Cursus logica PDF

Preview

Summary

Combinatie van cursus 'logica' en extra notities / verduidelijkingen....

Description

Het eiland van schelmen en ridders De bedenker van dit soort logicavraagstukken is Raymond Smullyan. ‘Basisregel’ in dit soort vraagstukken: op het eiland zijn er enkel ridders en schelmen (je bent ’t ene of het andere).  Schelmen liegen altijd  Ridders spreken altijd de waarheid

Puzzel 1 Stel dat de man een ridder is. Dan zou hij niet mogen liegen (regel).  Dit is onmogelijk, want hij zegt dat ze allebei schelmen zijn. De man is dus een schelm. Aangezien zijn uitspraak vals moet zijn (schelmen liegen altijd), moet de vrouw een ridder zijn. Man = schelm Vrouw = ridder

Disjunctief syllogisme = stel dat er twee mogelijkheden zijn (a & b). Als a niet kan, dan moet het wel b zijn. Bv: als de man geen ridder kan zijn, dan moet hij wel een schelm zijn.

Puzzel 2 Stel dat de man een schelm is. Deze liegt altijd. Als hij een schelm zou zijn, zou zijn uitspraak juist zijn, wat niet kan. De man moet dus een ridder zijn. Omdat de uitspraak dan waar moet zijn, is de vrouw een schelm. Man = ridder Vrouw = schelm

Hypothetisch redeneren = iets veronderstellen en van daaruit een redenering maken. Bv: “Stel dat de man een schelm is, dan…” Specifieke vorm Reductio ad absurdum = je vertrekt vanuit een hypothese, maar merkt meteen dat deze foutief is (~tegenspraak). De hypothese wordt dan ook verworpen.

Wat is logica?  Als discipline: domein dat zich bezighoudt met correct denken.  Als instrument: interferentiesysteem ~ Interferentie = 1 stap in de redenering.

1

Propositielogica = oordeellogica = conclusies trekken uit beweringen Een propositie

= een bewering of een oordeel = beschrijvingen die je kan aanvaarden of verwerpen: pro of contra = declaratieve zinnen

!!! Let op: het gaat niet om het ‘juist’ of ‘fout’ zijn van de zinnen in onze wereld, maar om de relatie met andere zinnen. Bv: Alle koeien zijn paars. Bertha is een koe.  Bertha is paars.  Dit is onwaar in onze wereld, maar het gaat wel om de juiste logica / juist geredeneerd.

In deze lessenreeks kunnen proposities waar of vals zijn. Er zijn logica’s waarbij je naast ‘waar’ en ‘vals’ ook nog ‘onbepaald’ hebt. Deze wordt gebruikt bij zinnen met een valse vooronderstelling. Bv: “De huidige koning van Frankrijk is kaal”. Onwaar (de negatie van de zin is waar) “Het is niet zo dat de huidige koning van Frankrijk kaal is”  Hiermee bevestig je wel nog steeds dat Frankrijk een koning heeft, wat niet ’t geval is! = valse vooronderstelling !! Hier zouden we dan ‘onbepaald’ gebruiken ipv ‘onwaar’ !! Waar, onwaar en onbepaald zijn ‘waarheidswaarden’.

Oefening: zijn de volgende zinnen proposities of niet? 1. Aan de Ugent studeren mensen vanuit de hele wereld.  Deze zin kan een waarheidswaarde hebben (waar/onwaar)  Je kan hierover discussiëren (pro/contra)  Propositie 2. Er is geen verschil tussen onze geest en onze hersenen  Propositie 3. Iedereen zou het vak logica moeten krijgen  Propositie 4. Ik wou dat ik reeds in het middelbaar een vak logica had gekregen  Propositie 5. 3 + 5 = 2 + 3  Duidelijk vals, maar ’t is wel een bewering waarover je kan discussiëren. Het gaat hier dus ook om een propositie 6. Euthanasie is moord  Propositie 7. Godzijdank, daar ben je!  Uitroep, geen propositie 8. Hé, wat staat daar?  Vraag, dus geen propositie 9. Dag Jan. Tot morgen.  Afscheidsgroet, geen propositie 10. De huidige koning van Frankrijk is kaal  Propositie ~ valse vooronderstelling

2

11. Deze zin is vals.  Propositie  Paradox = als je veronderstelt dat deze zin waar is, dan is hij vals en omgekeerd. 12. Wat is de hoofdstad van Nigeria?  Vraag, geen paradox. 13. Gelieve niet met de chauffeur te praten terwijl hij rijdt.  Verzoek, geen propositie.

Mogelijke redenen waarom ’t niet om een propositie gaat:     

Vragen Uitroepen Bevelen Verzoeken Zinnen waarbij ’t geen zin heeft om je af te vragen of ze al dan niet waar zijn

Gebruik van formele taal in de logica Primitieve zinnen  Kunnen niet verder geanalyseerd worden  Verwijzende termen  Hoofdletters met subscript  Ra = “a is een ridder” (voorbeeld) Connectieven / logische termen  Worden gebruikt om zinnen met elkaar te combineren Haakjes  Geen betekenis op zich, maar ze dienen om dubbelzinnigheden te vermijden  belangrijk!!!

Connectief 1: de negatie   

~ “Het is niet zo dat…” Bv: Ra = a is een ridder  dan ~Ra = het is niet zo dat a een ridder is.

Connectief 2: de (nevenschikkende) conjunctie   

& ‘en’ Nevenschikkend: je kan de twee delen van plaats wisselen, zonder dat er iets verandert. Bv: A is een ridder en B is een schelm = B is een schelm en A is een ridder. Oefening Hoe druk je dit uit in formele taal? Sa&Sb Zijn uitspraak is vals. Hoe druk je dat uit? ~(Sa&Sb) !! Let op: de haakjes zijn heel belangrijk! ~(Sa&Sb) = “Het is niet zo dat ze allebei schelmen zijn” 3

~Sa&Sb = “De man (a) is geen schelm, maar de vrouw wel”

1. E: De Eiffeltoren staat in Parijs. A: Het Atomium staat in Brussel.

 VALS

2. A: Amsterdam ligt in Nederland. B: Berlijn ligt in Canada.

 WAAR

3. B: België is lid van de EU. N: Nederland is lid van de EU. 4. W: Willem-Alexander is de koning van Nederland F: Filip is de koning van België

 VALS  WAAR

5. H: Hilary Clinton is geboren in de 16eE B: Barack Obama is geboren in de 20eE

 VALS

Connectief 3: De (inclusieve) disjunctie    

˅ ‘of’ Inclusief: je laat de mogelijkheid toe dat beide stukken waar zijn, dus eigenlijk is de betekenis en/of  Exclusief: ofwel dit ofwel dat, niet allebei. Dus: Ra˅Rb = “A is een ridder en/of B is een ridder”.  A is een ridder, B niet  B is een ridder, A niet  Ze zijn allebei ridders

Oefening Hoe druk je dit uit in formele taal? Sa˅Sb Hoe druk je deze uitspraak uit als hij vals is? ~(Sa˅Sb) !! Let hier opnieuw op voor de haakjes ~(Sa˅Sb) = “Het is niet zo dat minstens 1 van hen een schelm is”  geen van beiden is een schelm  ze zijn allebei ridders. ~Sa˅Sb = “De man is geen schelm en/of de vrouw is wel een schelm.

1. E: De Eiffeltoren staat in Parijs A: Het Atomium staat in Brussel 2. A: Amsterdam ligt in Nederland B: Berlijn ligt in Canada

~(E˅A)  VALS ~A˅~B  WAAR

!! Als één van de stukken waar is, dan is de uitspraak waar bij disjunctie! 3. B: België is lid van de EU N: Nederland is lid van de EU

~B˅~N  VALS

4

4. W: Willem-Alexander is koning van NDL F: Filip is koning van België 5. H: Hilary Clinton is geboren in de 16eE B: Barack Obama is geboren in de 20eE

W˅~F  WAAR

~(~C˅B)  VALS

Oefening: 2 verscholen koppels

De uitspraken uitgeschreven: ~Sb = “Het is niet zo dat b een schelm is” Sc&Sd = “c is een schelm en d is een schelm” ~(Sb&Sd) = “Het is niet zo dat b en d schelmen zijn” Sc˅Sa = “c is een schelm en/of a is een schelm” ~(Sc&Sa) = “Het is niet zo dat c en a schelmen zijn” Sc˅~Sc = “c is een schelm of c is geen schelm”

Oplossing:  De laatste uitspraak is altijd waar (= tautologie). Dit wil zeggen dat de waarheid spreekt en dat hij dus een ridder moet zijn.  Al zijn andere uitspraken zijn dus ook waar.  Sc˅Sa: c en/of a is een schelm. Aangezien c een ridder is, moet a hier een schelm zijn.  Alle uitspraken van a zijn dus gelogen.  ~Sb is dus niet waar  Sb, dus b is een schelm.  ~(Sb˅Sd): “Het is niet zo dat b en d schelmen zijn”, maar hij liegt, dus het tegengestelde is waar  b en d zijn schelmen.

Connectief 4: De (materiële) implicatie   

⊃

“als…dan…” Bv: Ra⊃Rb = “Als a een ridder is, dan is b ook een ridder”.

5







Materiële: laat geen uitzonderingen toe. Bv: als het een vierkant is, dan heeft het 4 rechte hoeken.  Niet: als de zon schijnt, is Jan gelukkig (dit is niet altijd het geval. ’t Kan best zijn dat de zon schijnt, maar dat Jan ongelukkig is.). De stelling is alleen onwaar als het eerste deel waar is en het tweede deel onwaar. Je mag hierbij niet kijken naar de betekenis van de zin, maar naar de samenstellende delen. Dit kan wel vaak tot tegen intuïtieve resultaten leiden. De stelling is waar bij volgende mogelijkheden: Eerste deel waar, tweede deel waar. Eerste deel vals, tweede deel waar. Eerste deel vals, tweede deel vals.

Oefening Veronderstel dat de man een ridder is. Welke mogelijkheden zijn er in zijn uitspraak?  Man ridder, vrouw schelm  Vrouw ridder, man schelm  Beide schelmen Welke ridder   

mogelijkheid wordt door zijn uitspraak uitgesloten? Beide Negatie gebruiken: ~(Ra&Rb) Conjunctie gebruiken: ~(Ra&Rb) Disjunctie gebruiken: ~Ra˅~Rb

Leg uit waarom deze uitdrukkingen precies hetzelfde betekenen. Met de conjunctie zeg je “Het is niet zo dat a en b ridders zijn”. Het kan dus niet zo zijn dat ze allebei ridders zijn, m.a.w. er is zeker 1 schelm. Met de disjunctie zeg je “a is geen ridder en/of b is geen ridder”. Hier heb je dus 3 mogelijkheden: a is een ridder en b een schelm, b is een ridder en a een schelm of ze zijn allebei schelmen. Dit betekent dus ook dat het niet kan dat ze beide ridders zijn, en dat er dus minstens 1 schelm onder hen moet zijn.

Hoe kun je dit uitdrukken door gebruik te maken van de implicatie? We zoeken dus een implicatie die hetzelfde zegt als ‘hoogstens één van ons is een ridder’.  “Als a een ridder is, dan is b geen ridder.”  Ra⊃~Rb  “Als b een ridder is, dan is a geen ridder.”  Rb⊃~Ra  Hier zou je ook mogen zeggen: “Als a een ridder is, dan is b een schelm – en omgekeerd” (Ra⊃~Sb). Dit mag, omdat je hier enkel 2 categorieën hebt. Je bent ofwel een schelm of een ridder. Als er nog een derde categorie zou zijn, mag je dit niet zomaar doen!

! Merk op: bij een implicatie is het niet vanzelfsprekend dat het antecent eruit volgt. Het antecedent is hetgeen wat voor het implicatieteken staat. Uit de zin ‘Als a een ridder is, dan is b geen ridder’, volgt niet automatisch dat a een ridder is. Je zegt alleen: “Als het effectief zo is dat a een ridder is, dan kan b onmogelijk ook een ridder zijn”. Ander voorbeeld: ‘Als het morgen regent, ga ik niet naar het feest’. Deze zin is waar, maar daaruit volgt niet dat het morgen sowieso zal regenen! 6

Deze 4 formele uitdrukkingen betekenen allemaal hetzelfde, wanneer we aannemen dat de man een ridder is. Stel nu dat hij een schelm is. Dan zijn al zijn uitspraken dus onwaar. Hoe zou je de uitspraken van de schelm dan schrijven (ook hier moeten de 4 uitdrukkingen dus hetzelfde betekenen!). M.a.w. de schelm doet de uitspraken van de ridder, maar bij hem zijn ze onwaar. Dus in de tweede kolom staan de uitspraken die in dat geval waar zijn! RIDDER SCHELM ~(Ra&Rb) Ra&Rb ~Ra˅~Rb ~(~R a˅~Rb) Ra⊃~Rb ~(Ra⊃~Rb) Rb⊃~Ra ~(Rb⊃~Ra)  Wanneer de formele uitdrukkingen in de eerste kolom uitspraken zijn van een schelm, moet heel deze kolom onwaar zijn en krijgen we de uitspraken in de rechterkolom. In dat geval zijn de twee personen dus ridders! (Technisch gezien kan dit niet, want we zeggen dat de man een schelm is!)

~Ra˅~Rb: zoek de negatie. Waarom is Ra˅Rb niet het goede antwoord? M.a.w. waarom mag je de negatietekens niet gewoon weglaten (zoals met – in de wiskunde)? Formele uitdrukking Mogelijkheden ~Ra˅~Rb a is ridder, b niet b is ridder, a niet allebei geen ridders Ra˅Rb a is ridder, b niet b is ridder, a niet allebei ridders  De eerste twee mogelijkheden zijn in beide gevallen overeenkomstig. Dit mag helemaal niet, want als je zegt dat de eerste formele uitdrukking ~R a˅~Rb vals is, dan moeten alle mogelijkheden vals zijn! Door enkel de negatietekens weg te laten (R a˅Rb) blijven de eerste twee mogelijkheden wel nog waar, wat niet kan!

Wanneer is een implicatie van de vorm A⊃~B vals? Wanneer A waar is en ~B vals is. M.a.w. wanneer A en B waar zijn. Wanneer is een implicatie van de vorm A⊃B vals? Wanneer A waar is en B vals is.  Voorbeeld: een moeder zegt tegen haar dochter: “Wanneer je voor al je vakken geslaagd bent, krijg je een smartphone”. In formele taal wil dit zeggen: G⊃S. Nu blijkt de dochter geslaagd te zijn (G), maar ze krijgt geen smartphone van haar moeder (~S). Dus is de oorspronkelijke implicatie vals en geldt hier volgende formele taal: ~(G⊃S) ofwel G&~S Let op! Om een implicatie onwaar te maken, mogen we dus ook niet zomaar het negatieteken weglaten. De negatie van een implicatie is namelijk een conjunctie! Oefening: Uitspraak: “Hoogstens een van beiden is een ridder”. Rm = de man is een ridder Rv = de vrouw is een ridder



Hoe schrijf je deze uitspraak formeel adhv de implicatie?  Rm⊃~Rv of Rv⊃~Rm 7

   

Stel je nu voor dat beiden schelmen zijn. Is de formele uitspraak dan waar of vals?  waar Stel je nu voor dat de man een schelm is en de vrouw een ridder. Is de formele uitspraak dan waar of vals?  waar Stel je nu voor dat de vrouw een schelm is en de man een ridder. Is de formele uitspraak dan waar of vals?  waar Stel je nu voor dat beiden ridders zijn. Is de formele uitspraak dan waar of vals?  vals

Conclusie: Een uitdrukking van de vorm A⊃B is vals als en alleen als het eerste deel (A) waar is en het tweede deel (B) vals.

Hoofdstuk 1: Kennismaking en inleidende gegevens 1. Algemene omschrijving en motivering

8

Logica = de discipline die zich bezighoudt met de studie van het correct denken. Dit is een vage omschrijving, maar logica leert men begrijpen, door het in een bepaalde mate te studeren. ~ Normatief: wanneer zijn denkstappen die we nemen correct en wanneer worden er fouten gemaakt? De instrumenten die toelaten welke denkstappen fout dan wel juist zijn, noemen we logica’s. De cursus bestaat uit 5 doeleinden:  Leren om de betekenis van zinnen bewust te vatten. Hoewel de meeste mensen overtuigd zijn dat ze begrijpen wat er beweerd wordt, zijn ze vaak niet in staat om vrij eenvoudige zinnen in elementen af te breken of de betekenis ervan met andere zinnen in verband te brengen. We zullen natuurlijke zinnen ook verwoorden in formele taal.  Implicaties van zinnen leren vatten. Als je zegt dat Jan de kleinzoon is van Els, dan hoef je daar niet bij te zeggen dat Els een zoon of dochter heeft. Dat volgt namelijk uit wat je zei. Dit fenomeen is uiterst belangrijk om menselijke communicatie te begrijpen. Je moet die implicaties namelijk zien om zinnig aan communicatie deel te nemen. De meegedeelde info is niet alleen wat er letterlijk gezegd wordt, maar ook alles wat eruit volgt.  Vertrouwd raken met redeneren. We zullen leren om correcte redeneringen en redeneervormen te onderscheiden van incorrecte. Let op: het redeneren verloopt grotendeels onbewust, maar toch kan je het bewust oefenen.  Vertrouwd raken met strikte vormen van redeneren. Veel van het redeneren wordt overgenomen door computers (opslaan en verwerken van info, berekeningen maken, …). Je moet bepaalde problemen kunnen uitdrukken in strikte taal om de voordelen van computers te kunnen benutten en je te wapenen tegen de gevaren ervan.  Leren omgaan met abstractie. Bedoeling hiervan is het vermijden van abstract taalgebruik en niet het bevorderen ervan. Natuurlijke talen dwingen ons om beweringen over concrete dingen, gebeurtenissen en processen in abstracte termen uit te drukken. Het vraagt veel inzicht en oefening om dit uit te drukken. Algemeen doel van de cursus: meer oog hebben voor de verantwoording van je eigen opvattingen, doordat je logische analyse en redenering begrijpt!

2. Enkele belangrijke onderscheiden Aanhalingstekens (1) Ratten rijmt op katten. (2) Ratten zijn zoogdieren. 9





De eerste zin zegt iets over twee Nederlandse woorden, namelijk “ratten” en “katten”. Je krijgt dus informatie over de eigenschap van een woord (rijmen) en de betekenis van het woord doet er niet toe.  Mention (benoemen van woorden) De tweede zin zegt iets over de dieren ‘ratten’. Het zegt iets over wat zich in de werkelijkheid afspeelt. Hier moeten we dus wel kijken naar de betekenis, om het woord de gebruiken.  Use (woorden gebruiken om te verwijzen naar dingen in de werkelijkheid).

 We maken dit verschil duidelijk aan de hand van aanhalingstekens (Alfred Tarski). Wanneer je naar een woord wil verwijzen (niet de betekenis) dan gebruik je aanhalingstekens. Een woord met aanhalingstekens errond is een naam voor het woord. Voorbeeld: Tarski = naam van een persoon. “Tarski” is naam voor het woord ‘Tarski”. (1) Alle filosofen zijn verstandig. Je zegt iets over de werkelijkheid, namelijk dat alle filosofen deze eigenschap zouden bevatten. Deze zin is natuurlijk vals! (2) “Alle filosofen zijn verstandig” bevat 4 woorden. In deze zin beweer je iets over een andere Nederlandse zin, namelijk dat de vorige zin 4 woorden bevat.  Dit verschil wordt opnieuw duidelijk gemaakt met aanhalingstekens.

Oefening: Voeg waar nodig aanhalingstekens toe in de volgende zinnen.  Jan schrijft dat het Franse woord voor een appel “poire” is, maar dat is fout.  Jan schrijft “het Franse woord voor een appel is “poire””, maar dat is fout.  Dit is een zin met klinkers, medeklinkers en komma’s.  De klinker “e” komt in deze zin meerdere keren voor.  Jan kan geen twee dingen tegelijk spellen.  Jan kan “tegelijk” niet spellen.  Als je naar Bergen rijdt, dan veranderen de borden met daarop “Bergen” plots in borden met daarop “Mons”.

Hij zegt “Look up, “rampaging elephants””, waarmee hij bedoelt dat hij ze ziet als hij naar boven kijkt (mention). De juf zegt dat ze ’t niet zal opzoeken op ’t internet (look up), (use).

Inscripties = woorden of letters geschreven, gegraveerd, geschilderd of op een andere manier aangebracht op een oppervlak. Een woord kan dus op verschillende manieren weergegeven worden. Bv: de inktvlekken op dit papier interpreteren we als inscripties door hun vorm. 10

Betekenissen Sommige woorden hebben verschillende betekenissen, bv letterlijk en figuurlijk. Voorbeeld: ezels zijn zoogdieren, vs Jan is een ezel.  Filosofen zeggen dat een woord kan beantwoorden aan verschillende begrippen of concepten.

Abstracta en concreta Abstracta bestaan niet. Er zijn woorden die naar abstracta lijken te verwijzen, maar alles waaruit de wereld is samengesteld is concreet! Let op: concreet hoeft niet noodzakelijk waarneembaar te zijn. Bv: stoel = concreet, maar de abstracta waarnaar dit woord verwijst ‘De Stoel’ bestaat niet.  Extra info wanneer nodig: syllabus p.7

Computeroefeningen (module 2 – namen) Regels: 1. Naam voor … is “1 woord” of “”zin””  De naam voor Jan is “Jan”.  “”Dit is een zin”” is een naam voor een zin.  “”De kat zit op de mat”” is een naam voor een zin.  “”Joris is mijn buurjongen”” is een naam voor een zin. ~ Geen extra aanhalingstekens bij Joris, want het gaat om een betekenis, niet om een verduidelijking van Nederlandse taal.  “”Dit is een naam voor een zin”” is een naam voor een ware zin.  “Naam” is een naam voor een woord.  “Jan” en “”dit is een zin”” zijn beide namen.  Uitzonderingen: naam van is niet hetzelfde als naam voor!  Naam van: slechts 1x “ “.  De naam van mijn buurjongen is “Joris”.  “Mount Everest” is de naam van de hoogste berg ter wereld.  “Zorro” is de naam van mijn hond. 2. Naam voor een naam…: “ “ … “ “  “”Jan”” is een naam voor een naam.  De naam voor de naam van mijn buurjongen is “”Joris””.  De naam voor de naam van Jan is “”Jan””. 3. Info over de Nederlandse taal: doelwoord extra tussen aanhalingstekens  “”Jan” is een naam” is een ware zin.  “” “Jan” komt van “Johannes” “” is en naam voor een ware zin.  In “ “naam” telt 4 letters” is “naam” een naam voor een woord.  “Kalf” kan een scheldwoord zijn.  De ware zin “deze zin bevat de naam “Jan”” bevat de naam “Jan”.

4. Betekenis geven aan doelwoorden: geen extra aanhalingstekens  “Joris is mijn buurjongen” is een naam voor een zin.  Een kalf is een jonge koe.  “Zorro is mijn hond” is een ware zin. 11

Oefeningen...