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Examen final de pratique - SOLUTIONSProbl`eme 1 (18 points au total - 3 points par question)VRAI OU FAUX? (Justifiez toutes vos reponses pour la ́ totalit ́e des points)(i) Il est possible de cr ́eer un bull spreada partir d’options de vente seulement. VRAI: il faut vendre et acheter un puts de stri...

Description

Examen final de pratique - SOLUTIONS

Probl`eme 1 (18 points au total - 3 points par question) VRAI OU FAUX? (Justifiez toutes vos r´eponses pour la totalit´e des points) (i) Il est possible de cr´eer un bull spread a` partir d’options de vente seulement. VRAI: il faut vendre et acheter un puts de strikes diff´erents (ii) Il est possible de cr´eer un butterfly spreada` partir d’options de vente seulement. VRAI (iii) Le prix d’une option de vente diminue lorsque le prix de l’action diminue. FAUX, le delta est n´egatif, donc les variations sont dans le sens oppos´e. (iv) Lorsqu’on vend des options de vente, il faut acheter un nombre positif d’actions pour se couvrir. FAUX, le delta d’un put est toujours n´egatif. (v) Si une action a une volatilit´e de 20%, alors la variance de ses rendements annuels sont de 4%. VRAI, variance = σ 2 × T = (0.2)2 = 0.04 = 4%.

(vi) Il est possible qu’une option d’achat et une option de vente avec les mˆemes caract´eristiques (mˆeme strike, mˆeme e´ ch´eance) termine toutes les deux a` la monnaie. VRAI, si elles ont le mˆeme strike et que le prix termine `a cette valeur exactement. Probl`eme 2 (17 points au total) Les options suivantes sont associ´ees `a l’action ABC. Elles poss`edent toutes la mˆeme maturit´e de 3 mois. Strike Prix du put Prix du call 30 0.44$ 7.99$ 35 1.78$ 4.34$ 40 4.45$ 2.02$

(i) (5 points) Selon les prix des options donn´ees, combien coˆute un butterfly spread avec les strikes 30, 35 et 40? Pour faire un butterfly spread, il faut acheter un call 30, vendre deux calls 35 et acheter un call 40. Le coˆut net est donc 7.99 - 2× 4.34 + 2.02 = 1.33. (ii) (5 points) Combien coˆute un bear spread sur les strikes 30 et 40? Pour faire un bear spread 30-40, on ach`ete le put 40 et on vend le put 30. Le co ˆut net est donc 4.45-0.44 = 4.01. (iii) (7 points) En supposant que le taux d’int´erˆet est 0.65 %, quel est le prix de l’action sous-jacente? Il faut utiliser la parit´e put-call.Par exemple, pour T = 3/12, K = 30: S0 = c − p + Ke−rT = 7.99 − 0.44 + 30e−0.0065/4 = 37.5. 1

Probl`eme 3 (15 points) Une action vaut pr´esentement 100$. Dans un mois, elle augmentera de 10% ou diminuera de 8%. Sachant que le taux d’int´erˆet est pr´esentement 0.5%, calculez le prix et le delta d’une option de vente de strike 101$ et d’´ech´eance dans 1 mois. Les prix futurs de l’action sont 110 et 92. M´ethode du delta: on vend une option et on ach`ete ∆ actions. Les payoffs u et d de l’option sont: 0 et 9. Les flux mon ´etaires en date terminale sont donc 110∆ = 92∆ − 9 et ∆ = −0.5. Le flux mon´etaire sans risque en date T est donc -55. En actualisant a` 0.5% sur 1 mois, on obtient 54.98. Cette valeur est aussi ´egale a` 54.98 = −100∆ + p = −50 − p. Donc p = 4.98. Probl`eme 4 (15 points) Une action se vend pr´esentement a` 55$. A` tous les mois, elle augmente de 10 % ou diminue de 10%. eenne de Sachant que le taux d’int´erˆet est 0%, calculez le prix d’une option d’achat de type europ´ strike 50 et de maturit´e dans 3 mois. Utilisez la m´ethode des probabilit´es risque-neutre.

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Probl`eme 5 (20 points au total) Le prix d’une action est pr´esentement 45$. La dynamique de son prix est mod´elis´e par un mod`ele Black-Scholes-Merton avec une volatilit´e de 20% et un rendement esp´er´e de 10%. Le taux d’int´erˆet est 8%. (i) (10 points) Quels sont les prix des options d’achat et de vente de strike 42 et de maturit´e 3 mois pour cette action? d1 = 0.94, d2 = 0.84, c = 45N(0.94) − 42e−0.08/4 N(0.84) = 4.27 p = 42e−0.08/4 N(−0.84) − 45N(−0.94) = 0.44 (ii) (5 points) Quelle est la probabilit´e que l’option d’achat soit exerc´ee a` la maturit´e? P(S1/4 > 42) = P(ln(ST ) > ln(42)) ln(ST ) ∼ N(ln(45) + (0.1 − 0.5 ∗ (0.2)2 )/4, ((0.2)2 )/4) = N(3.8267, 0.01) P(Z >

ln(42) − 3.8267 ) = P(Z > −0.89) = 1 − P(Z < −0.89) = 81.33% 0.1

(iii) (5 points) Quelle est la probabilit´e que l’option de vente soit exerc´ee a` la maturit´e? P(S1/4 < 42) = 1 − P(S1/4 > 42) = 18.67%. Probl`eme 6 (7 points) Un actif se vend a` 100$. Une option d’achat d’´ech´eance 6 mois et de strike 90$ se vend a` 10$. Une option de vente d’´ech´eance 6 mois et de strike 98$ se vend a` 5$. Le taux d’int´erˆet est 3%. Construisez un arbitrage. L’arbitrage provient de la parit´e put-call: c − p =? S0 − Ke−rT 10 − 5 =? 100 − 90e−0.03/2 5 =? 11.34

Le cˆot´e gauche de l’´equation est donc sous-´evalu´e, tandis que le cˆot´e droit est sur´evalu´e. Il faut donc acheter le call, vendre le put, vendre `a d´ecouvert l’action et prˆeter la somme restante: 95$. ` l’´ech´eance de l’option, si ST > K l’option d’achat est Le flux mon´etaire est date 0 est donc 0. A dans la monnaie et le put est hors-monnaie. On rec¸oit donc un payoff de ST − 90. Il faut racheter l’action pour ST et recevoir le montant prˆet´e plus int´erˆet: 96.44. Au net, il nous reste 6.44. Dans le cas contraire, si ST < K l’option d’achat est hors-monnaie et le put est dans la monnaie. La payoff a` payer est donc −(90 − ST ). Il faut racheter l’action pour ST et recevoir le montant prˆet´e plus int´erˆet: 96.44. Au net, il nous reste 6.44. C’est un arbitrage de 6.44$. Probl`eme 7 (8 points) Vous d´etenez un portefeuille d’options avec un delta de -24 et un gamma de 6 et un theta de 3. Comment faire pour construire un portefeuille delta, gamma et theta-neutre s’il existe des options de 3

type 1 avec des gammas de 0.05, theta de 0.3 et des deltas de -0.45, et des options de type 2 avec des gammas de 0.06, theta de 0 et des deltas de 0.6? On d´enote x le nombre d’actions suppl´ementaires a` acheter, y le nombre d’options de type 1 `a acheter et z le nombre d’options de type 2: ∆ = −24 + x − 0.45y + 0.6z Γ = 6 + 0x + 0.05y + 0.06z Θ = 3 + 0x + 0.3y + 0z Il faut faire en sorte que ∆ = 0, Θ = 0 et Γ = 0: 0 = −24 + x − 0.45y + 0.6z 0 = 6 + 0x + 0.05y + 0.06z 0 = 3 + 0x + 0.3y + 0z ⇒ y = −10, z = −91.67, x = 74.5 Il faut donc acheter 74.5 actions, et vendre 10 options de type 1 et 91.67 options de type 2.

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FEUILLE DE FORMULES POUR L’EXAMEN FINAL: c + Ke−rT p f ln(St ) − ln(S0 ) Z c c

= S0 e−qT + p e(r−q)T − d = u−d = e−rT ( f u × p + f d × (1 − p)) 1 ∼ N((µ − σ 2 )t, σ 2t) 2 valeur − moyenne = √ variance −qT = S0 e N(d1 ) − Ke−rT N(d2 ) = F0 e−rT N(d1 ) − Ke−rT N(d2 )

p = Ke−rT N(−d2 ) − S0 e−qT N(−d1 ) d1 = d2 = ∆call = Θ(call) = N ′ (x) = Θ(put) = Γ = σ pt f

=

ln(S0 /K) + (r − q + 21σ 2 )T √ σ T ln(S0 /K) + (r − q − 21σ 2 )T √ σ T N(d1 ), ∆ put = N(d1 ) − 1 S0 N ′ (d1 )σ √ − rKe−rT N(d2 ) − 2 T 1 − 1x2 √ e 2 2π S0 N ′ (d1 )σ − √ + rKe−rT N(−d2 ) 2 T N ′ (d1 ) √ S0 σ T q ω12σ 12 + ω22σ22 + 2ω1 ω2 σ1 σ2 ρ

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