FIN5550 - Exercices additionnels Solutions A2020 PDF

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FIN5550 Examen finalExercices additionnelsQuestion 1Un trader vend 100 contrats d’achat (position short call) portant sur un titre ne payant pas de dividendes à une prime de $2 par option. Chaque contrat est pour 100 options. L’action sous-jacente s’échange actuellement à $35, le prix d’exercice est...

Description

FIN5550 Examen final Exercices additionnels

Question 1 Un trader vend 100 contrats d’achat (position short call) portant sur un titre ne payant pas de dividendes à une prime de $2.00 par option. Chaque contrat est pour 100 options. L’action sous-jacente s’échange actuellement à $35, le prix d’exercice est de $40 et sa maturité est de 6 mois. Quel est le montant de la marge initiale? Réponse :

Le trader recevra une prime initiale de : $2.00 ×

nb de contrats

⏞ 100

La marge est calculée comme :

MAX

Prime

20% du prix

⏞ × 35 10000 × ( 2.⏞00 + 0.20 {

Prime

×

taille du contrat

⏞ 100

Valeur hors monnaie

5⏞

10% du prix

= $20,000

) = $40,000

⏞ × 35) = $55,000 10000 × ( 2⏞ + 0.10

La marge initiale est donc de $55,000 Question 2 Une action sur un titre ne payant pas de dividendes transige au prix de $15, sa volatilité est de 30% et le taux d’intérêt est de 5%. Deux options avec des prix d’exercice respectifs de 18$ et 22$ pour une maturité de 6 mois s’échangent à des primes de $0.64 et $0.10. Un trader met en place un ‘’bull spread’’. Quelle est la valeur incluant les primes versées d’un ‘’bull spread’’ à maturité si le prix final de l’action est de : • $16 • $18 • $25 Réponse : Le ‘’Bull Spread’’ requiert l’achat d’un call avec un prix d’exercice rapproché et la vente d’un call avec un prix d’exercice éloigné. La prime initiale est : $0.64-$0.10 = $0.54

La valeur du ‘’Bull Spread’’ à terme est : • • •

Long Call

Short Call

⏞ 16-18,0) - max( ⏞ 16-23,0)Si le prix final est de $16 : max( Long Call

Short Call

⏞ ⏞ - max(18-23,0) Si le prix final est de $18 : max(18-18,0) Long Call

Short Call

⏞ ⏞ 25-23,0)Si le prix final est de $25 : max(2518,0) - max(

Prime initiale

⏞ 0.54

Prime initiale

⏞ 0.54

Prime initiale

⏞ 0.54

= -$0.54 = -$0.54 = $4.46

Question 3 Un trader prend une position longue sur un 'calendar spread'' en utilisant les options d’une maturité de 3 mois et 6 mois. Le prix de l'action est actuellement de $20. La volatilité actuelle du titre est de 25%. Le taux d'intérêt sans risque en composition continue est de 5%. L'action ne paie pas de dividendes. Le trader utilise des options avec un prix d’exercice de $23. Les options sont évaluées (soit leur prix) à partir du modèle de Black et Scholes. Quel est l'investissement initial pour mettre en place les positions du ‘’calendar spread’’? Quel est le gain ou la perte le ‘’calendar spread’’ incluant la prime versée initialement si le trader dénoue sa position après 3 mois alors que la volatilité pour le titre est désormais de 28% et le taux d’intérêt est demeuré stable à 5%. • • • •

Si l’action s’échange désormais à $20 Si l’action s’échange désormais à $23 Si l’action s’échange désormais à $25 Si l’action s’échange désormais à $28

Réponse : Le ‘’calendar spread’’ implique la vente d’une option avec un maturité rapprochée et l’achat dune option de même caractéristique mais avec une maturité plus grande. L’objectif du ‘’calendar spread’’ est de profiter d’une hausse (dans le cas d’un call) lente d’un titre. Le trader pense donc que la 1ère option restera ‘’out of money’’ alors que la seconde option prendra de la valeur. En premier, vous calculez la valeur des options. J’ai utilisé Derivagem pour obtenir les prix initiaux:. 𝑆0 = $20 K = $23 𝜎 = 25% 𝑟 = 5% 𝑇 = 0.25 et 0.50

Pour T = 0.25, on obtient : 𝑐 = $0.37

Pour T = 0.50, on obtient : 𝑐 = $0.58

La prime initiale sera donc :

𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒 𝑝𝑎𝑦é𝑒 = $0.37 - $0.58 = -$0.21

Après 3 mois, vous avez toujours une option qui n’est pas à maturité. Ainsi, il reste 3 mois à l’option que vous avez acquis. Au prix de marché de $20, $23, $25 et $28 et considérant que la volatilité est désormais de 28%, on obtient : 𝑆0 = $20, $23, $25 et $28 K = $21 𝜎 = 28% 𝑟 = 5% 𝑇 = 0.25

Pour S0 = $20, on obtient : 𝑐 = $0.29 Pour S0 = $23, on obtient : 𝑐 = $1.42

Pour S0 = $25, on obtient : 𝑐 = $2.77

Pour S0 = $28, on obtient : 𝑐 = $5.39

La valeur à terme de l’option courte pour des prix d’action de $18, $21, $25 et $28 sera : • • • • •

Short Call20 = -max(20-23,0) = 0 Short Call23 = -max(23-23,0) = 0 Short Call25 = -max(25-23,0) = -$2 Short Call28 = -max(28-23,0) = -$5

La valeur du ‘’calendar spread’’ sera : • • • •

Pour S = $20 :

Pour S = $23 :

Pour S = $25 : Pour S = $28 :

Prime initiale

-⏞ $0.21 +

Prime initiale

Valeur finale

⏞ $0.29

Valeur finale

⏞ -⏞ $0.21 + $1.42

Prime initiale

Valeur finale

⏞ -⏞$0.21 + $2.77

Prime initiale

Valeur finale

⏞ -⏞$0.21 + $5.39

-

Position Short

0⏞

Position Short

0⏞

Position Short

2⏞

Position Short

5⏞

= $0.08 = $1.21 = $0.56

= $0.18

En général (si la volatilité bouge peu et que sous l’hypothèse que le marché utilise le modèle B&S), le calendar spread atteint sa valeur maximale si le prix du sous-jacent termine (après la 1ère maturité – dans ce cas 3 mois) au prix d’exercice des options.

Question 4 Le cours d’un contrat futures est de $20 alors que le taux sans risque s’établit à 5%. Quel est la valeur d’une option d’achat avec un prix d’exercice de $21 et d’une maturité de 1 an si vous utilisez le modèle binomial à 1 période? La valeur de d est de 0.8 et celle de p est de 0.50.

Réponse : En premier, vous trouvez la valeur de u : p=

Nous avons : d = 0.80 p = 0.50

1-d 1-d 1-d ⇒ u-d = ⇒u= +d u-d p p u=

1-0.8 + 0.8 = 1.2 0.5

Par la suite, vous construisez le modèle à 1 période

24.00 $ 3.00 $ 20.00 $ 16.00 $ - $

La valeur du call est donc : Call = e-0.05×1 (0.5 × 3 + 0.5 × 0) = $1.43

Question 5 Le cours d’une action ne payant pas dividendes est de $10 alors que sa volatilité est de 30% et que le taux sans risque s’établit à 5%. Quel est la valeur d’une option de vente (put) sur ce titre avec un prix d’exercice de $12 et une maturité de 6 mois si vous utilisez le modèle binomial de Cox, Ross et Rubinstein à 2 périodes pour une option européenne? Quelles sont les valeurs de u, d et p?

Réponse : La maturité de l’option est de 6 mois alors que le modèle est sur 2 périodes. Vous avez donc : ∆T = 0.25 Vous obtenez :

u = e𝜎∆T = e0.30×0.25 = 1.1618

p=

d = e-𝜎∆T = e-0.30×0.25 = 0.8607

er∆T-d e.05×0.25 -0.8607 = = 0.5043 u-d 1.1618-0.8607

En utilisant Derivagem, on obtient :

At each node: Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option Price Values in red are a result of early exer Strike price = 12 Discount factor per step = 0.9876 Time step, dt = 0.2500 years, 91.25 d Growth factor per step, a = 1.0126 Probability of up move, p = 0.5043 Up step size, u = 1.1618 Down step size, d = 0.8607 13.49859 0 11.61834 0.979003 10 10 2.075489 2 8.60708 3.243854 7.408182 4.591818 Node Time: 0.0000 0.2500 0.5000

Question 6 Une action paiera un dividende de $2.00 dans 3 mois. Quelle est la valeur d’une option d’achat (call) sur ce titre considérant que son cours actuel est de $60.00, le prix d’exercice de l’option est de $65, sa volatilité est de 30%, sa maturité est de 6 mois et le taux d’intérêt est de 5%. Utilisez le modèle Black et Scholes pour évaluer l’option? Réponse : Vous commencez par trouver la valeur actuelle du dividende.

Div0 = $2.00 × e-.05×0.25 = $1.98

Nous avons donc : S0 = $60-$1.98 = $58.02 K = $65 𝜎 = 30% T = 0.50 r = 5%

Si vous utilisez Derivagem, vous obtenez : c = $2.88

Question 7 Quel est l’équivalent d’un call sur une devise dont la cotation est $CAD/$USD, si vous utilisez la cotation inverse. Le dollar canadien vaut 1.25 $CAD/$USD et son prix d’exercice est de $1.28. Vous voulez obtenir une cotation inverse, soit à $0.80 $USD/$CAD. Réponse : Le put et le call sur une devise est symétrique. Un call donnant le droit d’acheter une devise S au taux de change K est équivalent à un put donnant droit sur une devise (1S⁄ ) donnant droit de vendre au prix de (1K ⁄ ). Un call avec un prix d’exercice de $1.28 est équivalent à un put avec un prix d’exercice de $0.78125 si vous utilisez la cotation inverse.

Question 8 Un indice boursier a une valeur de 1,500. Sa volatilité est de 25%, son rendement en dividendes est de 3% alors que le taux d’intérêt est de 5%. Quel est la valeur d’une option de vente (put) avec un prix d’exercice de 1,350 et d’une maturité de 3 mois? Quel est l’impact sur le prix de l’option si le rendement en dividendes est réduit à 2%? Réponse :

Vous avez : S0 = 1500 K = 1350 𝜎 = 25% r = 5% q = 3% T = 0.25 Vous obtenez un prix de $18.23

Qu’arrive-t-il si le rendement en dividende est réduit à 2%? Le prix du put est affecté négativement et recule à $17.59...