c). ( 7  a). (3 ) (3 ) b).      16 

 16 

S4. C3-1. Comparaţi numerele cu 1:

3 ) m ( 7 

3 )n .

ln e 1

Pag.7 REFERAT

 1

1

5

a). ( 5 ) 2 b).    5



; c). ( 3 

3 2

  1 



2

2 ) ; d.  4 

.

x

1  S5. C3-1. Să se afle x astfel încât a x    , unde a >0 este un număr real pozitiv.  a

S6. C3-1. Să se demonstreze că funcţia f:R(0,+), f(x) = 3 x este strict crescătoare.  1   5

x 1

S7. C3-1. Să se studieze monotnia funcţiiei f:R(0,+), f(x) =  S7. L2-1. Să se traseze graficul funcţiilor f : R  R : a). f ( x ) 3x ; b). f ( x)  2x  1 ; c). f ( x) 2| x| ;  d). f (x ) 2 x  2 ; e). f ( x) 2 |x | ; c). f ( x ) 2 3x . S7. C3-1. Să se traseze graficul funcţiilor f : R  R : x

1 1 a). f (x )   ; b). f ( x)  

x 1

2 

 3

x

 1  1 d). f ( x)     1 ; e). f ( x)    2

| x|

1 ; c). f (x )    1 ;  2

 x

 3

x

1  ; c). f (x ) 2   .  4

Logaritmi 1). Logaritmi x Fie a>0 un număr realşi a  1. Ecuaţia de forma a N , N  0 (1) are o soluţie unic determinată notată prin: x log a N (2). log a N se numeşte logaritmul numărului pozitiv N în baza a. Din (1) şi (2) se obţine a loga N  N , care ne arată că logaritmul unui număr real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicată baza a pentru a obţine numărul dat. De exemplu, a calcula log 2 32 ,înseamnă a găsi un număr real x aşa încât să avem x2 = 32. rezultă x = 5. a). În practică se folosesc logaritmii în baza zece care se mai numesc logaritmi zecimali. Se notează cu lg în loc de log10 a). În matematică se folosesc logaritmii în baza e 2,718281... care se numesc logaritmi naturali şi se notează cu ln în loc de log e . 2). Proprietăţile logaritmilor 1. Dacă A şi B sunt două numere positive, atunci are loc: loga (A B ) loga A  loga B . Proprietatea se poate extinde pentru n numere pozitive A1 , A2 , ..., An şi avem : log a ( A1 A2 ... An )  log ( A )  log (A ) ... log a ( An ) . a

1

 A  log a A  loga B . B

2. log a 

a

2

ln e 1

Pag.8 REFERAT

3. Dacă A este un număr pozitiv şi m un număr real arbitrar, atunci are loc : loga A m m loga B .

4. Dacă A este un număr pozitiv şi n  2 un număr natural, atunci are loc : 1 log a n A  log a A . Proprietatea 4 poate fi privită ca un caz particularal proprietăţii 3. n

3). Schimbarea bazei logaritmului aceluiaşi număr Dacă a şi b sunt două numere pozitivediferite de 1, iar A un număr pozitiv oarecare, are loc egalitatea: loga A logb A log a b

Numită formula de schimbare a bazei unui logaritm. Dacă în egalitatea de mai sus, A = a, atunci formula devineaaa ; log b a log a b 1  log a b 

1 . logb a

4). Operaţia de logaritmare a unei expresii Operaţia de logaritmare are scopul de a transforma operaţii complicate de înmulţire, împărţire şi ridicare la putere în operaţii de adunare, scădere şi împărţire la numere naturae. Să se logaritmeze expresia: E =

15 5 231 3 51 32 72 733

Se logaritmează expresia într-o bază oarecare a : 15 5 231 3 51  loga (155 231 3 51)  log a ( 32 72 733) = 3272733 1  log a 15  loga 5 231  loga 3 51)   (loga 32  loga 72  log 733)  2  1 1 1 1  1 = log a 15  log a 231 log a 51   log a 32  log a 72  log a 733)  . 2 2 3 5  2 log a E log a

În general, dacă E este o expresie algebrică în care apar produse de puteri şi radicali, putem să-i asociem o expresie, notată logE , în care apar sume, diferenţe de logaritmi înmulţite cu anumite numere raţionale. 5). Funcţia logaritmică Prin definiţie, se numeşte funcţie logaritmică funcţia f : R  (0,), f ( x) log a x , unde a > 0, a  1. Proprietăţi : 1. f (1) 0 , ceea ce înseamnă că log a 1 0 . 2. Funcţia logaritmică este monotonă şi anume dacă a>1, funcţia este strictcrescătoare, iar dacă 0...