FDN Analyse quantitative intra 21 PDF

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À l'intra...

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FDN Analyse Quant Quantitat itat itative ive INTRA

Alicia PROJEAN

Modéliation: trouver les variables de décision, fonction objectif, les contraintes avec celle de non négativité, ≠x à droite met 0 Transformation en canonique: on souaite toujours MAXIMISER et avoir ≤ et xᵢ ≥ 0 Soit le PPL: Minimiser 2x₂-3x₃+x₄ sujet à x₁+x₂+x₃ ≥ 10; 2x₁-x₄ ≤ 20; x₂ - 2x₃ ≥ 0 avec x₁ ≥ 0; x₂≤ 0; x₃≥0; x₄ ≥ 0 Canonique: maximiser -2x₂+3x₃-x₄ sujet à -x₁-x₂-x₃≤-10; 2x₁-x₄≤20; -x₂+2x₃≤0 MAIS parce que x₂≤0: 2x'₂+3x₃-x₄ sujet à -x₁+x'₂-x₃≤-10; 2x₁-x₄≤20; x'₂+2x₃≤0 avec x'₂≥0 donc xᵢ≥0 Donner la forme standard (= et xᵢ≥0)+ nombre de solutions de base potentielles+ de base donné PPL:Minimiser 2x₂-3x₃+x₄ sujet à x₁+x₂+x₃≥10; 2x₁-x₄≤20; x₂-2x₃≥0 avec x₁≥0; x₂≤0; x₃≥0; x₄≥0 Standard (variables d'écart):min 2x₂-3x₃+x₄ sujet à x₁+x₂+x₃-x₅=10; 2x₁-x₄+x₆=20; x₂-2x₃-x₇=0; x₁≥0; x₂≤0; x₃≥0; x₄≥0. On a 𝑛! 𝑛 donc: 3 équations m, 7 variables n, k(initial)+m=n 𝑘 = 𝑘! 𝑛 − 𝑘alors 7!/(4!*3!) =35 solutions de base (sommets possibles). ! Si on a variables de base x₁, x₆, x₇ (variables qui peuvent différer de 0) donc x₁+0+0-0=10; (2*10)-0+x₆=20; 0-0-x₇=0 donc x₂=0; x₃=0; x₄=0; x₅=0, alors x₁=10; x₆=20; x₇=0 (sommets potentiels). IMP: (k+m-l)!/(m!*(k+m-l-m)!) pour l: = Variables hors bases= les variables à 0, le autres sont ''de base''. N-m= nombre de variables égales à 0 Donner la forme Dual d'un PPL Soit le PPL suivant: minimiser z=2x₁ - 4x₃ sujet à 4x₁ + 5₂ ≤ 60; 2x₁ + 7x₃ ≥ 30; x₁ - 2x₂ ≤ 0; xᵢ ≥ 0

Forme canonique (≤): maximiser -2x₁ + 4x₃ sujet à 4x₁ + 5x₂ + 0x₃ ≤ 60; -2x₁ + 0x₂ -7x₃ ≤ -30; x₁ -2x₂ + 0x₃ ≤ 0 On minimise w=60y₁ - 30y₂ Contrainte #1 (y₁) 4 5 0 60 4y₁ - 2y₂ + y₃ ≥ -2; 5y₁ - 2y₃ ≥ 0; -7y₂ ≥ 4; avec yᵢ ≥ 0 Contrainte #2 2 0 7 30 En plus du tableau, on oublie pas d'écrire qu'on a 3 Contrainte #3 1 -2 0 0 contraintes donc 3 variables y et que la maximisation donne 3 contraintes Objectif Z (cᵢ) 2 0 -4 Note: avant de mettre la forme finale (à droite du tableau, on met le dual mais en ajoutant les variables = 0 ex dernière contriante: 0y₁ -7y₂ + 0y₃ ≥ 4 Interpréter la sortie de sensibilité Excel Solveur pour établir les conséquences d'un changement dans les bornes des contraintes. Coefficient de

x₁ (ctr #1)

x₂

x₃

bᵢ (obj. W)

Cellule variables: Finale valeur: Solution optimale pr variables de décision. Objectif coefficient: coeff. de nction objectif. Contraintes: final valeur: valeur du membre gauche de la contrainte. Ombre coût: solution du dual. Contrainte à droite: b dans primal. Admissible aug.: aug. du coefficient b sans que solution duale change.

Si vaeurs de la cellule ne convergent pas: elle augmente autant qu'on veut, solution non-bornée. Faire une probabilité conditionnelle Sur 10 ans, 45% des résidences assurées situées dans zones innondables qui feront une réclamation. 20% des résidences assurées sont en zone innondable. Donner la probabilité d'une résidence assurée dans une zone innondable + réclamation dans les 10 prochaines années.

R: Réclamation pour innondation Z: Zone innondable, on cherche Pᵣ (R∩Z), Pᵣ (R│Z) = 0,45, Pᵣ (Z)= 0,2 Pᵣ (R│Z) =Pᵣ (R∩Z)/Pᵣ (Z) alors 0,45 = Pᵣ (R∩Z)/0,2 --> 0,09 = Pᵣ (R∩Z) Vérifier s'il y a indépendance entre deux événements Enfant Ado Adullte Probabilité qu'un Adulte soit en Famille: Pr(F│A) =Pr(F∩A)/ Pr(A) = (10/161)/(34/161) = 10/34. Probabilité hasard qu'une personne soit en famille et Seul 10 26 8 ado: Pr(F∩Ado)= 16/161. Probabiité hasard personne soit seule(B) étant donnée Entre amis 12 56 16

que c'est un adulte: Pr(B│A)=Pr(B∩A)/Pr(A)= (8/161)/(24/161) = 8/34. Événement Enfant&Entre amis indépendants? Indépendance: Pr(D│E)=Pr (D) et Pr (E│D)=Pr(E ) -->Pr(D│E)=12/29 ≠ Pr(D)= (12+56+16)/161=12/23. Non donc dépendant

En famille

7

16

10

Faire un calcul par la formule de Bayes Restaurent: 30 Hommes, 50 Femmes, 10 Enfants. Menu du jour (M). Pr enfant prend M: 10%. Femme prend M: 60%. Homme prend M:40%. Pr qu'une personne au hasard choisi menu du jour? Pr(M│H)= 0,4. Pr(M│F)=0,6. Pr(M│E)=0,1 .et Pr(H)=30/90. Pr(F)=60/90. Pr( E)=10/90. Règle de Bayes: Pr(M│H)*Pr(H)+Pr(M│F)*Pr(F)+Pr(M│E)*Pr(E ). On obtient: 0,4*(30/90)+0,6*(50/90)+0,1*(1/90)= 0,47778

Définir une variable aléatoire (v.a.), donner son support Sx, calculer son espérance et sa variance f(x)= 1/42 si x=0; 1/2 si x=2; 1/3 si x=3; 1/7 si x=7 moyenne: (1/42*0=0)+ (1/2*2)+ (1/3*3)+(1/7*7). On a donc 0+1+1+1, la

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moyenne est donc 3. Varience E(x): (x-moyenne *f(x). Donc E(x)= 0 +(12/47)+ 2*(15/47)+3*(8/47)+4*(7/47)+5*(2/47)= )2 2,3404. donc (0-2.34)²*(2/47)+(12,34)²*12/47+ (2-2,34)²*15/47+(3-2,34)²*8/47+(4-2,34)²*7/47+(5-2,34)²*2/47+(6-2,34)²*1/47 = 1,799 CH#2 Solution graphique Chaque solution: un pont sur un demi-plan (x₁:axe horizontal et x₂:vertical). On trace la droite qui donne la borne de la contrainte puis on détermine le sens (test). Résultat fondamental de programmation linéaire: la solution optimale est nécesairement un sommet du polygone des solutions réalisables. On calcule la valeur du Z pour chaque sommet. Solutions: inexistante (polygone vide), multiple (deux sommets mm valeur), non-borné ( impossible de limiter le Z). CH#3 Solutions pour k variables Créer un polygone de contraintes (de solutions réalisables) et chercher sommets qui donne valeur optimal pr fonction objectif Z CH#4 Dual et sensibilité On veut connaitre l'effet d'une modification de la borne (bᵢ) sur le W et Z (profits). Rappt. sensibilité: solution possible du dual variations possibles des bornes pur rester dans espace solution réalisables CH#5: Probabilité

Principales règles: Pr(A)=1-Pr(Aᶜ); Pr(AUB)=Pr(A)+Pr(B)-Pr(A∩B); Pr(S)=1 Quand l'espace échantillon est équiprobable (les évènements élémentires ont la même probabilité): 𝐶𝐴𝑅𝐷 𝐴 𝐶𝐴𝑅𝐷 𝑠

sinon, 3 techniques pour créer ensemble équiprobables et pour dénombrer les éléments d'un ensemble:méthode k expérience indépendantes: Card(S)= n₁*n₂*n₃… Permutation de k objets: Card(S)=k! (pour ordre précis); Combinaison du choix de k objets parmi n: Card(S)= Cardinalité: nombre d'éléments dans l'ensemble CH#6 Support (Sx): énumération des valeurs possibles. Variables aéatoires: discrète (dénombrable); Continue (intervalle)....