FIN5550 - Examen de pratique H2021 Solutions PDF

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Examen final de pratiqueAutomne 2020Question 1Un trader vend un call et achète un put avec le même prix d’exercice et la même maturité. Quelle est la position équivalente à cette stratégie?Réponse : Short ForwardSi on additionne les deux profils (payoffs), on obtient: -max(ST−K,0)+max(K−ST,0)=K- STQ...

Description

Examen final de pratique Automne 2020 Question 1 Un trader vend un call et achète un put avec le même prix d’exercice et la même maturité. Quelle est la position équivalente à cette stratégie?

Réponse : Short Forward Si on additionne les deux profils (payoffs), on obtient: -max(ST−K,0)+max(K−ST,0)=K- ST

Question 2 Le prix d’une action est de $85. Un trader achète un put sur l’action avec un prix d’exercice de $80 et paie ne prime de $8. À quel prix de l’action, le trader sera-t-il à profit? Réponse Le rendement de la position doit être supérieur au montant de la prime payée, soit $8. La valeur du titre doit donc être inférieure à $72.

Question 3 Le prix d’une action qui ne paie pas de dividendes est de $30 alors que son prix d’exercice est de $25. Le taux sans risque est de 4% en composition continue. Quelle est la borne inférieure de d’une option d’achat?

Réponse : La borne inférieure est donnée par S0 − Ke-rT. Dans notre cas, on obtient 30 – 25e-0.04×1 = $5.98.

Question 4 Le prix d’un call européen avec un prix d’exercice de $50 est de $6. Le prix de l’action sousjacente est de $51, le taux sans risque en composition continue est de 6% pour toutes les maturités et la maturité de l’option est de 1 an. Un dividende de $1 sera versé dans 6 mois. Quel est le prix d’un put sur ce titre avec un prix d’exercice de$50.

Réponse: La parité put-call avec dividendes est 𝑐 + 𝐾𝑒 −𝑟𝑇 = 𝑝 + 𝑆0 + 𝐷. Dans notre casm nous avons 𝐾 = 50, 𝑆0 = 51, 𝑟 = 0.06 𝑒𝑡 𝑐 = 6 La valeur présente du dividende est D,= 1×e−0.06×0.5 = 0.97. Il s’en suit que : p=6+50e-0.06×1−(51-0.97) = 3.06.

Question 5 Une action transige actuellement à $23. Une position ‘’short’’ butterfly spread est créée en utilisant des options avec un prix d’exercice de $20, $25 et $30. Tracer le graphique du butterlfy et indiquer à quels prix le ‘’short’’ butterfly sera à profit Réponse: Le gain de la position ‘’short’’ butterfly arrivera si le prix de l’action est inférieur à $20 ou supérieur à $30. Les gains sont symétriques. Si on utilise des calls, on obtient c1+c3−2c2 . Si le prix final de l’action est entre $20 et $30, le butterfly sera à perte.

Question 6 Comment appelez-vous une stratégie d’option où l’investisseur vend un call 3-mois et achète un call 1 an. Les deux calls ont un prix d’exercice de $100 alors que le prix du sous-jacent est de $75?

Réponse: On appelle cette position un ‘’bullish’’ calendar spread car le prix du sous-jacent doit augmenter suffisamment pour que la position soit profitable.

Question 7 1. Comment créer un straddle? Un straddle consiste en l’achat d’un call et d’un put avec un même prix d’exercice et une même maturité. Il a une forme de V. 2. Comment créer un strip? Un strip consiste en l’achat d’un call et de deux puts avec le même prix d’exercice et la même maturité.

3. Comment créer un strap? Un strap consiste en l’achat de deux calls et d’un put avec le même prix d’exercice et la même maturité. 4. Comment créer un strangle? Un strangle consiste en l’achat d’un call et d’un put avec la même maturité où le prix d’exercice du call est supérieur à celui du put 5. Comment créer un covered call? Un covered call consiste en une positon ‘’short’’ sur un call et longue sur le sousjacent. Si le call est exercé, le détenteur de la position peut livrer l’action, il n’y a donc pas de marges.

Question 8 Un trader crée une position longue butterfly avec des prix d’exercice de $60, $65 et $70 en transigeant pour 400 options. Les prix des options sont respectivement $18, $14 et $11. Quel est le profit maximal de la stratégie après prise en compte du coût des options ? Réponse: Le butterfly spread implique l’achat de 100 options à un prix d’exercice de $60 and l’achat de 100 options avec un prix d’exercice de $70 et la vente de 200 options avec un prix d’exercice de $65. Le gain maximal de la stratégie est obtenu lorsque le prix de l’action termine à $65. À ce prix, le payoff des options est $500, 0 et 0, respectivement, pour un total de $500. Le coût initial de la stratégie est 18×100+11×100−14×200 = $100. Le gain net est donc 500−100 ou $400. Question 9 Des calls 6-mois avec des prix d’exercice de $35 et $40 coûtent $6 et $4, respectivement. Quel est le gain maximal lorsqu’un bull spread est créé avec un total de 200 options? Réponse: Le bull spread implique l’achat de 100 calls avec un prix d’exercice de $35 et la vente de 100 calls avec un prix d’exercice de $40. Le coût initial est 6×100−4×100=$200. Le gain maximal survient lorsque les prix du sous-jacent est supérieur à $40. À ce prix, le gain de la stratégie est de $500, pour un profit de 500 −200 = $300.

Question 10 Le prix actuel d’une action ne payant pas de dividendes est $30. Au cours des 6 prochains mois, l’action est prévue augmenter à $36 ou baisser à $26. Supposez que le taux sans risque est 0.

Quelle est la probabilité risque-neutre que le titre soit à $36?

Réponse: La formule pour la probabilité risqué-neutre pour un mouvement à la hausse est la suivante

p=

erT − d u −d

Dans notre cas, u=36/30 ou 1.2 et d=26/30 =0.8667. Également r=0 et T=0.5. On obtient: p=(1-0.8667/(1.2-0.8667) =0.4.

Question 11 Le prix actuel d’une action ne payant pas de dividendes est à $40. Dans un an, le prix est supposé augmenter à $42 ou baisser à $37. Un investisseur achète des puts avec un prix d’exercice de $41. Quelle position en unités de sous-jacent est nécessaire pour couvrir (hedger) cette position? Réponse: Le payoff du put est 0 s’il y a un mouvement à la hausse et $4 s’il y a un mouvement à la baisse. Supposez que l’investisseur achète 1 put et achète Δ actions. S’il y a un movement à la hausse, la valeur du portefeuille sera ×42. S’il y a un mouvement à la baisse sa valeur sera ×37+4. Pour que le portefeuille soit sans risque, on doit avoir 37+4=42 ou =0.8. L’investisseur soit en conséquence acheter 0.8 actions pour chaque put acquis. Question 12 Le prix d’une action ne payant pas de dividendes est $50. Utilisez un modèle binomial à deux étapes pour valoriser un put américain sur cette action avec un prix d’exercice à $48 avec une maturité de 12 mois. Pour chacune des périodes de 6 mois, le taux sans risque en composition continue est de 5% par année et la volatilité est de 20%. Quel est le prix du put?

Réponse: Nous avons

u = e p= L’arbre est :

t

= e 0.2

0.5

= 1.152

d = 1 / u = 0.868

er t − d e 0.05 0.5 − 0.868 = = 0.5539 1.152 − 0.868 u −d

66.34482 0 57.5955 0 50 1.999

50 0 43.40617 4.593828 37.68192 10.31808

Si put européen, on obtient: 𝑓𝑑 = 𝑒−𝑟∆𝑡 [𝑝𝑓𝑢𝑑 + (1 − 𝑝 )𝑓𝑑𝑑 ] = 𝑒 −.05×0.5 [0.5530 × 0 + (1 − 0.5530) × 10.31808] = 4.4892 Si put américain, on obtient : Si exercice : max(48 − 43.40617 ,0) = $4.593828 𝑓𝑑 = max(4.4892, 4.593828) = $4.593828

Question 13 Une action vaut $100. Sa volatilité est estimée à 20% par année. Quel est son écart-type sur une semaine? Réponse:

100  0.2  1 / 52 = $2.77 Question 14 Une action a un rendement espéré de 10% par année et une volatilité de 20% par année. Quel est le taux de rentabilité anticipée d’une action en fonction continue? Réponse : Le taux de rentabilité d’un rendement en composition continue est donnée par ce cas, 0.1 – 0.22/2 = 0.08 or 8%.

 −  2 / 2. Dans

Question 15 Une action ne payant pas de dividendes vaut $20, son prix d’exercice est $20, le taux sans risque est 6%, sa volatilité est 20%. Quel est le prix d’un call européen sur 3 mois? Réponse : La formule pour le prix de l’option est:

S 0 N ( d1 ) − Ke − rT N ( d 2 ) d1 =

ln(S 0 / K ) + (r + 2 / 2)T

 T

et

d 2 = d1 −  T

Dans ce cas: S0 =K=20, r=0.06, =0.2, et T=0.25 On obtient : Ke-rT =20e-0.06×0.25=19.7. d1 = [ln(1)+(0.06+0.04/2)×0.25]/(0.2×0.5) =0.2 et d2=0.2 – 0.2×0.5=0.1. On obtient : c = 20N(0.2)-19.7N(0.1) Question 16

Un gestionnaire de portefeuille en charge d’un portefeuille valant $100 millions est concerné par une baisse rapide du marché au cours des 6 prochains mois. Il voudrait utiliser des options de vente (put) sur un indice pour lui procurer une protection contre une baisse de son portefeuille en bas de $90.0 millions. L’indice est présentement à 1000 points et chaque contrat représente 100 fois l’indice. Quelle position devra-t-il prendre si son portefeuille a un bêta de 0.5 et à quel prix d’exercice? Réponse : Le nombre de contrats requis 0.5×100,000,000/(1000×100)=500. Une position ‘’short’’ est requise pour compenser ne baisse du marché. Une baisse de l’indice de 10% implique que le prix d’exercice doit s’établir à 800. Étant donné que le bêta du portefeuille est de 0.5, pour obtenir une baisse de 10%, l’indice doit reculer de 20% (0.5 x 20% = 10%), on obtient 80% x 1,000 = 800

Question 17 Une option d’achat européenne sur une devise a encore 4 ans de maturité. La volatilité de la devise est de 10%, le taux d’intérêt domestique est 2% alors que le taux d’intérêt étranger est de 5%. Le taux de change s’établit à 1.2000. Quelle est la valeur de l’option? Réponse :

c = S 0e d1 =

−rf T

N (d1 ) − Ke− rT N (d 2 )

ln(S 0 / K ) + (r − rf + 2 / 2)T

Dans ce cas S 0 e

d1 =

d 2 = d1 −  T

 T − rf T

= 1.2e− 0.054 = 0.9825 et Ke − rT = 1.2 e −0.024 = 1.1077

ln(1) + (0.02 − 0.05 + 0.12 / 2)4 0.1 4

= − 0.5

d 2 = d 1 −  T = −0.7

La valeur de l’option est donnée par : 0.98N(-0.5)-1.11N(-0.7) Question 18 Quelle position est la même que 100 options d’achat sur une devise A par apport à la devise B avec un prix d’exercice de 1.25$ Réponse : Acheter 100 calls de la devise A avec 125 unités de B est le même que vendre 125 unités de B pour 100 unités de A avec un prix d’exercice de 0.8, soit (1/1.25)

Question 19 Qu’est-ce que le détenteur (position longue) d’un call acquiert lorsqu’il l’exerce (en surplus d’une position ‘’cash’’)? A. Une position longue sur un contrat futures B. Une position courte sur un contrat futures C. Une position longue sur l’actif sous-jacent D. Une position courte sur l’actif sous-jacent Réponse: A Le détenteur du call acquiert une position longue sur un contrat futures qui peut être fermée immédiatement si désiré.

Question 20 Quel est le taux de croissance anticipé d’un futures sur indice dans un monde risque-neutre? Réponse : Tous les prix futures sont supposés croître au taux zéro en moyenne dans un monde risqueneutre Question 21 Quelle est la valeur d’un call sur Futures lorsque le prix Futures est de 50, la prix d’exercice est de 50, la taux sans risque est de 5%, la volatilité de 20% avec une maturité de 3 mois? Réponse: La formule est:

c = F0 e− rT N ( d1 ) − Ke− rT N (d2 ) d1 =

ln(F0 / K ) +  2T / 2  T

Dans notre cas, nous avons:

d1 =

ln(1) + 0.22  0.25 / 2 0.2 0.25

d2 = d1 −  T

Ke−rT = F0e−rT = 50e−0.050.25 = 48.38 = 0.05

d2 = d1 −  T = −0.05

On obtient donc: 49.38N(0.05)-49.38N(-0.05) ou $1.97

Question 22 Un call et un put européens d’une maturité de 1 an sur un actif valent $3 et $4 respectivement lorsque le prix d’exercice est de $20 et que le taux sans risque sur 1 an est de 5%. Quel est le prix Futures à 1 an de cet actif s’il n’y a pas de possibilités d’arbitrage (Utilisez la parité put-call). Réponse :

La parité put-call est c+ Ke-rT =p+ F0e-rT Donc

F0=K+(c-p)erT =20+(3-4)e0.05×1= $18.95

Question 23 Laquelle des affirmations suivantes est vraie pour les options d’achat et de vente européennes? A. Si elles ont le même prix d’exercice, elles ont la même volatilité implicite B. Si elles ont la même maturité, elles ont la même volatilité implicite C. Si elles ont le même prix d’exercice et la même maturité, elles ont la même volatilité implicite D. Aucune de ces réponses Réponse : (C) Si des options d’achat et de vente européennes ont la même maturité et le même prix d’exercice, elles doivent avoir la même volatilité implicite sinon il y aurait une possibilité d’arbitrage.

Question 24 Un call et un put européen ont un même prix d’exercice et une même maturité. La volatilité implicite du call est de 30% alors que celle du put est de 25%. Quelle stratégie utiliseriez-vous pour profiter de ces écarts de volatilité? Réponse: Le put a un prix trop bas relativement au call. La stratégie serait donc d’acheter le put, acheter l’action et vendre le call....