Quiz 2 MAT1190 UQAM, Hiver 2020 PDF

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Quiz 2 MAT1191 Professeur: Clarence Simard UQAM, Hiver 2020

Instructions pour la remise: la remise suit les mˆemes rˆegles que le test de pratique, voici un rappel des instructions pour la remise. • La remise doit ˆetre faite avant 13h30. • Un seul fichier .pdf ou .jpg doit ˆetre soumis. • Nommez le fichier de la mani`ere suivante: examen mat1191 votre code permanent.pdf (ou jpg). • Inscrivez votre nom, code permanent (code commen¸cant par les trois premi`eres lettres de votre nom de famille), sigle du cours et date de l’examen en haut `a gauche de votre feuille r´eponse.

1

1. (10 pts) Soit la fonction h :]0, ∞) → R d´efinie par  2 ax si x ≥ 2, h(x) = 1 + x1 si x < 2. En utilisant la d´efinition de la d´eriv´ee, montrez que h est d´erivable en 1 . x0 = 2 si et seulement si a = − 16 Solution Comme discut´e, il y avait une erreur dans cette question. Ceux qui ont fait des d´emarches coh´erentes ont obtenu des points bonus et l’examen a ´et´e corrig´e sur 40 points au lieu de 50. On peut voir que h(2) = −1/4 mais que limx→2− h(x) = 3/2. Puisque la fonction n’est pas continue en x0 = 2 elle ne peut pas ˆetre d´erivable. N´eamoins, elle est d´erivable `a droite. lim+

x→2

ax2 − a2 x→2 x−2 a(x − 2)(x + 2) = a4 = −1/4. = lim x−2 x→2+

h(x) − h(2) = x−2

lim+

Cependant, elle n’est pas d´erivable `a gauche car lim

x→2−

1 + 1/x − a2 x−2 x→2 3/4 + 1/x = ∞. = lim+ x→2 x−2

h(x) − h(2) = x−2

lim+

2. (10 pts) Soit les matrices  1 2 3 3 4  A= 2 −1 −2 x 

 −1 1 0 0 3  B = 2 1 −2 x 

Calculez AAT + B o` u AT est la transpos´ee de la matrice A. Solution  13 21 3x − 5  29 4x − 5 AAT + B =  22 2 3x − 4 4x − 10 5 + x + x . 

2

3. (10 pts) Soit f : R → R une fonction d´erivable telle que limx→∞ f ′ (x) = 0. On d´efinit xn = n pour n = 1, 2, . . . . Montrez que lim f (xn+1 ) − f (xn ) = 0.

n→∞

Solution En appliquant le th´eor`eme de la moyenne on trouve que pour chaque n il existe cn ∈]xn , xx+1 [ tel que f ′ (cn ) =

f (xn+1 ) − f (xn ) = f (xn+1 ) − f (xn ). xn+1 − xn

En prenant la limite on obtient que lim f (xn+1 ) − f (xn ) = lim f ′ (cn ) = 0. n→∞

n→∞

4. (10 pts) Soit f : R → R une fonction d´erivable telle que f (x) > 0 pour f (x)) tout x et limx→∞ f ′ (x) = ∞. Montrez que limx→∞ log(f (x) = 0. Solution On commence par montrer que limx→∞ f (x) = ∞. Par le th´eor`eme de la moyenne, il existe cx ∈]x, x + 1[ tel que f (x + 1) − −f (x) = f ′ (cx ). En prenant la limite on trouve que f (x) = f (x+1) x+1−x lim x → ∞f (x + 1) − f (x) = limx→∞ f ′ (cx ) = ∞, donc limx→∞ f (x) = ∞ car f (x) > 0 pour tout x. f (x)) Par continuit´e du log on a que limx→∞ log(f (x) est une forme ind´etermin´ee. En appliquant la r`egle de l’Hopital on trouve que

lim

x→∞

log(f (x)) f ′ (x) 1 = lim = lim ′ = 0. ′ x→∞ x→∞ f (x) f (x)f (x) f (x)

5. (10 pts) Soit A une matrice diagonale et B des matrices de dimension n × n. Montrez que (BAB T )T = BAB T . (rappel: [A]ij = 0 si i 6= j pour i, j = 1, 2, . . . , n. Solution Puisque A est diagonale on a que AT = A car, si i 6= j , [AT ]ij = [A]ji = 0 = [A]ij et [AT ]ii = [A]ii . Finalement, (BAB T )T = (B T )T AT B T = BAB T .

3...