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Schemi per esercizi di statistica ...

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Calcolo delle probabilità Si definisce evento aleatorio (casuale) un qualsiasi esito di un esperimento aleatorio Eventi aleatori elementari , indicati con il simbolo aleatorio Unione di due o più eventi elementari.

-

Ex: lancio di una moneta --> due possibili eventi elementari

ωi , ovvero i singoli risultati di un esperimento

ω1 =testa ;ω2= croce

Stessa cosa quando si tratta di “lancio di un dado”. Se per esempio l’evento aleatorio A = { estrazione di una faccia riportanteil valore pari } --> qui diventa un evento composto in quanto unione degli eventi elementari 

ω2

ω4

ω6

Spazio campionario: l’insieme di tutti i possibili eventi elementari, denotato con Ώ Esempio: lancio di due monete: Ώ

{ ( C , C ) ; ( C ,T ) ; ( T , C ) ;(T ,T ) }

Dato un evento E si definisce negato dell’evento E (denotato con l’opposto di quello di E.

Ẽ ) l’evento il cui valore logico è

Ex: il tempo di vita di un transistor non è superiore a 5 ore : E = { x :0 ≤ x ≤ 5 } --> quindi si ricava che l’evento negato superiore a 5 ore”, ovvero: { x : x >5 }

Ẽ

è descritto dall’enunciato “il tempo di vita di un transistor è

E1 ed E 2 , definiamo unione o somma logica di quest’ ultimi, l’evento aleatorio, denotato con E1 U E 2 , che si verifica quando si verifica almeno uno

Unione o somma logica: dati due eventi

dei due eventi che lo compongono. L’evento unione è descritto dall’enunciato “esce un nu E1=faccia 1; E 2=faccia 2 Ex: Lancio di un dado mero inferiore o uguale a 2”. Intersezione o prodotto logico: quando si verificano contemporaneamente i due eventi che lo compongono. E1=esce un numero inferiore a 4 ; E2 =esceun numero dispari Ex: lancio di un dado

E1=ω1 ; ω2 ; ω3 ; E2=ω 1 ; ω 3 ; ω5 E1 ∩ E2 { ω1 ;ω3 }

-

Le operazioni di unione logica ed intersezione logica soddisfano le seguenti proprietà: Commutativa Associativa Distributiva

Due eventi si dicono incompatibili quando il verificarsi di uno di essi implica il non verificarsi dell’altro. Altrimenti si dicono compatibili. Definizione di probabilità: La probabilità di un evento aleatorio E C Ώ, denotata con P(E), è il rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi dell’evento E e il numero di casi possibili, supposti tutti ugualmente uguali.

P(E) =

numeri di eventi elementari ∈ E numero di eventi elementari ∈ Ώ

Ex: lancio di due dadi. Probabilità di fare 9. Spazio campionario 6*6= 36 (essendo due dadi); il 9 si può ottenere con: (4,5) ; (5,4) ; (6,3) ; (3,6). Quindi P(E) = Oppure E:

4 1 = 36 9

{ la somma dei valori os servati è 4 }

LANCIO DI 3 DADI

--> (1,1,2) ; (1,2,1) ; (2,1,1). Spazio campionario è uguale a

6

3

 Quindi P(E) =

3 63

Da un mazzo di carte da poker vengono estratte successivamente due carte, senza che la prima venga reinserita. Calcolare la probabilità che le carte estratte siano due assi. Quindi al denominatore dovremmo mettere 52*51 = 2652 Poiché esistono 4 coppie di assi per 3 possibili coppie ordinate = 12 Cioè 

12 =circa 0.005 2652 Si definisce spazio degli eventi aleatori l’insieme di tutti i possibili eventi aleatori associati ad un determinato esperimento casuale. Lo spazio degli eventi è denotato con il simbolo ɛ In generale, se lo spazio campionario contiene k eventi elementari, lo spazio degli eventi k 2 eventi aleatori.

ɛ conterrà

Si definisce Funzione di probabilità, e verrà indicata con P(•), una qualsiasi funzione definita sullo spazio degli eventi ɛ che soddisfa i seguenti assiomi. 1. P(E)≥0 per ogni evento E

∈ ɛ (assioma di non negatività)

2. P(Ώ) = 1 (assioma di normalizzazione) 3. Teorema delle probabilità totali per eventi incompatibili: P( E1 U E 2 ) =

Teorema Sia E un evento ed

E P(¿¿ 1)+P (E2 ) ¿

Ẽ il suo negato. P( Ẽ ) = 1 – P(E)

Teorema della probabilità totale per eventi qualsiasi

P( E1 U E 2

E ¿ )= P(¿¿ 1)+P ( E 2 )− P ¿ ¿

E1 ∩ E2 ¿

Esempio: da un mazzo di carte francesi viene estratta una carta. Calcolare la probabilità che la carta estratta sia di picche o un re.

-->

A1∩ A2

P( E1 U E 2

= re di picche

A 1=estrazionedi un ℜ ; A 2=estrazione di un a carta di picche

E ¿ )= P(¿¿ 1)+P ( E 2 )− P ¿ ¿

E1 ∩ E2 ¿ =

4 13 1 16 + − = 52 52 52 52

Se per esempio lanciando due dadi, sappiamo già l’esito del primo lancio --> probabilità condizionata dell’evento A dato che si è verificato l’evento B. La probabilità di A condizionatamente a B, detta anche probabilità di A dato B, denotata con P(A|B), consiste nella valutazione della probabilità di un evento A valutato subordinatamente allo spazio campionario generato dall’evento B. P(A|B) =

P( A ∩ B) P(B)

dalla quale (invertendo) si trova la legge delle probabilità composte o regola

moltiplicativa per il calcolo della probabilità congiunta (ponendo come elemento da trovare

P( A ∩ B) .

Ex: da un mazzo di 52 carte vengono estratte tre carte senza reinserimento. Calcolare probabilità di pescare 3 assi. 4/52 * 3/51 * 2/50 Il valore atteso: Si consideri l’esperimento casuale lancio di un dado e si indichi con X la variabile aleatoria che associa ad ogni faccia il valore riportato. Calcolare il valore atteso. --> il dominio di X è definito come D = E(X) = μ =

{ 1,2,3,4,5,6} ed p(x) = 1/6

si ricava che

1∗1 2∗1 3∗1 4∗1 5∗1 6∗1 ( 1 +2+ 3 + 4 +5+ 6 )∗1 + + + + + = =3,5 6 6 6 6 6 6 6

Il valore atteso costituisce un caso particolare di quelli che sono in letteratura come momenti di una variabile aleatoria. Sia X una variabile aleatoria discreta con dominio D. Si definisce momento teorico di ordine r e di origine m la quantità:

r r μm , r= E [ ( X −m ) ] = ∑ ( x−m ) ∗ p ( x ) x∈D

Quando μ = m --> momento teorico centrato di ordine r (cambiare la formula invertendo le m con μ Quando m = 0 --> momento teorico di ordine r (cambiare formula togliendo m) Il momento teorico centrale di ordine 2, chiamato anche varianza e denotato con il simbolo quadrata di questa è nota come deviazione standard, σ .

σ

2

, la radice

I momenti teorici centrati di ordine 3 e 4, ovvero:

μ3= ∑ ( x−m ) 3∗p( x ) x∈ D

μ4 = ∑ ( x −m) 4∗p (x ) x∈D

Svolgono il ruolo centrale per l’analisi della forma della distribuzione di probabilità. L’analisi della forma si basa sullo studio di due aspetti:

1. Asimmetria 2. Curtosi L’asimmetria può essere positiva o negativa oppure si potrebbe trattare semplicemente di simmetria. - Asimmetria positiva: da sinistra, si parte dal basso, alto, basso. (più alta a sinistra) - Asimmetria negativa: da destra, si parte dal basso, alto, basso (più alta a destra) - Simmetria: basso, alto, basso (più alto al centro) Il grado si asimmetria può essere misurato attraverso l’indice di Fisher:

β 1= -

μ3 3/ 2

μ2

β 1=0 → allorala distribuzione di probabilità è perfettamente simmetrica Se β 1 >0→ asimmetrica positivae il grado di asimmetria cresce al crescere di β 1 Se β 1< 0→ asimm . negativa e il grado di a simmetria negativa cresce al ridursi di β 1 Se

Variabile Aleatoria Binomiale: Trae origine dall’esperimento o prova Bernoulliana, un esperimento casuale i cui possibili esiti sono costituiti da due eventi mutuamente esclusivi (ex: testa o croce, maschio o femmina). o o o

Un evento sarà definito successo, mentre l’altro insuccesso. Il risultato di una prova non modifica il risultato di una qualsiasi altra prova La probabilità dell’evento successo, denotata con π , rimane costante di prova in prova.

Ex: estrazione di 3 palline dall’urna (dove sono solo bianche e nere). 2 palline bianche su 3 sono quello che vogliamo calcolare (e quindi l’evento successo). (B,B,N) ; (B,N,B) ; (N,B,B) P(X=2)= P (

{B , B , N } ∪ {B , N , B } ; {N , B , B} ¿

1° CASO:

π 2 ( 1−π ) e sarà così uguale anche per gli altri due casi. --> quindi 3• π 2 ( 1−π )

π*π*(1-π) =

In generale:

P ( X=x ) =

(nx ) π (1−π ) x

n− x

()

n! dove n = x x ! ( n−x ) !

Si considerino 10 dipendenti estratti a caso e con reinserimento tra quelli che lavorano in una data azienda. Si indichi con X il numero di uomini presenti nel campione. Assumendo che il numero di uomini presenti in azienda è pari al 40% del totale dei dipendenti, determinare: a) La probabilità che 3 dipendenti, tra i 10 considerati, siano uomini b) La probabilità che il numero di uomini estratti sia inferiore o uguale a 3, tra i 10 dipendenti scelti a caso

c) La probabilità che vi siano almeno 5 uomini,tra i 10 dipendenti scelti a caso d) La probabilità che tra i 10 dipendenti estratti vi sia un numero di uomini compreso tra 3 e 5. Si ricava che la variabile aleatoria X si distribuisce come una binomiale con parametri n = 10 e

π =0,4

( )

x 10 −x P ( X=x ) = 10 0,4 • 0,6 x

a)

b)

( )

3 7 P ( X=3 ) = 10 0,4 • 0,6 3

dove N . B . il 10 al numeratore è fattoriale e al denominatore c ' è un 3 fattoriale per 7 fattoriale P ( X ≤ 3 ) =P ( X=0 )+P ( X =1 )+P ( X=2 ) + P( X=3) quindi --> o P ( X=0) = 10 0,4 0 • 0,610 =0,006 circa 0 o

o

o

( ) 10 P ( X=1) = ( )0,4 • 0,6 =0,040 circa 1 P ( X=2) = (10 )0,4 • 0,6 =0,121 circa 2 P ( X=3) = (10 )0,4 • 0,6 =0,215 circa 3

Quindi il totale è dato da c)

1

9

2

8

3

7

P ( X ≤ 3 ) =0,006+0,040+ 0,121+ 0,215=0,382

Utilizzando la probabilità degli eventi complementari, P(X≥5) = 1-(P

P ( X=4) =

≤4¿

( 104) 0,4 • 0,6 =2,51circa 4

6

Quindi usando i dati trovati in precedenza: P(X≥5) = 1-( 0,006 + 0,040 + 0,121+ 0,215 +0,251 ¿=0,373 d)

P ( X ≤ 3 ≤5 )= P ( X=3 )+ P ( X=4 )+ P ( X=5) Utilizzando i risultati precedenti e calcolando

( )

P ( X=5 ) = 10 0,4 5 • 0,6 5=0,201 5 P ( X ≤ 3 ≤5 )=0.215+0.251+ 0.201=0.667

Altro esempio: Nella roulette supponendo che il croupier lanci 10 paline consecutive, calcolare: -

La probabilità che 3 palline cadano in un settore riportante un valore compreso tra 0 e 10, estremi compresi. La probabilità che al più 2 palline cadano in un settore riportante un valore compreso tra 10 e 20, estremi compresi.

Soluzione: La variabile aleatoria X si distribuisce come una binomiale con parametro n=10, ovvero il numero di lanci.

o

π=

11 =0,30 circa 37

( )

x 10− x P ( X=x) = 10 0,3 • 0,7 x P ( X ≤ 2 ) =P ( X =0) + P ( X =1 )+ P ( X=2 ) 11 π = =0,30 circa 37 10 0,30 • 0,7 10 =0,03 P ( X=0 ) = 0

--> da cui si ricava: o

( ) P ( X=1 ) = (10 )0,3 • 0,7 = 0,12 1 P ( X=2 ) = (10 )0,3 • 0,7 =0,23 2 

1

9

2

8

P ( X ≤ 2) =P 0.03+ 0.12+ 0.23=0.38

( )

P ( X=3) = 10 0,33 • 0,77 =0,27 3...