Cursuswiskunde 2 - Cursus Elementaire functies PDF

Preview

Summary

Cursus Elementaire functies...

Description

  1.RELATIES 1.1 Watiseenkoppel? 1.2 WatisdeproductverzamelingAxB? 1.3 Watiseenrelatie? 1.3.1Definitie 1.3.2Argument,domeinenbereik/beeld 1.4 Samenstellenvanrelaties 1.4.1Definitie:samenstellenvanrelaties 1.4.2 Eigenschappenvanhetsamenstellenvanrelaties 1.4.2.1Hetsamenstellenvanrelatiesisassociatief 1.4.2.2Hetsamenstellenvanrelatiesisnietcommutatief 1.4.3.3Deomgekeerderelatievandesamenstellingvantweerelatiesis gelijkaandesamenstellingvandeomgekeerderelatiesinomgekeerde volgorde. 1.5EigenschappenvaneenrelatieR:A>A 1.5.1Risreflexief,antireflexief,nietreflexief 1.5.2.Rissymmetrisch,antisymmetrisch 1.5.3Ristransitief 1.6Equivalentierelatie 1.6.1Derelatie“....iscongruentmet...modulon”indeverzamelingvande gehelegetallen. 1.6.2Derelatie'isevenwijdigmet'indeverzamelingLvanallerechtenvan hetvlak 1.7Orderelatie 1.7.1Definities 1.7.2Hassediagram:grafischevoorstellingvaneenorderelatie 1.7.3Geordendeverzamelingen 1.7.3.1Interval 1.7.3.2Aisdicht 1.7.3.3Maximumenminimum 1.7.3.4Supremumeninfimum 2.FUNCTIES 2.1definities 2.1.1functie 2.1.2afbeelding 2.1.3Eenvoorbeelduitdeklas…vanKoenV. 2.2 InjectieSurjectieBijectie 2.3Samenstellenvanfuncties 2.4Elementairefunctiesentransformaties 2.4.1 Enkeleidentiteitskaarten 2.4.2 Transformatiesvandeelementairefuncties 

2.4.2.1Eentekenverandereninhetfunctievoorschrift 2.4.4.2Invloedvanconstanten Uitrekkinglangsdeyas Uitrekkinglangsdexas Verschuivinglangsdeyas(verticaleverschuiving) Verschuivinglangsdexas(horizontaleverschuiving) 2.4.3Homografischefuncties 2.5Voorbeeldtaakfuncties 3.STRUCTUREN 3.1Inwendigebewerking 3.2Groep 3.3Voorbeeldenentegenvoorbeelden Oplossingen: 3.4 Oefeningen 4.GETALLENLEER 4.1deelbaarheidin 4.1.1Euclidischedeling 4.1.2Veelvouden 4.1.3Delersenderelatie“iseendelervan”in

                      Cursusrelatiesfunctiesgetallenleer1BASOwiskunde 1

1. RELATIES 1.1 Wat is een koppel?  Eengeheelvantweeelementenaldannietgelijkaanelkaarendieineen bepaaldevolgordegenomenworden,noemtmeneenkoppel.  (a,b)={{a},{a,b}} ab  (a,b)={{a}}a=b           Bijhetkoppel(a,b)is:adeOORSPRONG bhetUITEINDE   1.2 

Wat is de productverzameling A x B?

DeproductverzamelingAxBisdeverzamelingvanallekoppels(a,b)waarbija totAenbtotBbehoort.  AxB={(a,b)Ia A b B} voorbeeld:

 Cursusrelatiesfunctiesgetallenleer1BASOwiskunde 2

  1.3

Wat is een relatie?

1.3.1 Definitie

 EenrelatieRvandeverzamelingAnaardeverzamelingBiseendeelverzameling vandeproductverzamelingAxB.  R AxBofR D(AxB)metD(AxB)={X|XiseendeelverzamelingvanAxB} ={X|X AxB}         TweeelementenvaneenverzamelingAenBkunnengerelateerdwordenalsvolgt: 

  Bron:Vanuitwelkeverzamelingerwordtvertrokken. Doel:Aanwelkeverzamelingdebronwordtgerelateerd.   Inditfilmpjewordendevorigebegrippennogeens herhaald(Engels) https://www.youtube.com/watch?v=n8U Q39Ky6_E  (vindenjullieeenbeterfilmpje,vervanghetdan snel!)  Voorbeeld:

Cursusrelatiesfunctiesgetallenleer1BASOwiskunde 3

 R1:{(1,a),(1,b),(2,a)}  R2:{(1,b),(2,b);(3,a)}R1enR2zijnbeiderelatiesvanAnaarB  1.3.2 Argument, domein en bereik/beeld

 R1:{(1,a);(1,b);(2,a)}  R2:{(1,b);(2,b);(3,a)}  Argument:Elkelementvandebrondatvoorkomtalsoorsprongineenkoppel  vanderelatie:  In R1:1en2 R2 :1,2,en3  Domein:Deverzamelingvanalleelementenvandebrondievoorkomenals     oorsprongineenkoppelvanderelatieOFdeverzamelingvanalleargumenten:    domR1={1,2} domR2={1,2,3}  Bereik/beeld:Deverzamelingvanalleelementenvanhetdoeldievoorkomenals     uiteindeineenkoppelvaneenrelatie:  bldR1 =  {a,b} bldR2={a,b}  Omgekeerderelatie:  Isdeverzamelingvandeomgekeerdekoppels       Cursusrelatiesfunctiesgetallenleer1BASOwiskunde 4

 1.4

Samenstellen van relaties  

 R1:A>B en R1={(1,2),(5,10), (33,66),(14,28)} R2:B>CenR2={(2,6), (31,93),(10,30),(28,84)}  R2oR1:A>Cen R2oR1={(1,6),(5,30),(14,84)}        1.4.1 Definitie : samenstellen van relaties



  

Cursusrelatiesfunctiesgetallenleer1BASOwiskunde 5

1.4.2

Eigenschappen van het samenstellen van relaties

 1.4.2.1 Het  samenstellen van relaties is associatief

 Insymbolen:  R1 D(AxB),R2 D(BxC),R3 D(CxD):R3o(R2oR1)=(R3oR2)oR1  Gegeven: TeBewijzen: R1 D(AxB) R3o(R2oR1)=(R3oR2)oR1 R2 D(BxC) R3 D(CxD)     Bewijs:  OmtebewijzendatR3o(R2oR1)=(R3oR2)oR1,moetenweaantonendatelk koppelvandeverzamelingR3 o(R2  oR1 ),ookeenelementisvandeverzameling(R3 oR2)oR1 Neem(x,u) R3o(R2oR1)  Uitdedefinitievanhetsamenstellenvanrelatiesvolgt:(1) z C:(x,z) R2oR1 (z,u) R3  Uitdedefinitievanhetsamenstellenvanrelatiesvolgt:(2) y B:(x,y) R1 (y,z) R2   Wecombineren(1)en(2) z C, y  B:(x,y) R1 (y,z) R2 (z,u) R3    Wecombinerennu z  C:(y,z) R2 (z,u)  R3=>(y,u) (R3oR2  y B:(x,y) R1 (y,u) (R3oR2=>(x,u) (R3oR2)oR1    

Cursusrelatiesfunctiesgetallenleer1BASOwiskunde 6

1.4.2.2 Het samenstellen van relaties is niet commutatief

 StelR1 D(AxB)enR2 D(BxC).Omdecommutativiteitvanhetsamenstellenvan relatiesteonderzoekenmoetenwenagaanofR2oR1=R1oR2. VermitsdesamenstellingalleenmaarkanuitgevoerdwordenindienA=B=C,kunnenwe decommutativiteitalleenmaaronderzoekenvoorrelatiesinéénverzameling.  Omtebewijzendathetsamenstellenvanrelatiesnietcommutatiefis,volstaathetvan eentegenvoorbeeldtegeven:

   1.4.3.3 De omgekeerde relatie van de samenstelling van twee relaties is gelijk aan de samenstelling van de omgekeerde relaties in omgekeerde volgorde.

   Insymbolen: R  1 D(AxB),R 2 D(BxC):(R 2oR1)1=R1 1oR21 

  Cursusrelatiesfunctiesgetallenleer1BASOwiskunde 7

 1.5 

Eigenschappen van een relatie R : A ‐> A

1.5.1 R is reflexief, anti‐reflexief, niet‐reflexief

           1.5.2. R is symmetrisch, antisymmetrisch





Cursusrelatiesfunctiesgetallenleer1BASOwiskunde 8

1.5.3 R is transitief

      Oefeningenp3(opdrachten1.151.16) Oefeningenp7(123)  Oefening1p7  a)AxB={(1,3),(2,3)} BxA={(3,1),(3,2)} (AxB)U(BxA)={(1,3),(2,3),(3,1),(3,2)} AUB={1,2,3}(AUB)²={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}  Weziendatdeelementenuitdeverzameling(AxB)U(BxA)ookterugkomeninde verzameling(AUB)²,deverzameling(AxB)U(BxA)isduseendeelverzamelingvan (AUB)².

1.6 Equivalentierelatie  Definitie: RiseenequivalentierelatieinA asa RisreflexiefinA RissymmetrischinA Cursusrelatiesfunctiesgetallenleer1BASOwiskunde 9

RistransitiefinA 

voorbeelden :showzondernaamwinningbylosing  1.6.1 De relatie “.... is congruent met ...modulo n” in de verzameling van de gehele getallen.

         

Cursusrelatiesfunctiesgetallenleer1BASOwiskunde 10

(Bron:uhasselt…)  Wetonenaandat“congruentiemodulon”eenequivalentierelatieis:  (R) a  :aRa⇔n|(aa)⇔ q   :aa=n.q⇔ q   :0=n.q metq=0 ⇒Reflexief   (S) a  :aRb bRaOFn|(ab) n|(ba)  n|(ab)⇒ q  :ab=n.q    ⇒ q  :ba=n.(q)  ⇒n|(ba)  (T) a,b,c  :aRb bRc=>aRc    ofn|(ab)enn|(bc)⇒n|(ac)  q1  :ab=nq1en q  2  :bc=nq2  ⇔ac=n(q1 +q2 )=>n/(ac) =>(ab)+(bc)=nq1 +nq2  Cursusrelatiesfunctiesgetallenleer1BASOwiskunde 11

 Elkeequivalentierelatiegeeft aanleidingtothetontstaanvan equivalentieklassen(partities).Het vendiagramhiernaasttoontde partitieklassendieontstaanalswein Zderelatiecongruentiemodulo4 toepassen.Wevinden4klassen:alle getallendiedeelbaarzijndoor4(4 ),allegetallendierest1hebbenbij delingdoor4(4 +1),allegetallen dierest2hebbenbijdelingdoor4(4 +2)enallegetallendierest3hebbenbijdelingdoor4(4 +3).De equivalentieklassenzijnpaarsgewijsdisjunctendeunievanalleequivalentieklassenis weergelijkaan .   1. 6.2

De relatie 'is evenwijdig met' in de verzameling L van alle rechten van het vlak

aRb⇔a//b. Weonderzoekendeeigenschappenvanderelatie:  (R)Elkerechteaisevenwijdigmetzichzelf. (S)Alseenrechteaevenwijdigismetb,danisbevenwijdigmeta. (T)Alsa//benb//cdanisa//c.  Derelatie'isevenwijdigmet'indeverzamelingLvanallerechtenvanhetvlakiseen equivalentierelatie. DezeequivalentierelatieverdeeltdeverzamelingLinequivalentieklassenvanonderling evenwijdigerechten,ookwelrichtingengenoemd.       

Cursusrelatiesfunctiesgetallenleer1BASOwiskunde 12

1.7 Orderelatie 1.7.1 Definities

RiseenorderelatieinA asa RisreflexiefinA RisantisymmetrischinA RistransitiefinA  EenverzamelingAwaarineenorderelatiegedefinieerdisnoemtmeneen geordendeverzamelingA.  notatie:A, lees:xkomtvoorofvaltsamenmety xisvoorgangervany yisopvolgervanx  voorbeelden: ,/ ,   RiseentotaleorderelatieinA

RiseenpartiëleorderelatieinA

asa

asa

RiseenorderelatieinA

RiseenorderelatieinA

én  x,y A:(x,y)  R (y,x) R

én  x,y A:

(x,y)R 

(y,x) R 







Anoemtmendaneentotaal geordendeverzameling

Anoemtmendaneenpartieel geordendeverzameling



 vb: ,/ 

vb: ,  

Cursusrelatiesfunctiesgetallenleer1BASOwiskunde 13

 1.7.2 Hassediagram : grafische voorstelling van een orderelatie

(h  ttp://nl.wikipedia.org/wiki/Helmut_Hasse)  Kenmerken: Wordtgelezenvanondernaarboven  Opdeonderstelijnplaatsjedeelementendiegeenvoorgangershebben.  Opdetweedelijnwordendeelementengeplaatstdiealsvoorgangerdeelementenvan deeerstelijnhebben,endieonderlinggeenopvolgerszijnvanelkaar  enz  Tweeelementenstaaninrelatiemetelkaaralszeverbondenkunnenwordendooreen steedsstijgendelijn          Voorbeelden: Derelatie“/”inA={2,3,6,7,14,21,42}            Cursusrelatiesfunctiesgetallenleer1BASOwiskunde 14

       Derelatie“ ”inDAmetA={x,y,z}

 Derelatie“/”inA={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

  NOOT:Watgebeurteralswehetgetal0toevoegenaandeverzamelingA? (0komthelemaalbovenaan,elknatuurlijkgetaliseendelervan0)  Cursusrelatiesfunctiesgetallenleer1BASOwiskunde 15

    1.7.3 Geordende verzamelingen

 1.7.3.1 Interval 

 [a,b]={x A|a x b}  [a,b[={x A|a x b}  ]a,b]={x A|a x  b}  ]a,b[={x A|a x  b}   Voorbeelden:  

[4,7]

[2,8]

, 

{4,5,6,7}

{2,3,4,5,6,7,8}

,/

 

{2,4,8}

 1.7.3.2 A  is dicht

 Aeengeordendeverzamelingisdichtasa a,b A:a b=> c A:a c b   , 

nietdicht,neema=3enb=4,wekunnengeenenkelnatuurlijkgetaln vindenzodat3 n 4

,/

nietdicht,neema=4enb=8,wekunnengeenenkelnatuurlijkgetaln vindentussen4en8(endusnietgelijkaan4en8)zodat4/nenn/8.

, 

dicht  Cursusrelatiesfunctiesgetallenleer1BASOwiskunde 16

Bewijs:a...