Flusso DI UN Campo Vettoriale Attraverso UNA Superficie Orientata PDF

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Appunti di lezione sul Flusso DI UN Campo Vettoriale Attraverso UNA Superficie Orientata, definzione ed esempi numerici...

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FLUSSO DI UN CAMPO VETTORIALE ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE ORIENTATA Sia 𝑆 ⊆ 𝑅! una superficie in 𝑅! regolare, orientabile e orientata. Sia 𝐹: 𝑅! → 𝑅! un campo vettoriale. La superficie è orientata, quindi abbiamo scelto il verso del versore normale "𝑛". Definizione: si dice flusso del campo F attraverso la superficie orientata S la quantità: ) 𝑭 · 𝒏𝒅𝑺

𝑺

Osserviamo che se orientiamo S in maniera opposta, il flusso avrebbe segno anch’esso opposto. Se la superficie S è data da una parametrizzazione 𝑟: 𝐷 → 𝑅! regolare, e che induce l’orientazione fissata su S (cioè % ∧% vogliamo che 𝑟# ∧ 𝑟$ sia parallelo al versore fissato): allora 𝑛 = ! " e quindi: ∧ 𝒓𝒗(𝒖, 𝒗): 𝒅𝒖𝒅𝒗 ) 𝑭 · 𝒏𝒅𝑺 = ) 𝑭3𝒓(𝒖, 𝒗):· 3𝒓𝒖 (𝒖, 𝒗) ||%! ∧%" ||

Se la parametrizzazione r avesse indotto l’orientazione opposta, allora si dovrebbe utilizzare 𝑛 = − || %! ∧%"||. 𝑺

𝑫

% ∧%

Definizione: sia 𝐹: 𝑅+ → 𝑅+ un campo vettoriale di classe 𝐶 , . Si dice LA DIVERGENZA di F il campo scalare: 𝒅𝒊𝒗𝑭: 𝑹𝒏 → 𝑹 𝝏𝑭𝟏 𝝏𝑭𝟐 𝝏𝑭𝟑 𝝏𝑭𝒏 𝒙→ + + ⋯+ (𝒙) (𝒙)+ (𝒙) (𝒙) 𝝏𝒙𝟐 𝝏𝒙𝟑 𝝏𝒙𝟏 𝝏𝒙𝒏 Quindi la divergenza di F è la somma delle derivate parziali di 𝐹1 ciascuna rispetto a 𝑥1 . Si nota che la 𝑑𝑖𝑣𝐹 è la traccia della matrice Jacobiana di F. A volte viene chiamato pure con “operatore divergenza” ed è un operatore che manda campi vettoriali ( 𝐹: 𝑅+ → 𝑅+ ) Gin campi scalari (𝐹: 𝑅+ → 𝑅 ). Si tratta di un operatore lineare, infatti valgono: 𝑑𝑖𝑣(𝐹 + 𝐺) = 𝑑𝑖𝑣 (𝐹) + 𝑑𝑖𝑣(𝐺) 𝑑𝑖𝑣(𝜆𝐹)= 𝜆𝑑𝑖𝑣(𝐹) Teorema della divergenza: →GSia 𝛺 ⊆ 𝑅! chiuso e limitato e sia 𝜕𝛺 il suo bordo che supponiamo essere una superfice regolare parametrizzata, chiusa, orientabile e orientata con la normale esterna (va bene anche regolare a tratti). Sia 𝐹: 𝑅! → 𝑅! un campo 𝐶 , . Allora, detto 𝑛 il versore normale uscente in 𝜕𝛺 si ha che: !

) 𝑭 · 𝒏𝒅𝑺

"

= L𝒅𝒊𝒗𝑭G𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛

A parole: “il flusso di un campo F uscente da un volume Ω di 𝑅! è uguale all’integrale triplo della divergenza del campo su tutto Ω”. Una nota su una superficie in 𝑹𝟑 G𝑐ℎ𝑖𝑢𝑠𝑎: così come nel piano a due dimensioni abbiamo parlate di laccio come quella curva che racchiude una porzione di piano, nello spazio 3D una superficie chiusa è una superficie che racchiude un volume di 𝑹𝟑. Quindi per esempio una sfera, un ellissoide, sono superfici chiuse, mentre una calotta sferica senza il “Pezzo di sotto” non è una superficie chiusa. Con il teorema della divergenza siamo quindi in grado di calcolare volumi come integrali di superficie, oppure il vantaggio più grande è che siamo in grado di calcolare il flusso di un campo attraverso una superficie, come un integrale triplo della divergenza, sfruttando il volume calcolato prima. 𝝏𝜴

𝜴

Introduciamo adesso un nuovo operatore: OPERATORE ROTORE Sia 𝐹: 𝑅! → 𝑅! un campo 𝐶 , . Si ha che: ] YZ [Z 𝒌 ⎛𝝏 𝝏𝑭𝟑 𝝏𝑭𝟐 𝝏𝑭𝟏 𝝏𝑭𝟑 𝝏𝑭𝟐 𝝏𝑭𝟏 𝝏 𝝏⎞ − − ; − ;G 𝒓𝒐𝒕G𝑭 = ⎜ = a c ⎟ 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒛 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 ⎝ 𝑭𝟏 𝑭𝟐 𝑭𝟑 ⎠ L’operatore rotore è un operatore che trasforma un campo 𝐹: 𝑅! → 𝑅! in un altro campo 𝐹: 𝑅! → 𝑅!. Fisicamente il rotore di un campo di velocità F ha il significato fisico di velocità angolare, cioè di tendenza a girare (vortici nel caso di fluidi). La divergenza invece ricordiamo essere associata alla densità di sorgenti e pozzi.

Una superficie 𝑆 ⊆ 𝑅! si dice essere una superficie con bordo se essa non è chiusa, cioè se non racchiude un volume. Per esempio, una calotta sferica non è una superficie chiusa, ma con bordo; un tronco di cono vuoto è una superficie con bordo (i bordi saranno le due circonferenze in prossimità della troncatura). Se S è una superficie con bordo orientata, allora diciamo che il bordo di S è orientato positivamente (coerentemente con l’orientazione di S) se “camminando sul bordo orientati come l’orientazione di S, e muovendoci nel verso positivo, lasciamo la superficie alla nostra sinistra”. . Se 𝑟: 𝐷 → 𝑅! G è una parametrizzazione di una sup. con bordo S, allora, sotto ipotesi di regolarità, il bordo di S è 𝑟(𝜕𝐷 )

Teorema di Stokes (o del rotore): →GSia 𝑆 una superficie regolare, con bordo e orientata. Sia 𝜕4 𝑆 il suo bordo orientato positivamente (cioè coerentemente con l’orientazione di S). Sia 𝐹: 𝑅! → 𝑅! un campo 𝐶 , . Allora, detto “n” il versore normale positivo di S: ) 𝒓𝒐𝒕G𝑭 • 𝒏𝒅𝑺 = e𝑭 • 𝒅𝒔 𝑺

𝝏# 𝑺

“Il flusso del rotore di F attraverso la superficie orientata S è uguale al lavoro del campo F lungo il bordo positivo della superficie”. Osservazioni sul teorema di Stokes: - “Il flusso del rotore è l’integrale di circuitazione di F sul bordo”. Quindi il flusso del rotore attraverso una superficie chiusa (come abbiamo capito, per esempio una sfera, un ellissoide) è sempre NULLO. - Se due superfici regolari orientate insistono sullo stesso bordo, inducendo la medesima orientazione del bordo, allora il flusso del rotore attraverso le due superfici è lo stesso. Abbiamo visto i tre operatori differenziali, l’operatore gradiente, l’operatore divergenza, l’operatore rotore. Vedimao adesso le relazioni tra questi operatori: - Rotore del gradiente di 𝒖: supponiamo F un campo vettoriale di classe 𝐶 5 e 𝑢 una funzione scalare di classe 𝐶 5 . Abbiamo quindi 𝑢: 𝑅! → 𝑅. Il suo gradiente sarà: 𝜕𝑢 𝜕𝑈 𝜕𝑈 ; ∇𝑢: 𝑅! → 𝑅! = a ; c 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Abbiamo il seguente risultato: 𝑟𝑜𝑡(∇𝑢 ) =0 Il rotore del gradiente della funzione 𝑢 è il campo nullo. - Divergenza del rotore di F: se consideriamo un campo 𝐹: 𝑅! → 𝑅! , 𝑟𝑜𝑡G𝐹: 𝑅! → 𝑅! . Abbiamo che la divergenza del rotore di F è sempre la costante nulla: 𝑑𝑖𝑣 (rotG𝐹) =0 - Divergenza del gradiente: 𝜕5 𝑢 𝜕5 𝑈 𝜕5 𝑈 𝑑𝑖𝑣 (∇𝑢)= q 5 + 5 + r = ∆𝑢 𝜕𝑧 5 𝜕𝑦 𝜕𝑥 ∆𝑢 è il laplaciano di 𝑢. È la traccia della matrice Hessiana di u. - Se un campo 𝐹: 𝑅! → 𝑅! ha rotore nullo, allora vuol dire che F soddisfa la proprietà delle derivate in croce. Allora possiamo dire che: 𝐹: 𝑅! → 𝑅! F soddisfa le derivate in croce se e solo se 𝑟𝑜𝑡 (F) = 0; quindi se e solo se F è IRROTAZIONALE; = 0. Allo stesso tempo abbiamo che: F si dice SOLENOIDALE se 𝑑𝑖𝑣(F)...