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Fase 6 - La transformada de Laplace y sus aplicaciones en EDOAnggi Lizeth Villegas DavilaCristian Bolívar Payan ImbachiDanna Lizeth CeballosDavinson Yuriel Garzón MartínezMarco Antonio SuarezCódigo: 87249168Grupo: 551119_Presentado a:Pedro José RuizUniversidad Nacional Abierta y a DistanciaLicenciat...

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Fase 6 - La transformada de Laplace y sus aplicaciones en EDO

Anggi Lizeth Villegas Davila Cristian Bolívar Payan Imbachi Danna Lizeth Ceballos

Davinson Yuriel Garzón Martínez Marco Antonio Suarez

Código: 87249168 Grupo: 551119_18

Presentado a: Pedro José Ruiz

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Licenciatura en Matemáticas Ecuaciones diferenciales 22 de noviembre del 2021

Introducción

Desarrollo de la actividad Ejercicio 1. Determinar la transformada de Laplace usando la definición, justificando y argumentando los procedimientos: Ejercicio 2. Determinar la transformada de Laplace usando la definición y trazar las funciones, justificando y argumentando los procedimientos:

a.

f ( t )=

{0 .02t, ,

t≤2, t>2 Se utiliza la definición de la transformada de Laplace.

∞

L[ f ( t ) ]=∫ f ( t ) e−st dt 0

En este caso se tiene dos tramos por tal razón. 2

L [ f ( t ) ]=∫ (0)e

−st

−∞

∞

dt+∫ (0,2 t)e−st dt 2

∞

−st L [ f ( t ) ]=∫ (0,2 t)e dt 2

Se integra por partes. −st

dv = e

v=

dt , u =0,2 t

−1 −st e , du=0,2dt s Se tiene que

∫ u dv=uv −∫ v du

entonces remplazamos los valores.

L [ f ( t ) ]= ( 0,2t )

( −1s e ) −∫( −1s e ) ( 0,2 ) dt − st

− st

L [ f ( t ) ]=

−0,2t −st 0,2 −st e dt e + ∫ s s

L [ f ( t ) ]=

−0,2t −st 0,2 −e e + s s s

L [ f ( t ) ]=

−0,2t −st 0,2 −st e − 2 e s s

(

−st

)

La integral esta con límites de 0 a ∞ L [ f ( t ) ]=

entonces resolvemos.

|

−0,2t −st 0,2 −st ∞ e − 2 e 2 s s

)(

(

)

0,2 −st −0,2(2) −s( 2) 0,2 −s (2) L [ f ( t ) ]= − lim 0,2 t e−st− lim 2 e − e − 2 e s s x →∞ x →∞ s s

L [ f ( t ) ]=0−

e ( −0,4 s

−s

−

0,2 −s(2) e 2 s

−2 s

L [ f ( t ) ]=

0,4 e−2 s 0,2 e + s s2

L [ f ( t ) ]=

s2 ( 0,4 e−2 s ) + s (0,2 e−2 s) s3

L [ f ( t ) ]=

L [ f ( t ) ]=

s ( 0,4 e

−2 s

) +(0,2 e−2 s ) s2

0,4 s e−2 s +0,2e−2 s s2

)

L [ f ( t ) ]=

0 , 2 e−2 s (2 s +1) s2 Se observa en la gráfica de las funciones.

Garzón (2021) Elaborado en gogebra

b. f ( t )=

{

0,t ≤π , π sen t ,t > π 4

}

La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable s. Sea f una función definida para t ≥ 0 . Entonces, la transformada de Laplace de f, que se denota por l { f (t ) } o por F(s), está definida por la siguiente:

{

∞

l f (t )} =F ( s )=∫ e

−st

f ( t ) dt

0

Se debe tener en cuenta que para todo valor de s en los cuales la integral impropia converge. Se reemplaza los valores de la función dentro de la transformada de Laplace

{

π

∞

(

− st l f (t )} =∫ e ( 0) dt+∫ e sen −st

0

π

)

π t dt 4

π

∫ e− st( 0 ) dt

= es igual a cero ya que el valor de la función es cero.

0

Se tendrán en cuenta las condiciones suficientes para la existencia de

l {f (t ) } :

2. Si f es una función continua por tramos en

[ 0 , ∞ ¿ y de orden exponencial c , entonces l { f (t) } existe para s ¿ c De orden exponencial

Garzon (2021) Elaborado en goegebra

Al ver la gráfica se comprueba que f(t) es una función continua por tramos en presenta discontinuidades finitas y es continua en todo intervalo abierto t k−1 0

at

¿−6 e−3 t

d. F ( s )=

8s 4 s 2+3

L−1

[

L−1

[ ]

L−1

8s 2 4 s +3

]

8s 4 4 s 2+ 3 4 4

[ ] [ ] 2s 3 s+ 4 2

s

2 L−1

s2 +

3 4

Tomamos una de las propiedades básicas de la transformada de Laplace. at s s 2+a2 L¿

cos ¿=

Observamos las dos fórmulas y concluimos que.

2L

−1

[ ] s

3 s2 + 4

=2 cos

√

3 t 4

2 L−1

e.

3 =2 cos √ t 3 2 s2 + 4 s

[ ]

F ( s )=

s−2 s2 +1

Se debe realizar un replanteamiento del fraccionario aplicando la resta de fraccionarios F ( s )=

2 s − 2 s +1 s +1 2

Se aplica la inversa a cada uno de las fracciones L−1

[ ] [ ] s

2

s +1

−L−1

2 s +1 2

De acuerdo a la inversa de Laplace −1

L

{

}

{

}

s a −1 ( t ) =cosh (at) L ( t ) =sinh (at) 2 2 s −a s −a 2 Replantear cada una de las fracciones en su denominador 2

L−1

[

]

[

s 1 −2 L−1 2 s −( −1 ) s − (−1 ) 2

]

Se aplica la propiedad inversa en cada una cosh (−t )−2sinh (−t ) Ejercicio 6. Determine la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones usando el método de fracciones parciales siempre que sea necesario, justificando cada procedimiento:

a. F ( s )=

L−1

[

s2 +1 s2 ( s2 + 4 s +8)

s 2 +1 s2 ( s2 +4 s+8)

]

Cs + D A B s2 +1 = + 2+ 2 2 2 s s s + 4 s +8 s ( s + 4 s +8) s 2 +1=s2 ( s 2 +4 s + 8 )

D ( As + sB + s Cs+ 4+s+8 ) 2

2

s +1=s ( s +4 s +8 ) A+( s + 4 s +8) B+ s ( Cs + D ) 2

2

2

2

s 2 +1=s ( s2 +4 s +8 ) A+( s2 + 4 s +8) B+s3 C+ s2 D Calculamos los valores de A, B, C y D dando valores a s. Si s

vale 0.

s 2 +1=s ( s2 +4 s +8 ) A+( s2 +4 s +8) B+s2 (Cs +D ) 0 + 1= 0 ( 0 +4 (0)+ 8 ) A+( 0 +4 (0)+ 8 ) B+0 (C (0)+D ) 2

2

2

2

1=8 B

B=

1 8 Para encontrar C y D podemos realizar lo siguiente para eliminar A y B.

s 2 +4 s+8=0 −4 ± √ 4 −4 (1.8) 2(1) 2

−4 ± √ 16−32 −4 ± √−16 = 2 2 −2 ± 2 i=0 s vale −2+2i

Si 2

3

Se elimina A y B por dar como resultado 0.

2

s +1=s C+ s D

(−2+2 i )2 +1=( −2+2i )3 C+ (−2+2 i )2 D −8 i+ 1=( 16+16 i )C+ (−8 i ) D

−8 i+ 1=16 C+16 iC −8 iD

16 C=116 iC −8 iD=−8 i

C=

1 −8 iD=−8 i−16 iC 16

D=

−8 i−16 iC −8 i

D=

−8 i 16 iC − −8 i −8 i

D=1+2 C

D=1+2

D=1+

( 161 )

1 8

D=

9 8

Para encontrar el valor de A realizamos si

s

vale 1 y remplazamos los valores encontrados.

s 2 +1=s ( s2 +4 s +8 ) A+( s2 +4 s +8) B+s2 (Cs +D )

(( ) )

1 1 9 12+ 1=1( 12+ 4 (1)+8 ) A +( 12 +4 (1)+8) +12 1+ 16 8 8

(

1 1 9 + 1+1=1 ( 1+4+ 8 ) A + ( 1+4 +8 ) +1 16 8 8

)

( )

1 19 2=13 A+( 13 ) +1 16 8

2=13 A+

13 19 + 8 16

2=13 A+

45 16

−45 +2=13 A 16 −13 =13 A 16

A=

−1 16 Teniendo los valores de A, B, C y D los sustituimos las fracciones iniciales. 9 1 −1 1 s+ A B Cs + D 16 8 16 8 + + = + 2+ 2 s s 2 s2 +4 s+ 8 s s s +4 s +8

Calculamos la inversa de cada una de las fracciones.

(

) (

1 9 s 16 8 −1 −1 1 1 −1 1 −1 −1 +L +L L + L 2 2 2 16 s 8 s +4 s+8 s + 4 s+8 s

()

()

)

−1 −1 1 1 −1 1 1 −1 9 −1 s 1 + L + + L L L 16 s 8 s 2+ 4 s+8 8 s 2 16 s 2 +4 s+8

()

()

(

)

(

)

Podemos calcular la primera y segunda inversa con las fórmulas de la transformada inversa de Laplace.

()

( )

n! −1 a =a , L−1 n+1 =tn Tengo en cuenta. L s s −1 −1 9 −1 s 1 1 1 + L L (1)+ t+ 2 2 8 16 16 s + 4 s+8 8 s + 4 s+8

(

)

(

)

Para calcular la inversa de las dos faltantes lo realizamos completando trinomio cuadrado perfecto. −1

L

(s + 4s s+8 ) 2

() ( ) 2

s 2 +4 s + 8=s2 + 4 s +

2

4 4 − +8 2 2

( )

2

¿ s+

4 −4+ 8 2 2

¿ ( s +2 ) +4 Remplazamos el valor encontrado para calcular la inversa.

−1

L

(

) (

s s −1 =L 2 s +4 s +8 ( s+2 ) +4 2

)

Convertimos s +2 → s para esto se debe multiplicar la inversa por

e−2 t .Tomamos

s → s−2

e−2 t L−1

−2 t

e

−1

L

( ss−2+ 4)=e

−2 t

2

−1

L

(

s−2 ( s )2+4

)

( s s+4 )−2 L (s +41 ) −1

2

2

Para encontrar la inversa utilizo las siguientes formulas. L−1

(s +as )=cos at , L ( s a+a )=sen at . −1

2

2

2

2

2 ¿ e−2 t (cos 2t− sen 2t ) 2 −2 t

¿e

(cos 2t−sen 2t ) Encontramos la inversa de la última fracción. −1

L

(s + 41s+8 ) 2

En el caso anterior encontramos el trinomio cuadrado perfecto entonces lo remplazamos. L−1

(s +41s+8 )=L (( s+21) +4) −1

2

2

Convertimos s +2 → s para esto se debe multiplicar la inversa por

−2 t

e

.

e−2 t L−1

(

1 2 ( s ) +4

)

Para encontrar la inversa utilizo las siguientes formulas. L−1

(s +aa )=sen at . 2

2

1 ¿ e−2 t sen2 t 2 Con los resultados obtenidos completamos la solución. 1 1 −1 L (1)+ t+ 8 16 16

−1

(

)

−1

s 9 + L 2 s + 4 s+8 8

(s + 41s+8 ) 2

9 1 −2 t 1 −1 1 + t + e ( cos 2 t−sen 2 t )+ e−2 t sen 2 t 2 16 8 16 8 La transformada inversa de Laplace es la siguiente. 1 −1 1 9 −2 t 1 + t + e−2 t ( cos 2 t−sen 2 t )+ e sen 2 t 8 16 8 16 2 b. F ( s )=

1 2 (s + 4)(s + 1)

1 1 −4 t 7 : ⅇ − cos ( t )+ sin ( t ) 17 ( s+ 4 ) (s2 +1 ) 17 L−1

{

1 (S+ 4)( S2 +1 )

} Tomamos la fracción parcial de

1 1 −s+ 4 : + 2 ( s+ 4 ) ( s +1 ) 17− ( s+4 ) 17− ( s2 +1) ¿ L−1

1 −s+ 4 + 17− ( s +4 ) 17−( s 2 +1 )

−s+ 4

−5

=

4

+

17− ( S +1 ) 17 ( S +1) 17 ( s2 +1) 2

¿ L−1

−s +4

2

−5

=

+

4

2 17−( S +1) 17 ( S +1) 17 (s +1 ) 2

2

Usamos la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace para las funciones −1 −1 −1 f ( s) , g ( s ) y constantes a , b L { a∗f ( s )+ b∗g (s) }= a¿ L { f (s ) } + b∗L { g (s)}

¿

{ }

{ }

{ }

1 −1 1 1 −1 s 4 −1 1 L − L + L 2 17 17 s +4 17 5+ 1 s +1 −1

L

{S 1+4 } : ⅇ−4

t

¿ ⅇ−4 t L−1

{ }

S :cos (t ) S 2+1

¿ cos (t )

L−1

{ }

S :sin (t ) S 2+1

¿ sin ( t ) ¿

1 −4 t 1 4 ⅇ − cos (t ) t sin ( t ) 17 17 17

c.

F ( s )=

s3 +5 s +1 2 2 ( s+1) ( s +4 s + 2) Factorizamos el binomio del denominado

( s +1) 2

( a+b )2=a 2+2 ab + b2

Aplicando la fórmula del binomio al cuadrado a=s ,b=1 2

¿ s +2 s ∙ 1+ 1

2

Se sumplifica s 2 +2 s ∙ 1+ 12 2

¿ s +2 s +1

Se replantea el ejercicio y se aplica fracciones parciales F ( s )=

s3 + 5 s + 1 D A B C = 2+ + + 2 2 2 s +2 s +1(s +4 s+ 2) s 2 s 1 (s + 4 s+2)

Se multiplica el denominador por los términos A, B, C y D 2 A s2 +2 s +1 ( s 2+4 s+2 ) B s + 2 s + 1 ( s 2+ 4 s+2 ) C s 2 +2 s+ 1 ( s2 +4 s +2 ) B s 2 +2 s+1(s 2+ 4 s+2) + + + 2 2 2s 1 s (s +4 s +2)

Se simplifica las expresiones 2 A s2 +2 s +1 ( s 2+ 4 s+2 ) B s + 2 s + 1 ( s 2+4 s+2 ) C s 2 +2 s+1 ( s2 + 4 s +2 ) D s2 +2 s +1(s 2 +4 s+2) + + + 2s 1 s2 (s 2+4 s+2)

Luego se tiene la expresión para hallar cada una de las constantes s +5 s +1= A 2 s + 1 ( s +4 s +2 ) +B s +1 ( s +4 s +2 )+C s + 2 s ( s +4 s +2) + D s +2 s+1 3

2

2

2

2

2

2

La condición inicial

s=0

0 ¿ ¿ ¿

0+5 ( 0) +1=A 2 ( 0 )+ 1( 0+ 4 ( 0 )+ 2 ) +B( 0 )+ 1 ( 0+4 ( 0 ) +2) +C ( 0 )+2 ( 0 ) (0+ 4 ( 0 )+2) +D (0 ) +2 ( 0 ) +1 0 +5 ×0+ 1= A ×2 × 0 + 1 (0 +(4 )(0)+2 )+B × 0 + 1 (0 +( 4 )(0 )+2)+C × 0 +2 ×0 (0 +(4 )(0)+ 2 )+D × 0 +2 × 0 + Se realizan las operaciones 1= A × 0 × 2 +B × 0 × 2 +C × 0+ 0 + D × 0 + 0 +1 1=2 A

A=

1 2

Valor de A

Se realiza el mismo procedimiento para hallar los valores de B, C y D 1 s 3 +5 s +1= 2 s+ 1 ( s2 +4 s+2) +Bs2 +1 ( s 2+ 4 s +2 ) + C s 2 +2 s ( s2 + 4 s +2) + D s 2 +2 s+1 2 Se aplica la condición

s=− 2

1 2 2 2 2 2 (−2 )3+5 (−2 )+ 1= 2(−2 )+ 1 ( (−2 ) +4 (−2 )+2 ) +B (−2 ) +1 ( (−2) + 4 (−2)+2 ) +C (−2 ) +2 (−2 )( (−2 ) + 2 1 −8 −10+1= −4 +( −10) + B−4+( −10 )+ C−4+ (−4 ) (− 10) + D−4+ (−4 ) +1 2 1 −8 −10+1= −14 + B−14 +C+ 36 + D−7 2

1 −17= −14 +B−14 +C + 36 +D −7 2 −17=−14 B

B=

−17 14 Se aplica la última condición

s=−4

1 2 2 2 2 2 (−4 )3+5 (−4 )+ 1= 2(− 4 )+ 1( (− 4 ) + 4 (−4 )+ 2) +B (−4 ) +1 ( (−4 ) + 4 (−4 )+ 2 )+C(− 4 ) +2 (− 4 ) ( (− 4 ) 2 17 1 −64+ (−20 ) +1= −8 + 2 − 16 + 2 + C 16 −8 ×2+ D 16 −8+ 1 14 2 1 17 −83= × (−6) − × (18 )+ C ×8 ×2+D × 8+1 2 14 1 17 −83= × (−6) − × (18 )+ C ×16+ D × 9 2 14 −83=−3−21,85+16 C +9 D −83 −21,85+ 16 C + 9 D

C=

83 16

D=

83 9 se organizan las fracciones parciales con cada una de las constantes

83 1 −17 83 3 9 2 14 16 s +5 s+1 + + 2 = 2+ F ( s )= 2 2 1 (s +4 s+ 2) 2s s +2 s +1(s +4 s+ 2) s Se opera 83 83 17 1 + + 2 + 2 2 s (14 )2 s (16 )1 9(s +4 s +2) Se realiza cada una de las inversas de Laplace −1

L

[ ] [

] [

] [

1 17 83 83 −1 −1 −1 +L +L +L 2 2 ( 14 ) 2 s ( 16 ) 1 2s 9( s + 4 s +2)

]

Se despeja las constantes

[]

[][ ][

] [ ]

1 −1 1 83 83 1 17 −1 1 −1 + L + + L +L 2 2 ( ) ( ) 14 (2) 2 s 9 16 1 4+2 s s +s

Se aplica la inversa en cada uno de los términos −1

L

{1s} ( t) =1

−1

L

{s−aa } ( t) =e

[ ][

]

at

1 83 83 17 t ×e ×1+ ×1+ + 2 9 ( 4 +2 ) 14 (2) ( 16 ) 1 Por lo tanto

[ ][ ]

17 1 83 83 1(t)+ 1(t)+ × et + 28 2 16 54

d F ( s )=

s 2+4 s2 (s−1)(s+4)

Para encontrar la inversa utilizamos el método de fracciones parciales 2 D s +4 A B C + = + 2+ 2 s (s−1)(s +4 ) s s s−1 s+ 4

2

2

s (s−1)(s +4)+B(s−1)( s +4)+C (s (s +4 ))+ D s (s−1 ) s2 +4= A ¿ s 2 +4= As(s−1)( s + 4)+B(s−1)( s + 4)+C s2 ( s + 4)+D s 2 ( s −1) Hallamos las constantes, A, B, C, D Si s=0

4=0+ B (−1)( 4 )+0+ 0 4=−4 B B=−1 Si s=1

5=0+0+C ( 1)(5)+ 0 5=5 C C=1 Si s=− 4

20=D (16 )(−5)

D=

20 −80

D=

−1 4

Si s=2 8=12 A+(−6)+24+(−1 ) 8=12 A+1 7 8−17=12 A −9 =12 A

A=

−9 12

A=

−3 4

3 1 −3 A = (1)→− 4 s 4

B

1 1 =(−1) 1 +1 =(−1)t 1=−t 2 s s

C

1 =1∗et =e t s−1

1 ∗1 1 −1 4 D = ∗e−4 t = s+ 4 s−(−4 ) 4 Para lo que nos resultaría

1 −4 t 3 t →− −t+e − e 4 4

F ( s )=

e.

s 2+ s +2 2 s ( s +6 s+5) Se debe factorizar el trinomio del denominador

2

s +6 s +5

Se debe buscar dos números los cuales los dos sumados den 6 y multiplicados den 5 (s + 1)(s + 5) Ahora replantear el ejercicio y aplicar las fracciones parciales F ( s )=

C B A s2 + s+2 + = + s(s +1)( s +5) s (s+1) (s +5)

Ahora multiplicar el denominador por los términos A, B y C As(s+1)(s+5) Bs(s+1)( s+5 ) Cs(s+1)(s+5) + + s (s+1) (s+ 5) Simplificar cada una de las expresiones A s( s + 1)( s +5) Bs( s+1)( s+5 ) Cs( s + 1)( s +5) + + (s+ 5) s (s +1)

Finalmente se tiene la expresión para hallar cada una de las constantes s 2 +s +2= A ( s+1) ( s +5) + Bs ( s +5 ) + Cs(s + 1) En este caso se inicial con la condición

s=0

( 0 )2 + (0 ) +2=A ( (0 ) +1 ) ( ( 0 )+5 ) +B ( 0 )( ( 0 ) +5 ) +C (0 ) (( 0 ) +1) 0+0+ 2= A ( 0+1 ) ( 0+5) + B ×0 (0 +5 ) +C ×0 (0+1) Se realizan las operaciones 2= A ×1 ×5+ B × 0+B × 0 2=5 A El valor de A

A=

2 5 Se aplica nuevamente el procedimiento para hallar el valor de B y C

2 s 2 +s +2= ( s+1 ) ( s+5) + Bs ( s +5 )+ Cs(s + 1) 5 Aplicar la condición

s=−1

2 (−1 )2 +( −1 ) +2= ( (−1 ) +1 ) ((−1 )+5 ) +B (−1 )( (−1 ) +5 )+C (−1) ( ( −1)+1) 5 2 1−1+ 2= ( 0 ) ( 4 )+B ×−1 ( 4) +C ×−1(0) 5 2 2= × 0 + B×− 4 +C ×0 5 2=−4 B

B=

−2 −1 = 2 4 Finalmente se aplica la última condición

s=−5

2 1 2 (−5 ) +( −5 ) +2= (( −5) +1 ) (( −5)+5 )− ( −5) ( (−5 ) +5) + C ( −5) ( (−5 )+ 1) 5 2 2 1 25−5+2= (−5+1 ) (−5+5 ) − ×−5 ( −5+5 )+ C ×−5 (−5 + 1) 2 5 2 1 22= ( −4 ) (0) − ×−5 ( 0) +C ×−5(−4 ) 5 2 22=0 −0 +20 C

C=

22 11 = 20 10

Finalmente se organizan las fracciones parciales con cada una de las constantes halladas 2 11 −1 2 5 2 10 s + s+2 F ( s )= = + + s(s +1)( s +5) s (s +1) (s+5) Se realizan las respectivas operaciones 1 2 11 − + 5 s 2 (s+ 1 ) 10(s+5) En este momento se procede a realizar cada una de las inversas −1

L

[ ] [

] [

2 1 11 −1 −1 −L +L 5s 2(s+1) 10(s+5)

]

Se puede despejar las constantes

[]

[

]

[

11 2 −1 1 1 −1 1 1 − L + L−1 L 2 5 s s−(−1 ) 10 s− (−5 )

]

De acuerdo a la aplicación de la inversa

−1

L

{ 1s}( t ) =1

−1

L

{ s−aa } ( t) =e

at

Se aplica en cada uno de los términos 1 −t 11 2 ×1− × e + × e−5t 2 5 10 Finalmente, el resultado de la transformada inversa de Laplace 1 −t 11 −5 t 2 1(t)− e + e 10 2 5

Ejercicio 7 Resuelva los siguientes de valor inicial usando el método de la transformada de Laplace, justificando cada procedimiento: a.

y ' +0.001 y =e−0.02 t , y ( 0 )=0 Aplicamos la transformada de Laplace a cada término de la ecuación diferencial: L { y } ...