Final MAT1190 UQAM, Automne 2016 PDF

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Final MAT1190 Professeur: Clarence Simard UQAM, Automne 2016

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Code permanent: Instructions: Identifiez correctement vos cahiers de r´eponses. La dur´ee de l’examen est de trois heures. Aucune documentation permise. Pas de calculatrice. L’examen est sur 100 et vaut pour 40% de la note finale, le nombre de points par question est indiqu´e au d´ebut de chaque question. Des points seront donn´ es pour la clart´ e des d´ emarches. Vous trouverez la d´efinition d’un espace vectoriel sur la derni`ere page de l’examen.

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1. (10 pts) Trouvez l’ensemble des solutions ant: −x1 + 2x2 + 3x3 3x2 − 2x3 3x1 − 2x2

du syst`eme d’´equations suiv = −1  = 0  = 2

R´ eponse: x1 = 22/35, x2 = −2/35 , x3 = −3/35. 2. (12 pts) Soit A une matrice carr´ee de dimension n et b une matrice de dimension n × 1 tel que [b]i1 �= 0 pour tout i = 1, . . . , n. Supposons que l’´equation Ax = b poss`ede une infinit´e de solutions. Dites si l’´enonc´e suivant est vrai ou faux?(justifiez votre r´eponse) ´ Enonc´ e: L’´equation Ax = y poss`ede au moins une solution pour tout y ∈ Rn .

R´ eponse: FAUX. (plusieurs r´eponses sont possibles) Si l’´equation Ax = b poss`ede une infinit´e de solution, donc A a m pivots avec m < n. Par le th´eor`eme d’inversibilit´e, les colonnes de A sont lin´eairement d´ependantes. On conclut que les colonnes de A ne peuvent pas engendrer Rn , ce qui veut dire qu’il existe y ∈ Rn tel que l’´equation Ax = y n’a pas de solution. 3. (13 pts) Soit A une matrice n × m et B une matrice m × n o` u m > 2. On suppose que la premi`ere colonne de la matrice B est la somme des colonnes deux et trois i.e. b1 = b2 + b3 o` u bi est la colonne i de la matrice B pour i = 1, . . . n. Montrez que les colonnes de la matrice AB sont lin´eairement d´ependantes. R´ eponse: AB = [Ab1 Ab2 Ab3 ] = [A(b2 + b3 ) Ab2 Ab3 ]. Puisque la premi`ere colonne de AB est A(b2 + b3 ) = Ab2 + Ab3 on a que la premi`ere colonne de AB est la somme des colonnes deux et trois de AB. 2

4. (10 pts) Calculez l’inverse de la matrice suivante:   3 −6 9  2 5 10  −1 3 −2 R´ eponse: − 38  −2 5 

 1 −7 1 −4  5 5

11 15

− 51

9 5

5. (5 pts) Soit A = BDB −1 o` u 

 3 −6 9 B = 2 5 10  −1 3 −2 et  2 0 0 D= 0 2 0  0 0 2 

Calculez la matrice A2017 .

R´ eponse: A2017 = (BDB −1 )2017 = D 2017

 22017 0 0 = 0 22017 0  2017 0 0 2 

6. (5 pts) Calculez le d´eterminent de la matrice suivante:   2 5 10  0 −6 0  −1 3 −2 3

R´ eponse: Notons A, on calcul par rapport `a la deuxi`eme �3 la matrice ligne: det(A) = j=1 (−1) 2+j [A]2j det(A2j ) = (−1)2+2 (−6)6 = −36 7. Soit l’espace vectoriel V = R3 = {(x, y, z); x, y, x ∈ R}. On d´efinit la fonction �·, ·� : V 2 → R par �u, v� = u1 v1 + 2u2 v2 + 3u3 v3 o` uu= (u1 , u2 , u3 ) et v = (v1 , v2 , v3 ). (a) (15 pts) Montrez que la fonction �·, ·� est un produit scalaire sur V. R´ eponse: Soit x, y, z ∈ V et α ∈ R. i. x � , y� = x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 = y1 x1 + 2y2 x2 + 3y3 x3 = �y , x�. ii. x � , x� = x2 1 + 2x22 + 3x32 ≥ 0 et �x, x� = 0 ⇔ x = (0, 0, 0) = 0. iii. x � + y, z� = (x1 + y1 )z1 + 2(x2 + y2 )z2 + 3(x3 + y3 )z3 = x1 z1 + 2x2 z2 + 3x3 z3 + y1 z1 + 2y2 z2 + 3y3 z3 = �x, z� + �y, z�. iv. �αx, y� = αx1 y1 +2αx2 y2 +3αx3 y3 = α(x1 y1 +2x2 y2 +3x3 y3 ) = α�x, y� . (b) (5 pts) Soit H = {(t, 2t, 3s); t, s ∈ R3 } un sous-espace vectoriel de V et v = (1, 1, 1). Est-ce que v est un vecteur de H? (justifiez votre r´eponse) R´ eponse: Non, car si v = (1, 1, 1) = (t, 2t, 3s) alors (t = 1 et 2t = 1) ce qui est impossible. (c) (10 pts) Soit u = (tu , 2tu , 3su ), h = (t, 2t, 3s) et v = (1, 1, 1). Trouvez les valeurs de su et tu de sorte que pour tout s, t on a �v − u, h� = 0. R´ eponse: �v − u, h� = 0 ∀s, t ⇔ (1 − tu )t + 2(1 − 2tu )2t + 3(1 − 3su )3s = 0 ∀s, t ⇔ t(5 − 9tu ) + 9s(1 − 3su ) = 0 ∀s, t ⇔ su = 1/3 et tu = 5/9.

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8. (15 pts) Soit V un espace vectoriel et �·, ·� : V 2 → R un produit scalaire. On suppose que H est un sous-espace vectoriel de V et on d´efinit H ⊥ = {v ∈ V ; �v , h� = 0 pour tout h ∈ H} i.e. qu’un vecteur u est dans H ⊥ si u est orthogonal a` tous les vecteurs de H. Montrez que H ⊥ est un sous-espace vectoriel de V . R´ eponse: (a) Montrons que H ⊥ ⊂ V : Par d´efinition les vecteurs dans H ⊥ sont pris dans V , donc H ⊥ ⊂ V . (b) Montrons que le vecteur nul, not´e 0V , est dans H ⊥ : Par d´efinition de l’´el´ ement nul et du produit scalaire on doit avoir que �0V , v� = 0 ∀v ∈ V . En particulier, �0V , h� = 0 ∀h ∈ H ⊂ V ce qui signifie que 0V ∈ H ⊥ . (c) Soit u, w ∈ H ⊥ , montrons que (u + w) ∈ H ⊥ : Soit h ∈ H, par d´efinition du produit scalaire �u + w, h� = �u, h� + �w, h�. Puisque u, v ∈ H ⊥ , on a que �u, h� = 0 et �w , h� = 0 et donc �u + w, h� = 0 ce qui signifie que (u + w) ∈ H ⊥ . (d) Soit α ∈ R et u ∈ H ⊥ , montrons que αu ∈ H ⊥ : On a que � αu, h� = αu, � h� = 0 ∀h ∈ H car u ∈ H ⊥ . Donc αu ∈ H ⊥ .

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