Física Básica Experimental I - Dinámica (Ejercicios Resueltos II) PDF

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Física Básica Experimental I: Dinámica (Ejercicios Resueltos II)
Julio Largo...

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Física Básica Experimental I: Julio Largo 22 de octubre de 2015

Índice Ejercicio 1 Coche trazando una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 2 Calleja en desafío (casi) extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 3 Sheldon mide la aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 3 4

Ejercicio 4 El paracaidista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 5 Elevando carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 6 Masa inmóvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 6

Ejercicio 7 Rampa con muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 8 Dos bloques colgados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 9 Tomar una curva peraltada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 8 9

Ejercicio 10 Fricción en movimiento horizontal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Este documento pretende ser un apunte de lo explicado en clase, se debe entender como una guía de estudio que debe ser complementada con los libros recomendados en la Bibliografía.

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Ejercicio 1

Coche trazando una curva (Tipler)

Cuando un coche circula en una curva de una carretera horizontal, la fuerza centrípeta se origina por la fuerza de rozamiento ejercida por la carretera sobre los neumáticos del coche. Si el coche no se desliza radialmente, el rozamiento es estático. Si un coche fue capaz de recorrer un círculo de 45.7 m de radio en 15.2 s sin patinar. ¿Cuál fue su velocidad media?. Suponiendo que v es constante, ¿cuál fué su aceleración centrípeta? , ¿cuál es el valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático.? Solución 1

Dibujar un esquema de las fuerzas que actúan sobre el coche. La fuerza normal equilibria el peso mg. La fuerza horizontal es la fuerza de rozamiento estático que suministra la fuerza centrípeta. Cuanto más rápido circula el coche, mayor es la fuerza centrípeta requerida. La velocidad media se determina a partir de la longitud de la circunferencia y del periodo T . Esta velocidad media impone un límite inferior al valor máximo del coeficiente de rozamiento estático. La velocidad media 2πr = 18.90m/s v= T nos permite calcular la aceleración centrípeta ac =

v2 = 7.82m/s2 r

2

Aplicamos la primera ley de Newton a la componente vertical y radial. En la componente y ya hemos dicho que se compensan las fuerzas N = mg. − fe = −m

v2 r

El valor máximo del rozamiento estático es proporcional a la fuerza normal fe,max = µe N = µe mg

µe =

Ejercicio 2

v2 = 0.797 rg

Calleja en desafío (casi) extremo (original)

Un escalador en un rocódromo ha perdido el pie y se encuentra colgado de un gancho mediante dos cables. Estos cables forman diferente ángulo con la horizontal (60o y 30o respectivamente), es decir el escalador no está situado sobre la vertical del gancho. Sabiendo que el escalador pesa 70 kg, determinar las Tensiones que sufren los dos cables. Teniendo en cuenta que la máxima tensión que un cable es de 1000 N ¿se romperá algún cable? y si es así ¿cuál?. Solución 2 El escalador colgado tiene una aceleración nula, por lo tanto la fuerzas neta ejercida sobre él es nula. Las fuerzas que actúan sobre el escalador son el peso y las tensiones de los dos cables y la resultante debe ser nula. Dibujar el esquema. ∑ ~F = T~1 + ~T2 + m~g = m~a = 0 Lo tratamos por componentes

∑ Fx = T1 cos 30o − T2 cos 60o = 0 ∑ Fy = T1 sen30o + T2 sen60o − mg = 0 Es decir de la primera

√ cos 30o = T1 3 cos 60o √ T1 sen30o + T1 3 sen60o − mg = 0 T2 = T1

1 m g = 343.35 N 2 √ T2 = T1 3 = 594.7N

T1 =

¿Que hubiese pasado si los ángulos hubiesen sido iguales?

3

Ejercicio 3

Sheldon mide la aceleración (Tipler(adaptado))

Sheldon (con 4 años) está jugando con un yo-yo en un avión y cuando arranca el avión durante la carrera de despegue, sin despegar del suelo, se sorprende de que la cuerda del yo-yo forma un ángulo de 22o con la vertical. Sorprendido comienza a reflexionar sobre si es posible que la gravedad haya cambiado de dirección. Antes de que el avión despegue ¿qué debemos medir? y ¿qué explicaciones da Sheldon al piloto? Solución 3

.... el ángulo que forma con la vertical 22o (los errores seguramente serían mayores) y la masa del yo-yo que viene grabada en el borde 40 gr. El yo-yo está acelerando en la dirección horizontal, sobre él actúa una fuerza neta en esa dirección. Esta fuerza viene suministrada por la componente horizontal de de la ~ de la cuerda. Expresando la ley de Newton para ambas componentes podemos resolver las dos tensión T incógnitas del problema la aceleración y la tension.

∑ Fx = m ax = T senθ ∑ Fy = m ay = 0 = T cosθ − mg Dividiendo estas ecuaciones miembro a miembro eliminamos T y determinamos a. T senθ m ax = mg T cosθ ax = g tan θ = 9.81 m/s2 tan 22o = 3.96 m/s2 0.04 kg9.81 m/s2 mg = 0.423 N = cos22o cosθ Observación: T es mayor que el peso del yo-yo ya que la cuerda no sólo evita que caiga el yo-yo, sino que también le acelera en dirección horizontal. T=

4

Ejercicio 4

El paracaidista (Tipler)

Un paracaidista de masa 64 kg alcanza una velocidad límite de 180 km/h con sus brazos y piernas extendidas. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de arrastre Fa sobre el paracaidista? Si la fuerza de arrastre es igual a bv2 ¿cuál es el valor de b? Solución 4

Fa = mg = 64 kg

9.81N/kg = 628 N

Fa = bv2 b=

mg = 0.251N s2 /m2 = 0.251kg/m v2

Ejercicio 5

Elevando carga (Wells)

Una caja con masa de 4 Kg que reposa sobre una superficie horizontal y sin fricción se amarra a una cuerda que pasa sobre una polea sin fricción y que tiene una masa muy pequeña. La caja se encuentra inicialmente a una distancia horizontal de 4 m de la polea y la cuerda forma un ángulo de 30o con la horizontal. Dos hombres aplican a la cuerda una fuerza constante de 56 N. ¿En qué punto, con respecto al de arranque comenzará la caja a despegarse de la superficie?

Solución 5 La caja se despegará de la superficie cuando la componente vertical de la tensión en la cuerda sea más grande que el peso de la caja. T sen θ = m g

→

senθ = 5

mg 4kg 9.8m/s2 = 0.7 = 56N T

y θ = 44.4o . La altura de la polea es h = 4m tan 30o = √4 m. Por tanto: 3 4 l = h cotan 44.4 = √ 1.0212 = 2.4m 3 y la distancia con respecto al punto de arranque es d = 4 − 2.4 = 1.6m.

Ejercicio 6

Masa inmóvil (Mengual-Khayet)

Tenemos una polea de la cual cuelga de un lado una masa m y del otro otra polea de la cual cuelgan dos masas m1 =0.5 kg y m2 =1 kg. Calcular el valor de la masa m, así como su aceleración para que la masa m2 no se mueva respecto a la tierra. Las poleas son de masa despreciable al igual que la cuerda que es inextensible. Por cierto: ¿y si fuera un muelle? ¿cómo lo resolverías?

Solución 6 Aplicando la 2a ley de newton a cada masa   m1 a ′ + a = T ′ − m1 g   m2 a ′ − a = m2 g − T ′ ma = m g − T La condición de que m2 no se mueva es que a = a′ teniendo en cuenta esta condición T ′ = m2 g = 9.8N Y de la primera ecuación obtenemos el valor de a = 5m/s2 Para calcular m, debemos conocer el valor de T . Agrupamos la segunda polea como una sola masa m1 + m2 , aplicando 2a ley de Newton

6

(m1 + m2 )a = T − (m1 + m2 )g T = 22.2N A partir de ma = m g − T obtenemos m = 4.5kg

Ejercicio 7

Rampa con muelle (Mengual-Khayet)

El sistema de la figura se libera a partir de la posición mostrada, donde el resorte de constante recuperadora k, tiene inicialmente una longitud natural l0 . Suponiendo que no existen fuerzas de rozamiento. Determinar: 1. La tensión en la cuerda en el instante después de haber liberado al sistema. 2. La aceleración de m2 cuando llega al suelo

Solución 7 Aplicamos la segunda ley de Newton a cada uno de los cuerpos en el momento inicial en el que se cumple que k x = 0 m1 a = T − m1 g senα m2 a = m2 g − T Eliminando a T=

m1 m2 g (1 + senα ) (m1 + m2 )

Calculamos la aceleración m1 a′ = T ′ − k x − m1 g senα 7

m2 a ′ = m2 g − T ′ por lo que eliminando T ′ a′ =

Ejercicio 8

(m2 g − m1 gsenα ) − k x (m1 + m2 )

Dos bloques colgados (Mengual-Khayet)

Sobre un bloque B de masa M que puede deslizar sobre el plano de la figura, se apoya el bloque A de masa m < M, que puede deslizar a su vez sobre aquél. Ambos cuerpos están unidos por un hilo inextensible, que pasa por una polea fija sin rozamiento. Si µ es el coeficiente de rozamiento entre todas las superficies. Determinar: 1. El valor mínimo de α en función de M, m y µ para que el sistema inicie el movimiento. 2. La relación que debe existir entre las masas de los dos bloques para que el movimiento comience cuando α = 45o , si µ = 0.2

Solución 8 Para que el sistema comience a moverse, la condición límite es ∑F~ = 0, aplicando esta condición a cada una de las masas M g senα = T + Fr + Fr′ mg senα + Fr′′ = T sistema que nos permite eliminar T (M − m) g senα = Fr + Fr′ + Fr′′ Fr = µ (M + m) g cos α Fr′ = Fr′′ = µ mg cos α por lo que (M g senα − m g senα ) = µ (M + 3 m) g cosα 8

por lo tanto

M +3m M−m Sustituyendo α = 45o , y µ = 0.2 se obtiene la relación entre las dos masas de tan α = µ

M = 2m

Ejercicio 9

Tomar una curva peraltada (Sears-Zemansky)

Para un automóvil que viaja a cierta rapidez, es posible peraltar una curva con un ángulo tal que los autos que viajan con cierta rapidez no necesiten fricción para mantener el radio con que dan vuelta. Un ingeniero propone reconstruir la curva de modo que un auto con rapidez v pueda dar la vuelta sin peligro aunque no haya fricción. ¿Qué ángulo de peralte β debería tener la curva?

Solución 9 Al no haber fricción, las únicas dos fuerzas que actúan sobre el auto son su peso y la fuerza normal. Puesto que la carretera tiene peralte, la fuerza normal (que actúa perpendicular a la superficie del camino) tiene una componente horizontal. Esta componente es la que produce la aceleración horizontal hacia el centro de la trayectoria circular que el auto sigue).

La fuerza normal ~n es perpendicular a la carretera y forma un ángulo β con respecto a la vertical; por lo tanto, tiene una componente vertical n cosβ y una componente horizontal n senβ . La aceleración en la 9

2

componente x es la aceleración centrípeta ac = Rv , en la componente y no hay aceleración

∑ Fx = n senβ = m ac ∑ Fy = n cos β − m g = 0 Despejando

mg cosβ

n= tan β =

v2 ac = g Rg

El ángulo de peralte depende de la rapidez y el radio. Para un radio dado, no hay un ángulo correcto para todas las rapideces. Al diseñar autopistas lo usual es peraltar para la rapidez media del tráfico.

Ejercicio 10

Fricción en movimiento horizontal (Sears-Zemansky)

Usted intenta mover una caja de 500 N por un piso horizontal. Para comenzar a moverla, debe tirar con una fuerza horizontal de 230 N. Una vez que la caja “se libera” y comienza a moverse, puede mantenerse a velocidad constante con sólo 200 N. ¿Cuáles son los coeficientes de fricción estática y cinética? Solución 10 Cuatro fuerzas actúan sobre la caja: la fuerza hacia abajo del peso mg, la fuerza normal hacia arriba (magnitud n) ejercida por el suelo, una fuerza de tensión (magnitud T) a la derecha ejercida por la cuerda, y una fuerza de fricción a la izquierda ejercida por el suelo.

Justo antes de que la caja comience a moverse tenemos: Por las condiciones de equilibrio

∑ Fx = T − fe,max = 0

→

∑ Fy = n − m g = 0

→

Para obtener el valor: µe =

fe,max = T = 230N n = m g− = 500N

fe,max 230 = 0.46 = 500 n

Una vez que la caja está en movimiento

∑ Fx = T − fc = 0

→ 10

fc = T = 200 N

∑ Fy = n − m g = 0 Para obtener el valor: µc =

→

n = m g− = 500N

fc 200 = 0.40 = 500 n

11...