Formelsammlung ABMAT03 PDF

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Formelsammlung für den Kurs ABMAT03...

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Ableitung Grundlagen

Ableitungsregeln

Binomische Formeln

𝑒 𝑥 = 𝑖𝑚𝑚𝑒𝑟 𝑒𝑖𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑊𝑒𝑟𝑡 𝑒0 = 1 Produktregel: u und v nach x ableiten und dann addieren. = Kettenregel: Äußere Ableitung mal innere Ableitung Quotientenregel: U nach x ableiten und mit v multiplizieren, v nach x ableiten und mit u multiplizieren, Wert unter dem Bruch hoch 2

Lokaler Extremwert Max. (hochpunkt) oder min. (Tiefpunkt) 1. Ableitung = 0 setzen (wenn die 1. Ableitung immer positive ist (e.g. 𝑒 𝑥 ) dann gibt es kein Extremwert → es erfüllt niemals die Voraussetzungen) setze das Resultat in die 2. Ableitung ein und rechne aus. Das Resultat zeigt auf ob da ein Minimum oder Maximum ist (kann mehr als ein Resultat sein). Folgendes gilt: f''(x) < 0f(x) hat ein Maximum (Hochpunkt) f''(x) > 0f(x) hat ein Minimum (Tiefpunkt) Falls Minimum oder Maximum von Grenzkosten gesucht ist, muss 2. Ableitung = 0 gesetzt werden und bei 3. Ableitung überprüft werden. Lokale Extrema

Absolute Extrem Funktion in Teila

Das heisst, die Funktion f hat ihr absolutes Maximum an der Stelle x=10 und ihr absolutes Minimum an der Stelle x = 3.06. 2.5

Monotonie => 1. Ableitung = 0 𝑓’(𝑥) > 0 streng monoton steigend 𝑓′(𝑥) < 0 streng monoton fallend

Zusatz: 5. TR: Math -> FnInt ∫ (𝑥 ∗ (0.8 − 0.32𝑥))𝑑𝑥 0

Integral Eine erste Abgeleitete Funktion wieder in seine Stammfunktion umkehren = Integrieren.

Grundintegrale:

Nummerisch = TR -> math -> 9:FnInt Alternativ Funktionenmenu, grafische Unterstützung: 𝑏 f(x) graphisch darstellen: 2nd CALC 7: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 Lower Limit? a Enter Upper Limit? b Enter

Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit Permutation: Wie viele vierstellige Zahlen können mit den Ziffern 6, 7, 8 und 9 gebildet werden (jede Ziffer nur einmal)? Höchste Anz. (4) -> Math -> Wahrs -> !

Kombination: In einem Parlament sind 60 Liberale, 40 Konservative und 30 Sozialisten vertreten. Auf wie-viel Arten kann eine 8er Kommission mit 4 Liberalen, 2 Konservativen und 2 Sozialisten gebildet werden? ➔ Anz. Elemente (60) -> Math -> Wahrs -> nCr

Wahrscheinlichkeit:

Wahrscheinlichkeit:

Ist es wahrscheinlicher, dass Sie im Zahlenlotto "6 aus 42" 6 Richtige haben oder dass ein Kleinkind, das auf einer Schreibmaschine mit 50 Typen vier Tasten zufälligerweise nacheinander drückt, das Wort „geld“ schreibt?

Bedingte Wahrscheinlichkeit

𝑃 = 𝑃(3 oder 4 oder 5) = 0.7 − 0.1 = 0.6 = 0.9 − 0.3 Leibrente: Eine Pensionskasse beabsichtigt, von einem Ehepaar ein Grundstück zu erwerben gegen Gewährung einer Leibrente auf 25 Jahre. Laut Sterbetafel 2017 des Bundesamtes für Statistik beträgt die Wahrscheinlichkeit, nach 25 Jahren noch zu leben, für den 68jährigen Mann 0.16 und für die 61jährige Frau 0.62. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nach 25 Jahren a. nur der Mann noch lebt b. nur die Frau noch lebt c. genau eines von beiden noch lebt d. beide noch leben e. keines mehr lebt f. mindestens eines noch lebt.

Eignungstest:

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Definition Diskrete & stetige Variable

Investitionsprojekte

Formel Erwartungswert Mü: Formel Standardabweichung: Beispiel: TR: Stat -> 1: 2 Listen erstellen (L1, L2) -> Stat -> berechnen -> 1: 1 Var Stats -> L1 & L2 Verteilungsfunktion:

Überbuchung (Binomial):

TR -> Liste mit Net. Ein. (L1) Und Wahrsch. (L2) erstellen.

Automobilhersteller (Wahrscheinlichkeit Binomial)

Multiple Choice Test (Wahrscheinlichkeit Binomial)

Weiter bis (4/4)

Verkehrsunfälle (Poisson):

Call Center (FnInt & Math Solver)

a). b). c).

d). TR: Math -> C: Löser -> obere Zeile = wie oben abschreiben; untere Zeile 0.5 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, Normalverteilung Definition: Eine Variable, deren angenommene Werte vom Zufall abhängen, heisst Zufallsvariable. Kann die Variable in einem Intervall jede beliebige reelle Zahl annehmen, so sprechen wir von einer stetigen Zufallsvariable.

Geschirrspülmittel:

Normalverteilung:

Hühnerei:

TR: 2nd Vars normalcdf

Dreieicksverteilung (FnInt)

TR: Math -> 9: FnInt( -> Untere Grenze, Obere Grenze, Verteilfunktion

Rendite und Volatilität Rendite Effektiv & Nominal (stetig)

Effektive, Stetige Rendite

TR: Apps -> Finance -> B: oder C: -> Eingabe Prozentsatz, Dauer (1E99 steht für unendlich) 1E99 eingabe = 1 -> 2nd Komma (,) -> 99 Zusatz: Effektiver Zins mit Wurzel und Faktoren 1.xx rechnen Nom. (stetig) mit Bruch und Zahlen 0.xx + oder – rechnen siehe rechts Monatsrenditen (Standardabweichung) a. b. c.

𝑥

TR: Math -> 5: √ -> x = anzahl Perioden, unter der Wurzel = 1+(-) prozentsatz dezimal, -1 TR: Apps -> Finance -> B: Nom -> 6.14, 1E99 = 5.96 Jedes Jahr mit TR: Apps -> Finance -> B: Nom -> 12, 1E99 = 11.33

Rechnen mit TR: Stat -> 1: Bearbeiten -> Stetige L2 anwählen und formel eingeben -> 1+L1 -> Enter

Standardabweichung TR: Liste mit Zinssätzen erstellen -> ---- anwählen -> 2nd Stat -> Math -> 7: StdAbw (Liste1…) Shortfall Risk und Value at Risk

Monatsrendite (Normalcdf)

Value at Risk (InvNorm)

TR: 2nd + Vars -> 3: invNorm -> Fläche 0.05, müh 4.183, Sigma 3.484 Links Value at Risk Verlust (InvNorm)

TR: 2nd + Vars -> 3: invNorm -> Fläche 0.05, müh 4.183, Sigma 3.484 Links

Beta Zusatz: Siehe Rendite & Volatilität Abbildung stetige Rendite & Standardabweichung

Entwicklung Monatskurse (Rendite, Korrelation, Betafaktor)

Funktionen mehrerer Variablen, Partielle Ableitungen, Partielle Elastizitäten Isoquanten Partielle Ableitungen

Partielle Elastizitäten

Kreuzpreiselastizität

Produktionsfunktion Homogenität

Cobb-Douglas Produktionsfunktion

Extrema von Funktionen zweier Variablen

Mutliple Choice Homogenität

Stationäre Stellen (Solver)

Gewinnmaximierung eines Monopolisten mit 2 Produkten

Schritt 1: Ableiten nach den Variablen Schritt 2: TR: Apps -> 9: PlySmlt2 -> 2: Gleichungssys. Löser -> Gleich 3, Unbek. 3 Achtung: wenn keine Variable dann 0, ganze Zahlen müssen nach dem = eingegeben werden Optimaler Faktoreinsatz bei der Herstellung eines Produktes

Schritt 1: Gewinnfunktion erstellen, G= p1 * x1 + p2 * x2 -K Schritt 2: Partielle Ableitung der Gewinnfunktion nach x1,x2 Schritt 3: Beide Ableitungen 0 setzen und im TR: Apps -> 9: PlySmlt2 -> 2: Gleichungssys. Löser -> Gleich 2, Unbek. 2 eingeben Schritt 4: Mengen in die Nachfragefunktion eingeben und berechnen

TR: Apps -> 9: PlySmlt2 -> 2: Gleichungssys. Löser -> Gleich 2, Unbek. 2

TR: Apps -> 9: PlySmlt2 -> 2: Gleichungssys. Löser -> Gleich 2, Unbek. 2 Räumliche Preisdifferenzierung

Methode der kleinsten Quadrate

TR: Apps -> 9: PlySmlt2 -> 2: Gleichungssys. Löser -> Gleich 2, Unbek. 2

TR: Stat -> 1: Bearb. -> Eingeben der Wertetabelle in L1 & L2 -> --- anwählen -> 2nd Stat -> Math -> 5: Sum(L1) Rechnen mit TR: L3 anwählen und formel eingeben -> 1/L1 -> Enter...