Física Básica Experimental I - Dinámica (Ejercicios Resueltos) PDF

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Física Básica Experimental I: Dinámica (Ejercicios Resueltos)
Julio Largo...

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Física Básica Experimental I: Julio Largo 31 de octubre de 2014

Índice Ejercicio 1 Marchas de una bicicleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 2 Tiempo de órbita de un satélite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 3 Coche trazando una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 3

Ejercicio 4 Mate de Dwight Howard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 5 Calleja en desafío (casi) extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 6 Sheldon mide la aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 5

Ejercicio 7 Arrastrando una piedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 8 Máquina de Atwood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 9 Determinación del coeficiente de rozamiento estático . . . . . . . . . . .

6 6 7

Ejercicio 10 Tirando de un trineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 11 ¿El peralte de la curva es suficiente? . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 12 ¿Nos mojaremos....? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 9 10

Ejercicio 13 El paracaidista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 14 accelerating . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 15 sealed box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 11 11

Ejercicio 16 Elevando carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 17 Resistencia de la arena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 18 Poleas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 13

Este documento pretende ser un apunte de lo explicado en clase, se debe entender como una guía de estudio que debe ser complementada con los libros recomendados en la Bibliografía.

1

Ejercicio 1

Marchas de una bicicleta (Tipler)

Supondremos que el ciclista hace girar al plato con velocidad angular constante ω1 . ¿Cuál es la velocidad, v, que adquiere el ciclista sobre la bicicleta?.

Solución 1 La velocidad de la cadena vc es la misma que la velocidad de un diente del plato, vc = ω1 r1 La velocidad de la cadena vc es la misma que la velocidad de un diente del piñón, vc = ω2 r2 Tenemos de este modo, la relación entre las velocidades angulares: ω2 r2 = ω1 r1 Si suponemos que el piñón es fijo, la velocidad angular del piñón ω2 es la misma que la velocidad angular de la rueda trasera. De modo que, la velocidad va de un punto de la periferia de dicha rueda es va = ω2 ra , que es la velocidad v con que se mueve el ciclista sobre la bicicleta. va = ω1

Ejercicio 2

r1 r2

ra

Tiempo de órbita de un satélite (Tipler)

Un satélite se mueve con velocidad de módulo constante en una órbita circular alrededor de la Tierra y próxima a su superficie. Si su aceleración es de 9.81m/s2 , ¿cuál es el módulo de su velocidad? y ¿cuánto tiempo tarda en dar una revolución completa? Solución 2 Como la órbita del satélite está próxima a la superficie de la Tierra, podemos tomar como radio de órbita en primera aproximación el radio de la Tierra RT = 6370 Km. Teniendo en cuenta que la aceleración centrípeta v 2 /r es igual a g se deduce el valor de la velocidad p v = RT g = 7910 m/s 2

El periodo sería por tanto T =

2 π 6370 × 103 m 2 π RT = 5060 s = 84.3 min = v 7910 m/s

Ejercicio 3

Coche trazando una curva (Tipler)

Cuando un coche circula en una curva de una carretera horizontal, la fuerza centrípeta se origina por la fuerza de rozamiento ejercida por la carretera sobre los neumáticos del coche. Si el coche no se desliza radialmente, el rozamiento es estático. Si un coche fue capaz de recorrer un círculo de 45.7 m de radio en 15.2 s sin patinar. ¿Cuál fue su velocidad media?. Suponiendo que v es constante, ¿cuál fué su aceleración centrípeta? , ¿cuál es el valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático.? Solución 3 Dibujar un esquema de las fuerzas que actúan sobre el coche. La fuerza normal equilibria el peso mg . La fuerza horizontal es la fuerza de rozamiento estático que suministra la fuerza centrípeta. Cuanto más rápido circula el coche, mayor es la fuerza centrípeta requerida. La velocidad media se determina a partir de la longitud de la circunferencia y del periodo T . Esta velocidad media impone un límite inferior al valor máximo del coeficiente de rozamiento estático. La velocidad media 2πr v= = 18.90m/s T nos permite calcular la aceleración centrípeta ac =

v2 = 7.82m/s2 r

Aplicamos la primera ley de Newton a la componente vertical y radial. En la componente y ya hemos dicho que se compensan las fuerzas N = mg . −fe = −m

v2 r

El valor máximo del rozamiento estático es proporcional a la fuerza normal fe,max = µe N = µe mg

µe =

v2 = 0.797 rg

3

Ejercicio 4

Mate de Dwight Howard (original)

Dwight Howard acaba de realizar un mate tremendo en el que se queda colgado del aro, parece increíble que el aro no se rompa (antiguamente se rompían). La razón es que el aro tiene un resorte, así cuando el jugar queda en reposo el aro se ha desplazado 15 cm de su posición original. Suponiendo que el aro se comporta como un muelle elástico: calcular su constante de fuerza k. ¿Necesitamos algún dato extra? Solución 4 Dwight David Howard es un jugador de baloncesto estadounidense, actualmente miembro de los Houston Rockets, donde juega en la posición de pívot. Fecha de nacimiento: 8 de diciembre de 1985 (edad 28), Atlanta, Georgia, Estados Unidos Estatura: 2,11 m Peso: 120 kg Salario: 21,44 millones USD (2014) Cuando Howard queda en reposo su aceleración es nula, por lo tanto la fuerzas neta ejercida sobre él es nula. La fuerza de recuperación del aro compensa el peso de Howard. Vamos a considerar y = 0 la posición de equilibrio del aro y consideramos que aumenta hacia abajo. El ∆y es positivo y la fuerza ejercida por el aro −k∆y es negativa. X

por tanto k=

Fy = mg + (−k∆y) = may = 0

120kg 9.81N/kg mg = = 7.848 × 103 N/m ∆y 0.15m

Nota: N/kg = m/s2

Ejercicio 5

Calleja en desafío (casi) extremo (original)

Un escalador en un rocódromo a perdido el pie y se encuentra colgado de un gancho mediante dos cables. Estos cables forman diferente ángulo con la horizontal (60o y 30o respectivamente), es decir el escalador no está situado sobre la vertical del gancho. Sabiendo que el escalador pesa 70 kg, determinar las Tensiones que sufren los dos cables. Teniendo en cuenta que la máxima tensión que un cable es de 1000 N ¿se romperá algún cable? y si es así ¿cuál?. Solución 5 El escalador colgado tiene una aceleración nula, por lo tanto la fuerzas neta ejercida sobre él es nula. Las fuerzas que actúan sobre el escalador son el peso y las tensiones de los dos cables y la resultante debe ser nula. Dibujar el esquema. X F~ = T~1 + T~2 + m~ g = m~ a=0

Lo tratamos por componentes

X

Fx = T1 cos 30o − T2 cos 60o = 0

4

X

Es decir de la primera

Fy = T1 sen30o + T2 sen60o − mg = 0 T2 = T1

cos 30o

= T1

√ 3

cos 60o √ T1 sen30 + T1 3 sen60o − mg = 0 o

1 m g = 343.35 N 2 √ T2 = T1 3 = 1189.4 N

T1 =

¿Que hubiese pasado si los ángulos hubiesen sido iguales?

Ejercicio 6

Sheldon mide la aceleración (Tipler(adaptado))

Sheldon (con 4 años) está jugando con un yo-yo en un avión y cuando arranca el avión durante la carrera de despegue, sin despegar del suelo, se sorprende de que la cuerda del yo-yo forma un ángulo de 22o con la vertical. Sorprendido comienza a reflexionar sobre si es posible que la gravedad haya cambiado de dirección. Antes de que el avión despegue ¿qué debemos medir? y ¿qué explicaciones da Sheldon al piloto? Solución 6 .... el ángulo que forma con la vertical 22o (los errores seguramente serían mayores) y la masa del yoyo que viene grabada en el borde 40 gr. El yo-yo está acelerando en la dirección horizontal, sobre él actúa una fuerza neta en esa dirección. Esta fuerza viene suministrada por la componente horizontal de de la tensiónT~de la cuerda. Expresando la ley de Newton para ambas componentes podemos resolver las dos incógnitas del problema la aceleración y la tension. X Fx = max = T senθ X Fy = may = 0 = T cos θ − mg

Dividiendo estas ecuaciones miembro a miembro eliminamos T y determinamos a. max T senθ = T cos θ mg ax = g tan θ = 9.81 m/s2 tan 22o = 3.96 m/s2

0.04 kg 9.81 m/s2 = 0.423 N cos 22o cos θ Observación: T es mayor que el peso del yo-yo ya que la cuerda no sólo evita que caiga el yo-yo, sino que también le acelera en dirección horizontal. T =

mg

=

5

Ejercicio 7

Arrastrando una piedra (Tipler)

Un buey está tirando de una piedra de arrastre, que vamos a suponer que no sufre rozamiento (que ya es suponer)... Si la fuerza de arrastre que ejerce es de 1500 N mediante una cuerda que forma un ángulo de 25o con la horizontal. Si la masa de la piedra es de 800 kg. Determinar la aceleración de la piedra y la fuerza normal ejercida por la superficie. Solución 7 Dibujar un esquema de las fuerzas que actúan sobre la piedra. Tres fuerzas actúan sobre la piedra, la fuerza normal, el peso mg y la tensión de la cuerda en 25o sobre la horizontal. Como las fuerzas no coinciden en la misma dirección descomponemos las fuerzas en las componentes x e y : X Fx = T cos θ = max X

Fy = N + T sen θ − mg = may = 0 T cos θ = 1.70 m/s2 m N = mg − T sen θ = 7210N ax =

Sólo la componente x de la tensión, T cos θ es la causa de la aceleración. La N es menor al peso del cuerpo porque parte del peso la soporta la tensión de la cuerda T senθ .

Ejercicio 8

Máquina de Atwood (Tipler)

Mediante la máquina de Atwood podemos medir la aceleración debida a la gravedad a partir de la aceleración de los dos bloques. Suponiendo que la cuerda y la polea tienen una masa despreciable y la polea carece de rozamiento, demostrar que la aceleración de cualquiera de los bloques y la tensión de la cuerda son m1 − m2 g a= m1 + m2 y 2m1 m2 T = g m1 + m2 Si una de las masas es 1.2 kg, ¿cuál sería la otra masa para que el desplazamiento de cualquiera de ellas durante el primer segundo después de comenzar el movimiento fuese 0.3 m? Solución 8 Asumimos que m1 > m2 . Elegimos com sistema de coordenadas aquel que tiene la dirección y positiva hacia abajo para el bloque de masa m1 y hacia arriba para la masa m2 . Y dibujamos diagramas de fuerzas para cada uno de los bloques. Aplicando la segunda ley de Newton a los dos movimientos T − m2 g = m2 a2 6

m1 g − T = m1 a1 pero como los bloques están conectados por una cuerda inextensible a = a1 = a2 . De esta manera sumando las dos ecuaciones para eliminar T y despejando a. a=

m1 − m2 g m1 + m2

y sustituyendo este resultado en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales: T =

2m1 m2 g m1 + m2

Para la segunda parte, la aceleración se puede determinar a partir del desplazamiento durante el primer segundo: 1 2 ∆y = a (∆t) 2 2 ∆y 2 0.3m = a= = 0.6 m/s2 2 2 (∆t) (1 s) Resolviendo para m1 en función de m2 m1 = m2

g+a g−a

= 1.13 m2

m1 = 1.36 kg

Ejercicio 9

Determinación del coeficiente de rozamiento estático (Tipler)

Un bloque descansa sobre una superficie plana inclinada. El ángulo de inclinación se incrementa hasta alcanzar un ángulo crítico θc , después del cuál el bloque comienza a deslizar. Determinar el coeficiente de rozamiento estático, µe . Solución 9 Esquema: Las fuerzas que actúan sobre el bloque son su peso, la fuerza normal ejercida por el plano y la fuerza de rozamiento. Dibujar el esquema de fuerzas. Para ángulos inferiores al crítico θc , la fuerza de rozamiento neutraliza la componente m g sen θ en el sentido descendente del plano. Para el ángulo crítico fe = µe N . Si aplicamos el equilibrio de fuerzas podemos relacionar µe con el ángulo θc . Elegimos el eje x paralelo al plano y el eje y normal al plano. Aplicamos el equilibrio de fuerzas en cada una de las componentes X

por lo que

X

Fy = N − m g cos θ = 0

Fx = fe − m g sen θ = µe N − m g sen θ = 0 µe =

m g sen θ m g sen θ = = tan θ N m g cos θ 7

Por lo tanto el el coeficiente de rozamiento estático está relacionado con el ángulo crítico θc , para el cuál el objeto comienza a deslizar µe = tan θc . Si el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos de un coche y la carretera en un día determinado es 0.7 ¿Cuál es el ángulo máximo de inclinación de la carretera para que el coche puede estar parado con sus ruedas bloqueadas y no deslizar hacia abajo? (Respuesta 35o ).

Ejercicio 10

Tirando de un trineo (Tipler)

Dos niños son arrastrados en un trineo sobre un terreno cubierto de nieve. El trineo es tirado por una cuerda que forma un ángulo de 40o con la horizontal. La masa conjunta de los dos niños es de 45 kg y el trineo tiene una masa de 5 kg. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético son µe = 0.2 y µc = 0.15. Determinar la fuerza de rozamiento ejercida por el suelo sobre el trineo y la aceleración de los niños y el trineo si la tensión de la cuerda es 100 N y 140 N. Solución 10 Lo primero que hay que hacer es determinar si la fuerza de rozamiento es estática o cinética. Para ello compararemos la fuerza máxima de rozamiento con la fuerza horizontal ejercida por la tensión en la cuerda. Elegimos el sistema de coordenadas más favorable, f~es la fuerza de rozamiento, F~n la fuerza vertical ejercida por el suelo yT~ la tensión de la cuerda. 1. Dibujar un diagrama de fuerzas para el trineo aislado. 2. La fuerza máxima posible de rozamiento estático está relacionada con la magnitud de la fuerza normal N fe,max = µe N 3. Aplicamos el equilibrio de fuerzas aplicadas al trineo para cada una de las componentes: X Fx = Tx − f = m ax X

Fy = N + Ty − m g = m ay

Las componentes de la tensión son Tx = T cos θ = 76.6 N y Ty = T sen θ = 64.3 N 4. La N = m g − Ty = 50 kg 9.81 m/s2 − 64.3 N = 426 N 5. La fuerza máxima de rozamiento es por tanto: Fe,max = µe N = 0.2 × 426 N = 85.2 N 6. Como la fuerza horizontal aplicada Tx no excede la fuerza máxima posible de rozamiento estático, el trineo permanece en reposo. Para una tensión T = 140N, equivalente Tx = 107 N y Ty = 90 N. En este caso la fuerza normal es N = m g − Ty = 490 N − 90 N = 400 N para esta fuerza normal, la nueva fuerza máxima posible de rozamiento estático: fe,max = µe N = 0.2 × 400 N = 80 N 8

Como el valor de Tx es mayor que la fuerza máxima de rozamiento estático, el trineo deslizará. La fuerza de rozamiento sobre el trneo se debe al rozamiento cinético: fc = µc N = 0.15 × 400 N = 60 N Aplicamos el equilibrio de fuerzas en la componente x para determinar la aceleración del trineo X Fx = Tx − fc = m ax ax =

107 N − 60 N Tx − fc = = 0.94 m/s2 m 50 kg

Ejercicio 11

¿El peralte de la curva es suficiente? (Tipler)

Una curva de radio 30 m tiene un ángulo de peralte θ. Determinar el valor de θ para el cuál un coche puede tomar la curva a 40 km/h aunque la carretera no posea rozamiento. Solución 11 En este caso sólo existen dos fuerzas sobre el coche la gravedad y la fuerza normal. Como la carretera está inclinada, la fuerza normal tiene una componente horizontal que proporciona la fuerza centrípeta necesaria. El ángulo formado por la fuerza normal N y la vertical es θ (el mismo ángulo que el del peralte ya que son triángulos semejantes). Este ángulo puede determinarse aplicando la segunda ley de Newton. La fuerza normal tiene la componente N sen θ dirigida hacia el centro de la curva y proporciona la aceleración centrípeta al coche. Aplicando por componentes la segunda ley de Newton: X

Por tanto

X

Fx = N senθ = max = m

v2 r

Fy = N cos θ − mg = may = 0 N =

mg cos θ

y mg cos θ

senθ = m

tan θ =

v2 r

v2 rg

para los datos del problema tan θ =

(11m/s)

2

30 m 9.81 m/s2

= 0.419

θ = 22.7o El ángulo de peralte depende de v y r pero no de la masa. θ aumenta con v creciente y disminuye al aumentar r . 9

Si la velocidad del coche (elevada al cuadrado) es mayor que rg tan θ, la carretera ejercerá una fuerza de rozamiento según la pendiente hacia abajo. Esta fuerza tiene una componente horizontal hacia el centro de la curva que proporciona la fuerza centrípeta necesaria para evitar que el coche patine hacia afuera. Si la velocidad del coche es inferior a esta magnitud, la carretera ejercerá una fuerza de rozamiento hacia arriba según la pendiente.

Ejercicio 12

¿Nos mojaremos....? (Tipler)

Se hace girar un cubo de agua siguiendo una vertical de radio r . Si la velocidad del cubo en su parte más alta es vt , calcular: el valor mínimo de vt para que el agua no se salga del cubo. la fuerza ejercida por el cubo sobre el agua en la parte más baja del círculo en donde la velocidad del cubo es vb . Solución 12 Esquema del problema: aplicamos la segunda ley de Newton para calcular la fuerza ejercida por el cubo. Sobre el agua actúan dos fuerzas: el peso (m g) y la fuerza del cubo sobre el agua Fc . Como el agua se mueve según una trayectoria circular, existirá una aceleración centrípeta hacia el centro del círculo. Elegimos la dirección y positiva hacia arriba. Por tanto, en la parte más alta del círculo la aceleración centrípeta es hacia abajo ay,t = −vt 2/r; en el fondo es hacia arriba ay,b = +vb2/r. Aplicamos el equilibrio de fuerzas en el punto más alto, tanto Fc como el peso están dirigidas hacia el centro del círculo .   v2 −Fc − mg = m − t r El cubo no ejerce una fuerza sobre el agua en la parte más alta. Haciendo Fc = 0 y despejando vt,min . vt,min =

√ rg

P a al agua en la parte más baja del círculo en donde Fc y la aceleración están Aplicando F~ = m~ dirigidas hacia arriba v2 Fc − mg = m b r

Ejercicio 13

El paracaidista (Tipler)

Un paracaidista de masa 64 kg alcanza una velocidad límite de 180 km/h con sus brazos y piernas extendidas. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de arrastre Fa sobre el paracaidista? Si la fuerza de arrastre es igual a bv 2 ¿cuál es el valor de b?

10

Solución 13

Fa = m g = 64 kg

9.81 N/kg = 628 N

Fa = b v 2 b=

mg = 0.251 N s2 /m2 = 0.251 kg/m v2

Ejercicio 14

accelerating (Benjamin Crowell)

A car is accelerating forward along a straight road. If the force of the road on the car’s wheels, pushing it forward, is a constant 3.0 kN, and the car’s mass is 1000 kg, then how long will the car take to go from 20 m/s to 50 m/s? Solución 14 a = ∆v/∆t, and also a = F/m, so ∆t = ∆t =

m∆v ∆v = a F

1000kg (50m/s − 20m/s) = 10 s 3000N

Ejercicio 15

sealed box (Benjamin Crowell)

You are given a large sealed box, and are not allowed to open it. Which of the following experiments measure its mass, and which measure its weight? [Hint: Which experiments would give different results on the moon?] (a) Put it on a frozen lake, throw a rock at it, and see how fast it scoots away after being hit. (b) Drop it from a third-floor balcony, and measure how loud the sound is when it hits the ground. (c) As shown in the figure, connect it with a spring to the wall, and watch it vibrate. Solución 15 (a) This is a m...