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Proprietà dei logaritmi

15/10/14 16:17

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Analisi Matematica 1

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Funzioni elementari, grafici e proprietà

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Dopo aver introdotto la definizione di logaritmo, presenteremo ora le proprietà dei logaritmi proponendo via via opportuni esempi. Per chi ha fretta o vuole tutto e subito è sufficiente leggere l'elenco e i relativi esempi per essere in grado di svolgere gli esercizi; chi invece vuole avere una conoscenza teorica completa può trovare in fondo all'articolo le dimostrazioni delle proprietà.

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Nel caso in cui non avessi letto la lezione introduttiva sui logaritmi, ti consigliamo vivamente di farlo prima di procedere nella lettura. E, a proposito: lo sai che abbiamo anche un formulario sui logaritmi?

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PRINCIPALI PROPRIETÀ DEI LOGARITMI

Immagini Scienza

Le proprietà che presentiamo valgono per qualunque scelta della base del logaritmo (la a nell'espressione

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), ma vi ricordiamo che la base a e l'argomento b devono sempre essere presi maggiori strettamente di zero (inoltre deve essere

). Questi requisiti devono valere sempre.

Indovinelli, test di Logica, test di intelligenza, Sudoku, Scacchi...pronto per un po' di training?

P-0) Riscrittura alternativa di un logaritmo

Questa proprietà è in realtà una semplicissima riscrittura della definizione di logaritmo, anche se non sembra. è quel numero c tale che . Attenzione però! Possiamo farlo solamente Per definizione infatti il se

, in base a quanto chiesto dalla definizione di logaritmo.

La precedente uguaglianza si verifica quindi facilmente, infatti sostituendo

con c troviamo proprio

. Quella appena introdotta più che una proprietà è un utile barbatrucco algebrico che permette di uscire da situazioni che sembrano più complicate di quello che non siano; è una formuletta che non ha un utilizzo intuitivo ma proprio per questo gli esercizi che la richiedono sono pochi. E comunque con l'esperienza vi accorgerete quando sarà il momento di usarla.

P-1) Il logaritmo del prodotto è la somma dei logaritmi

Dunque, quale che sia la base, se vi trovate di fronte al logaritmo in base a di un prodotto bc potete riscriverlo equivalentemente come la somma dei logaritmi, entrambi in base a, di b il primo e di c il secondo. La proprietà si estende naturalmente (perchè?) al caso di tanti fattori e non solo due. Esempio-1:

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Se consideriamo il logaritmo in base riscriverlo come

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di

, grazie alla proprietà del logaritmo del prodotto possiamo

dove l'ultimo passaggio si giustifica con la definizione di logaritmo: Se invece prendiamo

.

, possiamo riscriverlo nella forma

In fondo a questa pagina trovi la dimostrazione, qui invece trovi una spiegazione dettagliata con altri esempi più semplici: logaritmo del prodotto.

P-2) Regola dell'esponente

che ci dice sostanzialmente che, ogni volta che l'argomento ha un esponente, possiamo portarlo davanti al logaritmo e farlo diventare un coefficente (moltiplicatore). Per la dimostrazione vedi in fondo alla pagina, per la spiegazione dettagliata con esempi vedi qui: logaritmo di una potenza. E...attenzione! Questa regola viene anche applicata per riscrivere il logaritmo di una radice.

P-3) Il logaritmo del rapporto è la differenza dei logaritmi

In parole povere: indipendentemente dalla base, quando abbiamo un logaritmo contenente una frazione, possiamo riscrivere tale logaritmo come la differenza tra il logaritmo del numeratore meno il logaritmo del denominatore. Esempio-3 Un esempio semplice: se avessimo il logaritmo in base 7 di 1/49 potremmo riscriverlo come:

Se invece considerassimo

, tale logaritmo equivarrebbe a

Al solito, per la dimostrazione vai in fondo alla pagina, mentre se ti interessa la spiegazione farcita di esempi: logaritmo del rapporto.

P-4) Formula del cambiamento di base

Cosa significa la formula precedente? Vediamola così: ho un logaritmo con una base che proprio non mi piace, magari perchè è scomoda per farci i calcoli. La formula del cambiamento di base ci dice che possiamo scrivere il logaritmo che abbiamo di partenza con una nuova base , a nostra scelta, a patto che sia positiva e diversa da 1. Per farlo, riscriviamo il logaritmo come un rapporto di logaritmi in cui il logaritmo a numeratore ha base la

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base desiderata e argomento l'argomento di partenza, e il logaritmo a denominatore ha come base la base desiderata e come argomento la base di partenza. Il trucco per ricordare questa formula: riscrivo il logaritmo come un rapporto di logaritmi. Questi logaritmi hanno la nuova base c che vogliamo. Il logaritmo che sta sopra (a numeratore) ha come argomento ciò che inizialmente stava sopra (l'argomento iniziale), il logaritmo che sta sotto (a denominatore) ha come argomento ciò che inizialmente stava sotto (la base iniziale). Esempio-4 Vogliamo scrivere (non chiedetevi perchè: saranno gli eventuali esercizi a darcene motivo) il logaritmo usando come base

. Usando la formula del cambiamento di base troviamo:

dove abbiamo usato la formula al primo passaggio. Questa proprietà è importantissima e non a caso le abbiamo dedicato una lezione a parte: formula del cambiamento di base per logaritmi.

P-5) Formula di inversione base-argomento

Questa formula si commenta da sola, ed è in verità una particolare riscrittura della formula del cambiamento di base (per chi è interessato, il perchè verrà mostrato nella relativa dimostrazione). Esempio-5 Dato

, decidiamo che non vogliamo avere a che fare con una base compresa tra 0 ed 1. Ci andrebbe

bene la base 5 al suo posto. Dunque con la suddetta formula possiamo equivalentemente considerare:

Una personalissima conclusione. Diffidate sempre di chi vi spara 489 proprietà e ve le spaccia per assolutamente necessarie e diverse. Primo perchè non è mai così. Secondo, perchè chi lo fa vuole trattarvi come un babbuino ben ammaestrato. Terzo, perchè è più comodo per chi lo fa, e il prezzo della sua comodità è la vostra fatica. E soprattutto non vi farà migliorare: vi atrofizzerà il cervello e basta. Il nostro obiettivo è imparare a capire, non faticare senza motivo. Potremmo ad esempio dire: ci sono altre due proprietà che caratterizzano i logaritmi: P-6) Ma questa è una derivazione della regola P-4).

P-7)

Anche questa è una derivazione della regola P-2) e della definizione di radicale. Fateci caso: anche la regola P-5 è una derivazione della regola P-4...E con questo se vedemu, a meno che non vi interessino le dimostrazioni!

Se qualcosa non fosse chiaro, apri pure una discussione nel Forum, e se vuoi esercitarti dai un'occhiata agli esercizi correlati e prova ad effettuare una ricerca qui su YM: abbiamo risolto e spiegato tonnellate di esercizi...

Orevwa , see you soon guys! Agente Ω

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Scheda 1 di esercizi sulle proprietà dei logaritmi Scheda 2 di esercizi sulle proprietà dei logaritmi

..........

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DIMOSTRAZIONI DELLE PROPRIETÀ DEI LOGARITMI P-0) Già dimostrato.

P-1) Grazie alla proprietà P-0), scrivendo e , moltiplichiamo tra loro i membri a sinistra dell'uguale da una parte e quelli a destra dell'uguale dall'altra. Troviamo

ossia per le proprietà delle potenze (prodotto di potenze aventi stessa base=potenza con somma degli esponenti)

Ora applichiamo ad entrambi i membri il logaritmo in base a, ottenendo

Usiamo la proprietà P-0) a destra dell'uguale e...

fine.

P-2) Consideriamo, grazie alla proprietà P-0), l'uguaglianza

ed eleviamo entrambi i membri alla c .

Troviamo

da cui, grazie alle proprietà delle potenze (potenza di potenza=prodotto degli esponenti) segue

Dalla definizione stessa di logaritmo, possiamo interpretare l'ultima uguaglianza dicendo che l'esponente cui elevare a per ottenere

, ossia

è

è il logaritmo in base a di bc. Quindi

.

P-3) Basta scrivere il rapporto

come

, e applicare la regola P-1). Dunque

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infine applicando la proprietà P-2) abbiamo

P-4) Chiamiamo v il valore del logaritmo

. Vogliamo esprimere questo logaritmo in una nuova

base c . Per definizione di logaritmo, abbiamo che la precedente uguaglianza equivale a a quest'ultima uguaglianza il logaritmo in base c (quella nuova), ottenendo

Applichiamo

da cui per la proprietà P-2)

e infine dividendo per

si conclude che

, ossia

P-5) Basta applicare la formula del cambiamento di base P-5) prendendo come nuova base b . In questo modo il numeratore della formula diventa 1!

P-6) Banale, basta applicare la formula del cambiamento di base P-4) con nuova base a e poi osservare che . Infine si applica la proprietà P-2).

P-7) Ancor più banale. Basta applicare la regola dell'esponente P-2) dopo aver ricordato come sono definite le potenze con esponente frazionario, ovvero che

Tags: tutte le proprietà dei logaritmi e formule per i logaritmi con le principali operazioni, come ad esempio somma di logaritmi e differenza, con le relative dimostrazioni.

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Ciccio Fundarò · Trapani god bless you Rispondi · Mi piace ·

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