FCS-TLAC y LB-Mat. I-U.3-Matrices-Ap. Teórico PDF

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Facultad de Ciencias de la Salud U: MatricesUNaF – Facultad de Ciencias de la Salud – Año Académico 2020 - Matemática I – Apuntes de cátedra Material elaborado y/o recopilado por el Esp.- Prof. Jorge MoraUNIVERSIDAD NACIONAL DE FORMOSAFACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUDCARRERAS:- Técnico en Laboratorio...

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Universidad Nacional de Formosa

Matemática I

Facultad de Ciencias de la Salud

U.3: Matrices

UNIVERSIDAD NACIONAL DE FORMOSA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD

CARRERAS: - Técnico en Laboratorio de Análisis Clínico - Licenciatura en Bromatología ASIGNATURA - MATEMÁTICA I: Apuntes de Cátedra

UNIDAD 3: Matrices INTEGRANTES DE LA CÁTEDRA Profesor Adjunto Ordinario

(a Cargo de la Cátedra):

Esp-Prof. Jorge Mora

Profesor Adjunto Interino: Esp-Prof. Mario E. Quintana Jefe de Trabajos Práctico Interino: Prof. Teresa E. Cardozo Jefe de Trabajos Práctico Interino: Prof. José H. Pereira

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U.3: Matrices

Unidad N° 3: Matrices Hamilton (irlandés), Sylvester (inglés) y Cayley (inglés) introdujeron a mediado del siglo XIX el concepto de matriz y con él designaron un arreglo o caja rectangular de números. Posteriormente estudiosos norteamericanos y europeos, estudiaron el pase del álgebra de matrices al álgebra lineal. Naciendo así los conceptos de transformaciones lineales y espacios vectoriales y aparecen los entes matemáticos: vectores y espacios vectoriales entre otros. Sylvester en 1850 llamó MATRIZ a una disposición rectangular de números. Otros matemáticos como Frobenius, Hermite, Jordan entre otros, han contribuido notablemente al desarrollo del álgebra de matrices. Concepto: Para arribar al concepto de matrices partiremos de dos intervalos naturales iniciales: Im = {1, 2, ..., m} y I n = {1, 2, ..., n} Realizando con ellos el producto cartesiano Im x In. Por definición de producto cartesiano obtenemos un conjunto formado por los pares ordenados que resultan de ese producto, a tal conjunto se lo designa con X X = Im x In = {(1, 1); (1, 2); ...; (1, n); ...; (i, j); ...; (m, n)} tal que

o(X)

= m x n “el cardinal del conjunto X es igual a m x n”

Si al conjunto X se lo considera Dominio de la función f: X  K/ f le asigna como imagen a cada par que pertenece X un escalar de K. f: X  K/ f(i;;j) = aij

o f: Im x In  K

Con la notación aij se designa al elemento de K que es imagen del par (i, j) / (i, j) pertenece al Im x In. Entonces por la definición de la función f, resultará: f(i;j) = aij. Dominio de la función:

X = {(i, j) / i = 1, 2...,m; j = 1, 2, ...n}

Codominio o imagen de la función: I / I  K I = {a ij / a ij  K  f(j; j) = a ij} La regla de formación o asignación f(i;j) = aij que define los elementos de la imagen de la función, no necesariamente debe responder a una fórmula matemática conocida, tampoco debe depender de los valores de los subíndices i,j. Puede afirmarse que por lo general esa regla es arbitraria.

La función f : Im x In  K recibe el nombre de matriz de clase mxn. No se impone a la función f la condición de ser función inyectiva ni sobreyectiva.

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Al conjunto imagen se lo puede escribir en forma de cuadro, ese cuadro contendrá los mxn elementos, dispuestos en m filas y n columnas, de forma tal que cada fila esté formada por los elementos que son imágenes de los pares ordenados que tienen la misma primera componente y cada columna contendrá los elementos que son imágenes de los pares ordenados que tienen la misma segunda componente. Simbólicamente se designa con M (u otra letra de imprenta mayúscula) al conjunto imagen, a los elementos de ese conjunto se los encierra entre paréntesis o corchetes.

 a11 a12 . . . a1j . . . a1n   a 21 a 22 . . . a . . . a2n 2j   ..................................... M   a i1 a i2 . . . aij . . . ain   .....................................  a a . . . a . . . amn mj  m1 m2

          

a f(i;,j) = aij se lo denomina elemento genérico

A la Matriz M también se la puede simbolizar mediante M = [aij] mxn,

ó M  Kmxn

Los subíndices de cada elemento expresan el número de la fila y de la columna a la que pertenecen: así aij que pertenece a M es elemento de la fila i-ésima y de la columna j-ésima, y es la imagen del par (i,j) a través de la función f. Por ejemplo: a21 es elemento de la 2da fila 1ra columna EJEMPLO: suponga mos m = 2  n = 3

y f(i,j) = i . j

Dominio de la función: X = {(i, j) / i = 1, 2  j = 1, 2, 3} = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 2); (2, 3)} Codominio o imagen de la función: I = {1, 2, 3, 4, 6} f(1, 1) = 1 . 1 = 1 f(1, 2) = 2 f(1, 3) = 3

El cuadro que representa a la matriz será:

f(2, 1) = 2 f(2, 2) = 4 f(2, 3) = 6

1 2 3  M   2 4 6

M  K2x3, se lee: “matriz M de clase 2 por 3” Matriz: función: Im xIn K que puede escribirse como un conjunto ordenado de números, dispuestos en m filas y n columnas. Orden de una matriz: está dado por el número de filas y columnas que la forman. M = [a ij] mxn M  Kmxn

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Las matrices como tablas de doble entrada: las matrices suelen utilizarse para organizar sistemáticamente información de carácter estadístico útil para la toma de decisiones. EJEMPLO: Un investigador efectúa un experimento repetidas veces bajo diversas condiciones utilizando diferentes tratamientos. Si al número de tratamientos lo simbolizamos con “m” y al número de medidas en cada tratamiento, “n”. Las variables discretas o índices será n: i = número de tratamiento j = número de medida a ij: es la j-ésima medida del i-ésimo tratamiento. La tabla de medidas de los tratamientos será la matriz cuyo elemento de lugar (i,j) es a ij. Tabla: Tratamiento medida número Nº j=1 j=2 j=3 0,9 1,1 1,3 i =1 0,8 0,9 1,2 i =2 1,0 1,4 1,7 i =3

Matriz:

 0,9 1,1 1,3 1,9    T   0,8 0,9 1,2 1,7   1,0 1,4 1,7 2,1   

j=4 1,9 1,7 2,1

T  K3x4

Otro EJEMPLO de aplicación de Matriz: La empresa comercial "Reactivos S XXI", registra sus ventas mensuales de reactivos de acuerdo con la siguiente clasificación: reactivo A, reactivo B y reactivo C. Al elaborarse el informe para el primer bimestre de actividades del año en curso, se han registrado los siguientes datos de venta; los mismos están expresados en miles de pesos.

Enero Febrero

Reactivo A 10,4 12

Reactivo B 5 6,5

Reactivo C 9,1 10

10,4 5 9,1  El resumen, los valores se pueden representar en la matriz: A     12 6,5 10  CLASIFICACIÓN DE MATRICES Algunas matrices presentan características particulares en la disposición o naturaleza de sus elementos. En función a estas características podemos clasificar a las matrices de la siguiente forma: I) Si A  Kmxn  es m = n

 A es matriz cuadrada.

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Las matrices cuadradas se pueden clasificar entre otras en: superior triangular inferior diagonal o casi escalar Matrices cuadradas escalar identidad simétrica antisimétrica

II) Si A  Kmxn  es m  n  A es matriz rectangular.

 rectangular horizontal si m  n  rectangular vertical si m  n

Matrices rectangulares 

III) Otras matrices especiales (nómina no exhaustiva):

Nula , Opuesta Conjugada Hermitiana Regular Singular Inversible Adjunta

I) Matriz cuadrada Si m = n, la matriz AKmxn se llama matriz cuadrada y tiene igual número de filas que de columnas.

 a11 a12 a 13    Si m = n = 3 es A = [a ij]3x3 = a21 a 22 a 23    a31 a 32 a 33  A es de clase n x n; o matriz cuadrada de orden n.

nxn

Generalizando: A = [a ij]nxn o A  K

o

A  K3x3

25  0,15 Ejemplo: B     - 13 - 0,8

 a 11 a 12 . . . . . a1n   . . . .. . . .. . . .. . a a . . . . . a nn  n1 n2

    

En las matrices cuadradas tiene particular interés la diagonal principal, que es la diagonal que va del vértice superior izquierdo al vértice inferior derecho y está formada por los elementos a ij en los que i = j. D = {a ij /i = j} D = {a 11; a 22; ... ;a nn} subconjunto ordenado del conjunto imagen de la matriz. Los elementos de la diagonal principal se simbolizan: a ij con i = j = 1, 2, . . . , n En A = [a ij]3x3 es D = {a 11; a 22; a 33}

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En estas matrices la diagonal secundaria es la que va desde el vértice inferior izquierdo al vértice superior derecho. Los elementos a ij y a ji elementos de subíndices permutados son simétricos respecto a la diagonal principal y reciben el nombre de elementos conjugados, los que están en la diagonal principal son conjugados de sí mismo. Entre las matrices cuadradas trataremos A: matriz triangular superior, matriz triangular inferior, matriz diagonal, matriz escalar, matriz identidad, simétrica y matriz antisimétrica. La matriz de clase 1 x 1 se identifica con un escalar. Matriz triangular superior: todos los elementos bajo la diagonal principal son nulos. 2 0 -5    A = [a ij] nxn es triangular superior  a ij = 0  i > j Ejemplo A =  0 - 5 2 

 0 0 -1   

Matriz triangular inferior: A = [aij] nxn

- 5 0 0   es triangular inferior  a ij = 0  i < j Ejemplo A =  2 1 0  - 1 9 4   

Matriz diagonal o casi escalar: matriz que tiene nulos a todos sus elementos no pertenecientes a la diagonal principal. A = [a ij] nxn es diagonal  a ij = 0  i  j A es diagonal

 aij  0 si i  j  aij  0 si i  j



5 0 0    Ejemplo A = 0 - 7 0  0 0 2   

Matriz escalar: matriz diagonal en la que todos sus elementos diagonales son iguales. A = [a ij] nxn

a ij  0 si i  j es escalar   a ij   si i  j

 2 0 0   Ejemplo A =  0 2 0  0 0 2  

Matriz unidad o matriz identidad: matriz en la que sus elementos diagonales son iguales a la unidad. A = [a ij] nxn

 aij  0 si i  j es matriz unidad   Ejemplo A =  aij  1 si i  j

1 0 0    0 1 0  0 0 1   

Suele escribirse [1]nxn

 -1 2   m21 = m12  2 1

Matriz simétrica: matriz cuadrada en la que a ij = a ji i, j, Ejemplo M = 

Las matrices: diagonales, escalares y la unidad son simétricas.

Matriz antisimétrica: Es la matriz A= [a ij]nxn

a ij  - a ji si i  j en la que:i j:  Ejemplo R= a ij  0 si i  j

 0 6 2   - 6 0 - 5  - 2 5 0   

La definición de matriz antisimétrica implica que los términos de la diagonal principal sean nulos. UNaF – Facultad de Ciencias de la Salud – Año Académico 20 20 - Matemática I – Apuntes de cátedra Material elaborado y/o recopilado por el Esp.- Prof. Jorge Mora Página 6

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II) Matriz rectangular Si m  n, la matriz A = [a ij]mxn se llama matriz rectangular. Todas las matrices que no son cuadradas son rectangulares. Si m  n y en A = [a ij] mxn es m > n  A es matriz rectangular vertical.

A=[a ij]3x2

a a12   11    a a A=  21 22   a 31 a 32 

Si m  n y en A = [a ij] mxn es m < n  A es matriz rectangular Horizontal

A=[a ij]2x3

 a11 a12 a13   A=   a 21 a 22 a 23 

Vector nulo: vector fila o vector columna con todos sus elementos ceros. 0 0 ... 0 

0  0  .  o .    .  0 

Vector unidad: Es el vector fila donde el j-ésimo componente es la unidad y todos los demás elementos son nulos. l1 = 1 0 0 ... 0 l2 = 0 1 0 ... 0 ................. ln =  0 0 0 ... 1 Si consideramos vectores columnas, el vector unidad es aquel en el que el i-ésimo elemento es la unidad y todos los demás elementos son nulos.

l1 =

1  0  0  .    .  .   0  

. . . . . . . . . . . . . .lm =

0  0  0  .    .   .   1  

III) OTRAS MATRICES ESPECIALES Matriz nula: matriz en la cual todos sus elementos son nulos. A = [a ij]mxn es nula  a ij = 0 i j Suele escribirse: N = 0 = [nij]mxn con nij = 0, i j Matriz inversa aditiva u opuesta: A = [a ij]mxn es inversa aditiva u opuesta de B = [bij]mxn  bij = - a ij i j  B = -A, es decir, los elementos de B son opuestos a los elementos de A. Reemplazando la matriz B tendr emos: A = [a ij]mxn y - A = [-a ij]mxn matrices opuestas UNaF – Facultad de Ciencias de la Salud – Año Académico 20 20 - Matemática I – Apuntes de cátedra Material elaborado y/o recopilado por el Esp.- Prof. Jorge Mora Página 7

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Matriz traspuesta: Sea la matriz A = [a ij]mxn la traspuesta de A será la matriz de clase n x m que se obtiene intercambiando filas por columnas o viceversa sin alterar el orden relativo de los elementos. A esa nueva matriz la identificaremos At. A = [a ij]mxn

tiene su traspuesta en At = [a ij]nxm.

Propiedades de la matriz traspuesta 1) (a A) t = a . A t

2) (A + B) t = A t + B t

3) (A . B) t = B t . A t

Relaciones entre matrices Igualdad de Matrices: A = [a ij]mxn y B = [bij]rxs son iguales  satisfacen las siguientes condiciones: i) son del mismo orden ( m  r  n  s ) ii) los elementos correspondientes son iguales a ij  bij

En símbolos:  m  r  n  s A B  a ij  b ij  ij

OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE UNA MATRIZ A  Km x n Sea A  K mxn, las operaciones elementales que pueden realizarse sobre ella son: 1) Intercambio o permutación de 2 líneas paralelas entre si. 2) Adición de una línea al múltiplo otra paralela y reemplazo de una de ellas por la resultante. 3) Multiplicación o división de una línea por un escalar no nulo. Al efectuar estas operaciones sobre una matriz obtenemos otra matriz que es equivalente a la dada. B ~ A  B se obtiene efectuando un número finito de operaciones elementales sobre A. B ~ A: se lee B es equivalente a A. Sea A  K mxn A1, A2 . . . Am son sus vectores filas. Se llama operación elemental de filas sobre A a toda matriz obtenida por operaciones del tipo:

A=

 A1     A2     A   i     A   j      A    m

 A* = B =

 A1     A2     A   j        Ai       A   m

Intercambio y de 2 filas entre sí.

 A1     A2  A=    A   i     A   m

 A1     A 2  A* = B =     kA  i       Am 

k 0

Producto de una fila por un escalar.

 A1   A1       A2   A2  Suma de una fila (Ai) a otra (Aj) multiplicada por A  A  A =  i   A* =  i un escalar (k) y reemplazo en (Aj).   A i  KA j   Aj          A   Am   m  Las matrices que se obtienen al realizar las operaciones elementales sobre las líneas de A se llaman matrices elementales. UNaF – Facultad de Ciencias de la Salud – Año Académico 20 20 - Matemática I – Apuntes de cátedra Material elaborado y/o recopilado por el Esp.- Prof. Jorge Mora Página 8

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Equivalencia de matrices Sean A  Kmxn  B  Kmxn, podemos decir que A es equivalente a B y expresar A ~ B, sí y sólo si B se obtiene efectuando un número finito de operaciones elementales sobre A. Equivalencia de matrices: goza de las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.: ~ es una relación de equivalencia establecida en Km x n. Ejemplo:  1 2  1  1 2  1   A=  2 5 4    0 1 6  3 7 4  0 1 7      Combinaciones de operaciones elementales sobre A para obtener B

F2 + (– 2). F1 en F2 F3 + (– 3). F1 en F3



 1 2  1   0 1 6  0 0 1   

F3 + (–1). F2 en F3



 1 2 0    0 1 0   0 0 1  

 1 0 0    0 1 0  0 0 1  

F1 + F3 en F1 F2 + (– 6). F3 en F2

= B

F1 + (–2). F2 en F1

OPERACIONES ENTRE MATRICES 1.- Adición de matrices: Dadas las siguientes matrices, todas pertenecientes a K mxn : A = [a ij]mxn

B[bij]mxn

........

K = [kij]mxn

Se define suma de estas matrices a la matriz S/ S  Kmxn , cuyos elementos se obtienen sumando los elementos correspondientes de las matrices A, B ... K S = [Sij]mxn = [a ij + bij + . . . + kij]mxn

S 11 S12 . . . S1n    .   a11 . . . a1n   b 11 . . . b1n   S=  .  = a . . . a  +  b . . . b  + . . . + mn  mn   m1   m1  . S Smn   m1 S m2  - 3 2   Ejemplo: A =  1 3   0 6  

 1 3   B =  0 - 1  -1 2   

- 2 - 3    C=  4 5 3 5  

 k 11 . . . k1n   k ... k  mn   m1

 -4 2    S=  5 7   2 13   

Propiedades de la suma de matrices: 1) Propiedad de cierre o clausura A  Kmxn  B  Kmxn

A+B=S 

S  Kmxn

2) Propiedad asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) 3) Existencia elemento neutro:  0  Kmxn / A + 0 = 0 + A = A A  Kmxn 4) Existencia del inverso aditivo: A  Kmxn;  (-A)  Kmxn / (-A) + A = A + (-A) = 0 5) Propiedad conmutativa:

A+B=B+A

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2.- Diferencia de Matrices Sean A = [a ij]mxn  B = [bij]mxn se define la diferencia A – B como la matriz D = [dij]mxn cuyas componentes se obtienen sumando a los elementos de la matriz A los elementos correspondientes de la matriz opuesta de B. D = A – B = A + (-B) siendo cada elemento de la matriz D dij = a ij + (-bij)

- 2 - 3   3 1  2 3  ; R =   y -R =    2 -5  1 3 - 2 5 

 1 - 2   3 - 2

Ejemplo: sean Q = 

Q – R = Q +(-R) = 

3.- Producto de una matriz por un escalar Sean la matriz A = [aij]mxn y el número ordinario o escalar . El producto del escalar  por la matriz A de clase m x n es otra matriz de clase m x n, definida del siguiente modo:  . A =  [aij]mxn donde cada elemento se obtiene multiplicando  por cada uno de los elementos de la matriz A. Si [ . A] = B bij =  a ij i, j . A =  [aij]mxn = [ a ij]mxn = [a ij . ]mxn =...