Exponentieel Logaritmische functies PDF

Preview

Summary

Te kennen leerstof wiskunde voor handelswetenschappen. Septembercursus 2020-2021...

Description

Leerplatform Wiskunde

Exponentiële en logaritmische functies 1 Exponentiële functies Definitie 1.1: Exponentiële functie De functie f (x) = ax , met a > 0, a 6= 1 noemen we de exponentiële functie met grondtal a.

Opmerking 1.2 Indien a = 1, krijgen we de constante functie f (x) = 1x = 1. We geven enkele eigenschappen van deze functies. De rekenregels voor machten vinden we terug in Machten en wortels. Afhankelijk van het grondtal a is het verloop van de functie anders. We tonen dit aan de hand van twee voorbeelden. Voorbeeld 1.3: Grondtal a > 1 Beschouw de functie f (x) = 2x . Als we enkele functiewaarden berekenen, zien we dat de functie strikt stijgend is:

Afbeeldingen gemaakt in Geogebra (https://www.geogebra.org)

1

Wiskunde @ UHasselt f (x) 2 = 12 20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8

x −1 0 1 2 3

−1

Dit zien we ook op de grafiek (zie figuur 1).

Figuur 1: Grafiek van f (x) = 2x Voorbeeld 1.4: Grondtal 0 < a < 1 Beschouw de functie

 x 1 f (x) = . 2

Als we enkele functiewaarden berekenen, zien we dat de functie strikt dalend is: x −1 0 1 2 3

f (x)  1 −1 =2 21 0 =1  12 1 1 =  12 2 12 =  12 3 14 = 8 2

Dit zien we ook op de grafiek (zie figuur 2)

2

Wiskunde @ UHasselt

Figuur 2: Grafiek van f (x) =

 1x 2

In het algemeen kunnen we de grafiek van ax voorstellen als de grafieken in figuur 1 (voor a > 1) of figuur 2 (voor 0 < a < 1). Ze hebben ook de volgende eigenschappen: • dom(f ) = R • bld(f ) = R0+ =]0, +∞[, dus ax > 0 voor alle x ∈ R • er zijn geen nulpunten • de grafiek gaat door (0, 1) • de functie is stijgend als a > 1 en dalend als 0 < a < 1 • de functie heeft een horizontale asymptoot y = 0 voor x → −∞ als a > 1 en voor x → +∞ als 0 < a < 1 Het gedrag bij de rand van het domein kunnen we als volgt samenvatten Eigenschap 1.5 Voor de functie f (x) = ax geldt • a > 1: lim ax = 0, en x→−∞

lim ax = +∞ x→+∞

• 0 < a < 1: lim ax = +∞, en x→−∞

lim ax = 0 x→+∞

3

Wiskunde @ UHasselt

Opmerking 1.6  x De grafiek van y = 21 in figuur 2 kunnen we ook vinden door de grafiek van y = 2x in figuur 1 te spiegelen ten opzichte van de y -as.

!! Let op !! We zien hier duidelijk het verschil tussen de exponentiële functie x 7→ 2x uit voorbeeld 1.3 en de kwadratische functie x 7→ x2 waarvan de grafiek een parabool is. Een belangrijk voorbeeld is de exponentiële functie met grondtal e (getal van Euler). Definitie 1.7: Natuurlijke exponentiële functie De functie f (x) = ex , waarbij e het getal van Euler is, noemen we de natuurlijke exponentiële functie. Het getal van Euler wordt ongeveer gegeven door e ≈ 2, 71828. In het bijzonder is e > 1 dus het functieverloop zoals in figuur 1 en dus strikt stijgend. Opmerking 1.8 Indien we van de exponentiële functie spreken, bedoelen we ex . De exponentiële functie kan gezien worden als volgt: Eigenschap 1.9 Voor x ∈ R geldt: ex = lim n→+∞



2 Logaritmische functies 4

1+

x n . n

Wiskunde @ UHasselt

Definitie 2.1: Logaritmische functie De functie f (x) = loga(x), met a > 0, a 6= 1, noemen we de logaritmische functie met grondtal a. Voor de definitie en rekenregels van logaritmen verwijzen we naar Logaritmen. Opnieuw hangt het verloop van de functie af van het grondtal. Dit laten we zien aan de hand van twee voorbeelden. Voorbeeld 2.2: Grondtal a > 1 Beschouw de functie f (x) = log2 (x). Als we enkele functiewaarden berekenen, zien we dat de functie strikt stijgend is: x 1 2

1 2 4 8

 f (x) log2 12 = −1 log2 (1) = 0 log2 (2) = 1 log2 (4) = 2 log2 (8) = 3

Dit zien we ook op de grafiek (zie figuur 3).

Figuur 3: Grafiek van f (x) = log2 (x)

5

Wiskunde @ UHasselt

Voorbeeld 2.3: Grondtal 0 < a < 1 Beschouw de functie f (x) = log 1 (x). 2

Als we enkele functiewaarden berekenen, zien we dat de functie strikt dalend is: x 1 2

1 2 4 8

f(x)  log 12 21 = 1 log 1 (1) = 0 2 log 1 (2) = −1 2 log 12 (4) = −2 log 1 (8) = −3 2

Dit zien we ook op de grafiek (zie figuur 4).

Figuur 4: Grafiek van f (x) = log21(x) In het algemeen kunnen we de grafiek van loga(x) voorstellen als de grafieken in figuur 3 (voor a > 1) of figuur 4 (voor 0 < a < 1). Ze hebben ook de volgende eigenschappen: • dom(f ) = R0+ =]0, +∞[ (je kunt enkel een logaritme nemen van een strikt positief getal) • bld(f ) = R • de grafiek gaat door (1, 0), dit is het enige nulpunt • de functie is stijgend als a > 1 en dalend als 0 < a < 1 • de functie heeft verticale asymptoot x = 0 Het gedrag bij de rand van het domein kunnen we als volgt samenvatten: 6

Wiskunde @ UHasselt

Eigenschap 2.4 Voor de functie f (x) = loga(x) geldt • a > 1: lim loga(x) = −∞, en

x→0+

lim loga(x) = +∞ x→+∞

• 0 < a < 1: lim loga(x) = +∞, en

x→0+

lim loga(x) = −∞ x→+∞

Als we het voorgaande vergelijken met de eigenschappen van exponentiële functies, zien we dat deze hetzelfde zijn, enkel is de rol van x en y gewisseld. Dit komt omdat de functies elkaars inverse zijn (zie Inverse functie). Eigenschap 2.5 De inverse functie van y = ax is y = loga(x) en omgekeerd.

Voorbeeld 2.6 De functie y = 2x is invers aan de functie y = log2 (x). Ook voor de functie y = dat het de inverse is van y = log 21 (x).

 1x 2

geldt

Als we de tabellen in voorbeelden 1.3 en 2.2 voor a > 1 (of in voorbeelden 1.4 en 2.3 voor 0 < a < 1) vergelijken, zien we dat deze op de volgorde van de kolommen na hetzelfde zijn. De rol van x en f (x) wordt immers omgedraaid voor een inverse functie. Grafisch vinden we de grafiek van een inverse functie door te spiegelen ten opzichte van de rechte y = x. Als we de grafiek van y = 2x spiegelen ten opzichte van y = x, krijgen x we de grafiek van log2 (x) en analoog voor y = 21 en y = log 1 (x) (zie figuur 5). 2

7

Wiskunde @ UHasselt

(b) Grondtal 21 (geval 0 < a < 1)

(a) Grondtal 2 (geval a > 1)

Figuur 5: Exponentiële en logaritmische functies zijn invers Ook als we bij logaritme het grondtal e nemen, krijgen we een belangrijke functie. Definitie 2.7 De functie f (x) = ln(x), waarbij ln(x) = loge (x) de logaritmische functie met grondtal e (getal van Euler) is, noemen we de natuurlijke logaritmische functie. Het gedrag van de natuurlijk logaritmische functie is zoals in voorbeeld 2.2 met grondtal a > 1. De grafiek van de natuurlijke exponentiële en de natuurlijke logaritmische functie zien we in figuur 6. Hierop zien we ook dat ze invers zijn aan elkaar.

Figuur 6: Grafiek van de natuurlijke exponentiële en logaritmische functie 8...